线性代数｜第三章 向量｜三、极大线性无关组、秩

三、极大线性无关组、秩

1. 定义

(1) 极大线性无关组与积

设向量组 $A$，如果在 $A$ 中能选出 $r$ 个向量 $\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_r$，满足

① 向量组 $A_0:\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_r$，线性无关；

② 向量组 $A$ 中任意 $r+1$ 个向量（如果 $A$ 中有 $r+1$ 个向量）都线性相关，则称向量组 $A_0$ 是向量组 $A$ 的一个极大线性无关组。

(2) 极大线性无关组的等价定义

设向量组 $A_0:\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_r$，是向量组 $A$ 的一个部分组，且满足：

① 向量组 $A_0$ 线性无关；

② 向量组 $A$ 的任一向量都能由向量组 $A_0$ 线性表出，则称向量组 $A_0$ 是向量组 $A$ 的一个极大线性无关组。

2. 向量组的秩与矩阵的秩的关系

设 $\mathbf A$ 是 $m \times n$ 矩阵，将 $\mathbf A$ 列分块以及行分块，得

$\mathbf A$ 的列向量组 $\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_n$ 的秩称 $\mathbf A$ 的列秩，记作 $R(\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_n)$；

$\mathbf A$ 的行向量组 $\mathbf β^T_1, \mathbf β^T_2, \cdots, \mathbf β^T_m$ 的秩称为 $\mathbf A$ 的行秩，记作 $R(\mathbf β^T_1, \mathbf β^T_2, \cdots, \mathbf β^T_m)$。

矩阵 $\mathbf A$ 的秩与行秩和列秩相等。

3. 向量组的极大线性无关组与秩的求法

(1) 当向量组 $A:\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m$ 是列向量组时，将其列构成矩阵。记 $\mathbf A = (\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m)$。

(2) 利用初等行变换，将 $\mathbf A$ 化阶梯形矩阵 $\mathbf B$ 即

则：

① 向量组 $\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m$ 与 $\mathbf β_1,\mathbf β_2,\cdots,\mathbf β_m$ 具有相同的线性相关性；

② 若 $\mathbf {β_i}_1,\mathbf {β_i}_2,\cdots,\mathbf {β_i}_r$ 是 $\mathbf β_1,\mathbf β_2,\cdots,\mathbf β_m$ 的极大线性无关组，则 $\mathbf {α_i}_1,\mathbf {α_i}_2,\cdots,\mathbf {α_i}_r$ 是 $\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m$ 的极大线性无关组；

③ 向量组 $\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m$ 与 $\mathbf β_1,\mathbf β_2,\cdots,\mathbf β_m$ 中任何对应的列向量组具有相同的线性相关性。