线性代数｜第三章 向量｜五、向量空间［数学一］

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五、向量空间［数学一］

1. n维向量空间

设 VV 为 nn 维向量的集合，如果集合 VV 非空，且集合 VV 对于向量的加法及数乘两种运算封闭，即

(1) 如果 α∈V,β∈V\mathbf α \in V , \mathbf β \in V，则 α+β∈V\mathbf α + \mathbf β \in V；

(2) 如果 α∈V,λ∈R\mathbf α \in V, \lambda \in \mathbf R，则 λα∈V\lambda \mathbf α \in V，

则称集合 VV 为向量空间。

特别地， nn 维向量的全体 Rn\mathbf R^n 就是一个向量空间。

2. Rn\mathbf R^n的基、维数和坐标

(1) 设 VV 为向量空间，如果 rr 个向量 α1,α2,⋯ ,αr∈V\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_r \in V，且满足：

① α1,α2,⋯ ,αr\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_r 线性无关；

② VV 中任意一个向量都可由 α1,α2,⋯ ,αr\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_r 线性表出，则向量组 α1,α2,⋯ ,αr\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_r 就称为向量空间 VV 的一个基，rr 称为向量空间 VV 的维数，并称 VV 为 rr 维向量空间。

(2) 如果在向量空间 VV 中取定一个基 α1,α2,⋯ ,αr\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_r，则 VV 中任意一个向量 α\mathbf α 可唯一地表示为

α=λ1α1+λ2α2+⋯+λrαr\mathbf α = \lambda_1 \mathbf α_1 + \lambda_2 \mathbf α_2 + \cdots + \lambda_r \mathbf α_r

数组 λ1,λ2,⋯ ,λr\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r 称为向量 α\mathbf α 在基 α1,α2,⋯ ,αr\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_r 的坐标，记为 X\mathbf X，即

X=[λ1λ2⋮λr]\mathbf X = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_r \end{bmatrix}

3. 生成的向量空间

由向量组 α1,α2,⋯ ,αm\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m 生成的向量空间

L={X=k1α1+k2α2+⋯+kmαm ∣ k1,k2,⋯ ,km∈R}L=\{ \mathbf X = k_1 \mathbf α_1 + k_2 \mathbf α_2 + \cdots + k_m \mathbf α_m \ | \ k_1,k_2,\cdots,k_m \in \mathbf R \}

显然向量空间 LL 与向量组 α1,α2,⋯ ,αm\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m 等价，因此向量空间 LL 的一个基就是向量组 α1,α2,⋯ ,αm\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m 的极大线性无关组；

向量空间 LL 的维数就是向量组 α1,α2,⋯ ,αm\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m 的秩。

4. 基变换公式与坐标变换公式

(1) 基变换公式

设 α1,α2,⋯ ,αn\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_n 和 β1,β2,⋯ ,βn\mathbf β_1,\mathbf β_2,\cdots,\mathbf β_n 是 nn 维向量空间 Rn\mathbf R^n 的两个基，如果存在矩阵 C\mathbf C，使得

(β1,β2,⋯ ,βn)=(α1,α2,⋯ ,αn)[c11c12⋯c1nc21c22⋯c2n⋮⋮⋮cn1cn2⋯cnn]=(α1,α2,⋯ ,αn)C\begin{align} (\mathbf β_1,\mathbf β_2,\cdots,\mathbf β_n) &= (\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_n) \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{bmatrix} \\\\ &= (\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_n) \mathbf C \end{align}

该式称为由基 α1,α2,⋯ ,αn\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_n 到基 β1,β2,⋯ ,βn\mathbf β_1,\mathbf β_2,\cdots,\mathbf β_n 的基变换公式，矩阵 C\mathbf C 称为由基 α1,α2,⋯ ,αn\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_n 到基 β1,β2,⋯ ,βn\mathbf β_1,\mathbf β_2,\cdots,\mathbf β_n 的过渡矩阵。

过渡矩阵一定是可逆矩阵，C−1\mathbf C^{-1} 为从基 β1,β2,⋯ ,βn\mathbf β_1,\mathbf β_2,\cdots,\mathbf β_n 到基 α1,α2,⋯ ,αn\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_n 的过渡矩阵。

(2) 坐标变换公式

设 nn 维向量 α\mathbf α 在基 α1,α2,⋯ ,αn\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_n 与基 β1,β2,⋯ ,βn\mathbf β_1,\mathbf β_2,\cdots,\mathbf β_n 下的坐标分别为 x\mathbf x 和 y\mathbf y，即

α=(α1,α2,⋯ ,αn)x,=(β1,β2,⋯ ,βn)y,\begin{align} \mathbf α &= (\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_n) \mathbf x ,\\\\ &= (\mathbf β_1,\mathbf β_2,\cdots,\mathbf β_n) \mathbf y, \end{align}

而

(β1,β2,⋯ ,βn)=(α1,α2,⋯ ,αn)C(\mathbf β_1,\mathbf β_2,\cdots,\mathbf β_n) = (\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_n) \mathbf C

则

x=Cy 或 y=C−1x\mathbf x = \mathbf C \mathbf y \ 或 \ \mathbf y = \mathbf C^{-1} \mathbf x

该式称为坐标变换公式。

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