线性代数｜第四章线性方程组｜二、克拉默法则 Cramer's Rule二、克拉默法则 Cramer's Rule 1.

二、克拉默法则 Cramer's Rule

$n$ 个未知量、 $n$ 个方程组成的线性方程组（即 $(2.1)$ ， $m=n$ 时）

\begin{align} & \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2, \\ \cdots \cdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n, \end{cases} & (2.9) \end{align}

如果其系数行列式 $D = | \ \mathbf A \ | ≠ 0$ ，则方程组 $(2.9)$ 有唯一解

x_1 = \frac{D_1}{D}, x_2 = \frac{D_2}{D}, \cdots, x_n = \frac{D_n}{D},

其中 $D_j(j=1,2,\cdots,n)$ 是把系数行列式 $D$ 中第 $j$ 列的元素用 $(2.9)$ 中右端的常数项代替后所得到的 $n$ 阶行列式，即

D_j = \begin{vmatrix} \ a_{11} & \cdots & a_{ij-1} & b_1 & a_{ij+1} & \cdots & a_{1n} \ \\ \ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots& & \vdots \ \\ \ a_{n1} & \cdots & a_{nj-1} & b_n & a_{nj+1} & \cdots & a_{nn} \ \end{vmatrix}

克拉默法则得出的推论：

(1) 如果方程 $(2.9)$ 的系数行列式 $D=|\ \mathbf A \ | ≠ 0$ ，则方程组 $(2.9)$ 一定有解，且解是唯一的。

(2) 如果方程组 $(2.9)$ 无解或有两个不同解，则其系数行列式 $D=|\ \mathbf A \ | = 0$ 。

在齐次方程组 $(2.9)$ 中，

\begin{align} &\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0, \\ \cdots \cdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = 0, \end{cases} & (2.10) \end{align}

由克拉默法则，得：

(1) 如果齐次线性方程组 $(2.10)$ 的系数行列式 $D=|\ \mathbf A \ | ≠ 0$ ，则齐次线性方程组 $(2.10)$ 只有零解。

(2) 如果齐次线性方程组 $(2.10)$ 有非零解，则它的系数行列式 $D=|\ \mathbf A \ | = 0$ 。

还可进一步得到：

齐次线性方程组 $(2.10)$ 有非零解 $\Leftrightarrow$ $D=|\ \mathbf A \ | = 0$ 。