线性代数｜第三章 向量｜二、向量组的线性相关性

二、向量组的线性相关性

1. 线性相关与线性无关的定义

对向量组 $A:\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m$，若存在不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots,k_m$ 使得

则称向量组 $A$ 是线性相关的，否则称它线性无关。即当 $k_1=k_2=\cdots=k_m=0$ 时，$\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m$ 线性无关。

2. 线性相关与线性无关的性质

(1) 向量组 $A:\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m(m≥2)$ 线性相关

$\Leftrightarrow$ 向量组 $A$ 中至少有一个向量能由其余 $m-1$ 个向量线性表出。

向量组 $A:\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m(m≥2)$ 线性无关

$\Leftrightarrow$ 向量组 $A$ 中任一向量都不能由其余 $m-1$ 个向量线性表出。

(2) 如果向量组 $A:\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m$ 线性相关，则向量组 $B:\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m, \mathbf α_{m+1},\cdots \mathbf α_s$ 线性相关。反言之，如果向量组 $B$ 线性无关，则向量组 $A$ 也线性无关。

(3) 如果向量组 $A$：

线性无关，则向量组 $B$：

线性无关。

反言之，如果向量组 $B$ 线性相关，则向量组 $A$ 也线性相关。

(4) 设向量组 $A:\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m$ 线性无关，而向量组 $B:\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m, \mathbf β$ 线性相关，则向量 $\mathbf β$ 必能由向量组 $A$ 线性表出，且表示方式唯一。

(5) 设有两个向量组 $A:\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_s$ 及 $B:\mathbf β_1,\mathbf β_2,\cdots,\mathbf β_l$

① 如果向量组 $A$ 可由向量组 $B$ 线性表出，且 $s>l$，则向量组 $A$ 线性相关；

② 如果向量组 $A$ 可由向量组 $B$ 线性表出，且向量组 $A$ 线性无关，则 $s≤l$。

3. 线性相关与线性无关的判定

向量组 $A:\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m$ 线性相关（线性无关）

$\Leftrightarrow$ 齐次线性方程组 $\mathbf A \mathbf x = \mathbf 0$ 有非零解（只有零解），其中

$\mathbf A = (\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m)$

$\Leftrightarrow R(\mathbf A)<m(R(\mathbf A) = m)$。