线性代数｜第一章行列式｜四、行列式按行（列）展开

2025-09-15 141 阅读1分钟

四、行列式按行（列）展开

1. 代数余子式

在 $n$ 阶行列式中，划去 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列的元素后，由剩下的 $n-1$ 阶行列式叫做 $(i,j)$ 元 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$ ；记

A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}

$A_{ij}$ 叫做 $(i,j)$ 元 $a_{ij}$ 的代数余子式。

2. 行列式按行（列）展开公式

行列式的值等于它的任何一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

\begin{align} D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in} (i=1,2,\cdots,n) &&(2.1) \\\\ 或D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj} (j=1,2,\cdots,n) &&(2.2) \end{align}

称 $(2.1)$ 式为行列式按第 $i$ 行展开式，称 $(2.2)$ 式为行列式按第 $j$ 列展开式。

推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的相应元素的代数余子式两两乘积之和为 $0$ 。