线性代数｜第四章 线性方程组｜四、非齐次线性方程组

noob_coder
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四、非齐次线性方程组

1. 解的存在性的判定

(1) 非齐次线性方程组 Am×nx=b\mathbf A_{m \times n} \mathbf x = \mathbf b 有解 ⇔\Leftrightarrow 当且仅当 R(A)=R(A ⋮ b)=nR(\mathbf A) = R(\mathbf A \ \vdots \ \mathbf b) = n 时，方程组有唯一解；

当 R(A)=R(A ⋮ b)<nR(\mathbf A) = R(\mathbf A \ \vdots \ \mathbf b) < n 时，方程组有无穷多解；

(2) Am×nx=b\mathbf A_{m \times n} \mathbf x = \mathbf b 无解 ⇔\Leftrightarrow R(A)<R(A ⋮ b)R(\mathbf A) < R(\mathbf A \ \vdots \ \mathbf b)。

2. 解的性质

设非齐次线性方程组为

Am×nx=b,(2.12)\begin{align} & \mathbf A_{m \times n} \mathbf x = \mathbf b, & (2.12) \end{align}

其对应的齐次线性方程组为

Am×nx=0,(2.13)\begin{align} & \mathbf A_{m \times n} \mathbf x = \mathbf 0, & (2.13) \end{align}

则：

(1) 如果 x=η1,x=η2\mathbf x = \mathbf η_1,\mathbf x = \mathbf η_2 都是 (2.12)(2.12) 的解，则 x=η1−η2\mathbf x = \mathbf η_1 - \mathbf η_2 为 (2.13)(2.13) 的解；

(2) 如果 x=η\mathbf x = \mathbf η 是 (2.12)(2.12) 的解，x=ξ\mathbf x = \mathbf ξ 是 (2.13)(2.13) 的解，则 x=η+ξ\mathbf x = \mathbf η + \mathbf ξ 仍是 (2.12)(2.12) 的解。

3. 解的结构

如果 R(A ⋮ b)=R(A)=r<nR(\mathbf A \ \vdots \ \mathbf b) = R(\mathbf A) = r < n，则 Am×nx=b\mathbf A_{m \times n} \mathbf x = \mathbf b 的通解为

x=k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−r+η\mathbf x = k_1 ξ_1 + k_2 ξ_2 + \cdots + k_{n-r} ξ_{n-r} + \mathbf η

其中 ξ1,ξ2,⋯ ,ξn−rξ_1,ξ_2,\cdots,ξ_{n-r} 为其对应齐次方程组的基础解系，η\mathbf η 为其本身的一个特解。

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