线性代数｜第三章 向量｜一、向量组及其线性组合

一、向量组及其线性组合

1. n维向量

$n$ 个有次序的数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 所组成的数组称为 $n$ 维向量。

$n$ 维向量可写成一行，也可写成一列，分别称为行向量和列向量，也就是行矩阵和列矩阵。因此行向量与列向量具有与矩阵相同的线性运算与运算律。

本章，列向量用 $\mathbf α,\mathbf β,\mathbf γ$ 等表示，行向量则用 $\mathbf α^T,\mathbf β^T,\mathbf γ^T$ 等表示。

2. 向量组

若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合叫做向量组。

由 $m$ 个 $n$ 维列向量所组成的向量组 $A:\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m$ 构成一个 $n \times m$ 矩阵

由 $m$ 个 $n$ 维行向量所组成的向量组 $B: \mathbf β^T_1,\mathbf β^T_2,\cdots,\mathbf β^T_m$ 构成一个 $m \times n$ 矩阵

3. 线性组合

$m$ 个 $n$ 维向量 $\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m$，和 $m$ 个数 $k_1,k_2,\cdots,k_m$，表达式

称为向量组 $A$ 的一个线性组合，其中 $k_1,k_2,\cdots,k_m$ 称为线性组合系数。

4. 线性表出

(1) 定义

给定向量组 $A:\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m$ 和向量 $\mathbf b$，如果存在一组数 $λ_1,λ_2,\cdots,λ_m$，使得

则向量 $\mathbf b$ 是向量组 $A$ 的线性组合，也称向量 $\mathbf b$ 能由向量组 $A$ 线性表出。

(2) 判定

定理 向量 $\mathbf b$ 能由向量组 $A:\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m$ 线性表出

$\Leftrightarrow$ 非齐次线性方程组 $x_1\mathbf α_1 + x_2\mathbf α_2 + \cdots + x_m\mathbf α_m = \mathbf b$ 有解

$\Leftrightarrow R(\mathbf A) = R(\mathbf B)$，其中 $\mathbf A = (\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m)$，$\mathbf B=(\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m,\mathbf b)$

5. 向量组等价

(1) 定义

设有两个向量组 $A:\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m$ 及 $B:\mathbf β_1,\mathbf β_2,\cdots,\mathbf β_m$，如果 $B$ 组中的每个向量都能由向量组 $A$ 线性表出，则称向量组 $B$ 能由向量组 $A$ 线性表出。如果向量组 $A$ 与向量组 $B$ 能相互线性表出，则称这两个向量组等价。

(2) 性质

① 反身性：向量组 $A$ 与自身等价；

② 对称性：如果向量组 $A$ 与向量组 $B$ 等价，则向量组 $B$ 也与向量组 $A$ 等价；

③ 传递性：如果向量组 $A$ 与向量组 $B$ 等价，向量组 $B$ 与向量组 $C$ 等价，则向量组 $A$ 与向量组 $C$ 等价。

(3) 判定

① 向量组 $B:\mathbf β_1,\mathbf β_2,\cdots,\mathbf β_l$ 能由向量组 $A:\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m$ 线性表出

$\Leftrightarrow$ 矩阵方程 $\mathbf A \mathbf X = \mathbf B$ 有解，其中矩阵 $\mathbf A=(α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m)$，矩阵 $\mathbf B =(\mathbf β_1,\mathbf β_2,\cdots,\mathbf β_l)$

$\Leftrightarrow R(\mathbf A) = R(\mathbf A,\mathbf B)$。

② 向量组 $A:\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m$ 与向量组 $B:\mathbf β_1,\mathbf β_2,\cdots,\mathbf β_l$ 等价

$\Leftrightarrow R(\mathbf A) = R(\mathbf B) = R(\mathbf A,\mathbf B)$。

③ 设向量组 $B:\mathbf β_1,\mathbf β_2,\cdots,\mathbf β_l$ 能由向量组 $A:\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_m$ 线性表出，则 $R(\mathbf B)≤R(\mathbf A)$。