线性代数｜第三章 向量｜四、向量的内积、长度及正交性

noob_coder
68 阅读1分钟

四、向量的内积、长度及正交性

1. 向量的内积

(1) 定义

设有 nn 维向量 α=[a1a2⋮an]\mathbf α = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} 及 β=[b1b2⋮bn]\mathbf β = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}，令 [α,β]=αTβ=βTα=∑i=1naibi[\mathbf α, \mathbf β]=\mathbf α^T \mathbf β =\mathbf β^T \mathbf α=\sum^n_{i=1}a_i b_i，则称 [α,β][\mathbf α, \mathbf β]为向量 α,β\mathbf α, \mathbf β 的内积。

(2) 性质

设 α,β,γ\mathbf α,\mathbf β,\mathbf γ 为 nn 维向量，λ\lambda 为实数。

  1. [α,β]=[β,α][\mathbf α, \mathbf β] = [\mathbf β, \mathbf α]（对称性）；

  2. [λα,β]=λ[α,β][\lambda\mathbf α, \mathbf β] = \lambda[\mathbf α, \mathbf β]（线性性）；

  3. [α+β,γ]=[α,γ]+[β,γ][\mathbf α + \mathbf β,\mathbf γ] = [\mathbf α ,\mathbf γ]+[\mathbf β,\mathbf γ]（线性性）；

  4. 当 α=0\mathbf α = 0 时，[α,α]=0[\mathbf α,\mathbf α] = 0；当 α≠0\mathbf α ≠ 0时，[α,α]>0[\mathbf α,\mathbf α] > 0（正定性）。

2. 向量长度（模）

(1) 定义

设有 nn 维向量 α=(a1,a2,⋯ ,an)T\mathbf α = (a_1,a_2,\cdots,a_n)^T，令 ∥α∥=[α,α]=a12+a22+⋯+an2\| \mathbf α\| = \sqrt{[\mathbf α,\mathbf α]} = \sqrt{a^2_1+a^2_2+\cdots+a^2_n}，∣∣α∣∣||\mathbf α|| 称向量 α\mathbf α 的长度（或模）。

当∥α∥=1\|\mathbf α\|=1时，称 α\mathbf α 为单位向量。

(2) 性质

① 非负性：当 α≠0\mathbf α≠0 时，∥α∥>0\|\mathbf α\|>0；当 α=0\mathbf α=0 时，∣∣α∣∣=0||\mathbf α||=0；

② 齐次性：∣∣λα∣∣=∣λ∣ ∣∣α∣∣||\lambda \mathbf α|| = |\lambda| \ || \mathbf α||（其中 λ\lambda 是数）；

③ 三角不等式：∣∣α+β∣∣≤∣∣α∣∣+∣∣β∣∣||\mathbf α + \mathbf β|| ≤ ||\mathbf α|| + ||\mathbf β||；

④ 柯西 — 施瓦茨不等式：∣(α,β)∣≤∣∣α∣∣ ∣∣β∣∣|(\mathbf α,\mathbf β)|≤||\mathbf α|| \ ||\mathbf β||。

3. 正交向量组

(1) 定义

  1. 如果 [α,β]=0[\mathbf α, \mathbf β]=0，则称向量 α\mathbf α 与 β\mathbf β 正交。特别地，零向量与任何向量都正交。

  2. 如果非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组。

(2) 性质

如果 nn 维向量组 α1,α2,⋯ ,αr\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_r 是正交向量组，则：α1,α2,⋯ ,αr\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_r 线性无关。

(3) 施密特正交化方法

设 α1,α2,⋯ ,αr\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_r 是线性无关的向量组，取

β1=α1;β2=α2−[β1,α2][β1,β1]β1;⋯⋯⋯βr=αr−[β1,αr][β1,β1]β1−[β2,αr][β2,β2]β2−⋯−[βr−1,αr][βr−1,βr−1]βr−1\begin{align} \mathbf β_1 &= \mathbf α_1 ;\\\\ \mathbf β_2 &= \mathbf α_2 - \frac{[\mathbf β_1, \mathbf α_2]}{[\mathbf β_1, \mathbf β_1]} \mathbf β_1 ;\\\\ &{\cdots \cdots \cdots} \\\\ \mathbf β_r &= \mathbf α_r - \frac{[\mathbf β_1, \mathbf α_r]}{[\mathbf β_1, \mathbf β_1]} \mathbf β_1 - \frac{[\mathbf β_2, \mathbf α_r]}{[\mathbf β_2, \mathbf β_2]} \mathbf β_2 \\\\ & - \cdots - \frac{[\mathbf β_{r-1}, \mathbf α_r]}{[\mathbf β_{r-1}, \mathbf β_{r-1}]} \mathbf β_{r-1} \end{align}

则 β1,β2,⋯ ,βr\mathbf β_1,\mathbf β_2,\cdots,\mathbf β_r 是正交向量，且 β1,β2,⋯ ,βs\mathbf β_1,\mathbf β_2,\cdots,\mathbf β_s 与 α1,α2,⋯ ,αs\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_s (s=1,2,⋯ ,r)(s=1,2,\cdots,r) 等价。

再将 β1,β2,⋯ ,βr\mathbf β_1,\mathbf β_2,\cdots,\mathbf β_r 单位化，即

e1=β1∣∣β1∣∣,e2=β2∣∣β2∣∣,⋯ ,er=βr∣∣βr∣∣\begin{align} \mathbf e_1&=\frac{\mathbf β_1}{||\mathbf β_1||},\\ \mathbf e_2&=\frac{\mathbf β_2}{||\mathbf β_2||},\\ &\cdots, \\ \mathbf e_r&=\frac{\mathbf β_r}{||\mathbf β_r||} \end{align}

则 e1,e2,⋯ ,er\mathbf e_1,\mathbf e_2,\cdots,\mathbf e_r 是规范（标准）正交向量组。

4. 正交矩阵

(1) 定义

若 nn 阶矩阵 A\mathbf A 满足 ATA=E\mathbf A^T \mathbf A = \mathbf E （或 AAT=E\mathbf A \mathbf A^T = \mathbf E），则称 A\mathbf A 是正交矩阵。

(2) 条件

① 如果 A\mathbf A 是正交矩阵，则 ∣A∣=±1|\mathbf A|= \pm 1；

② A\mathbf A 是正交矩阵 ⇔\Leftrightarrow A\mathbf A 的列（行）向量组是规范正交向量组 ⇔\Leftrightarrow A−1=AT\mathbf A^{-1} = \mathbf A^T；

③ 如果 A\mathbf A 是正交矩阵，则 AT,A−1,A∗\mathbf A^T,\mathbf A^{-1},\mathbf A^* 也是正交矩阵；

④ 如果 A,B\mathbf A,\mathbf B 是正交矩阵，则 AB\mathbf A \mathbf B 仍是正交矩阵。

(3) 正交变换

设 P\mathbf P 是 nn 阶正交矩阵，x,y\mathbf x,\mathbf y 是 nn 维向量，则 x=Py\mathbf x=\mathbf P \mathbf y 称为正交变换。

正交变换不改变向量的长度，即

∣∣ x ∣∣=xTx=(Py)TPy=yTPTPy=yTy=∣∣ y ∣∣\begin{align} ||\ \mathbf x \ || &= \sqrt{\mathbf x^T \mathbf x} \\\\ &= \sqrt{(\mathbf P \mathbf y)^T \mathbf P \mathbf y} \\\\ &= \sqrt{\mathbf y^T \mathbf P^T \mathbf P \mathbf y} \\\\ &= \sqrt{\mathbf y^T \mathbf y} \\\\ &= ||\ \mathbf y \ || \end{align}
avatar
文章
阅读
粉丝