线性代数｜第五章 矩阵的特征值、特征向量、相似矩阵｜二、相似矩阵

二、相似矩阵

1. 定义

设 $\mathbf A,\mathbf B$ 都是 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $\mathbf P$，使得

$\mathbf P^{-1} \mathbf A \mathbf P = \mathbf B$

则称矩阵 $\mathbf A$ 与 $\mathbf B$ 相似。对 $\mathbf A$ 进行运算 $\mathbf P^{-1} \mathbf A \mathbf P$ 称为对 $\mathbf A$ 进行相似变换，可逆矩阵 $\mathbf P$ 称把 $\mathbf A$ 变成 $\mathbf B$ 的相似变换矩阵，

2. 性质

设 $\mathbf A$ 与 $\mathbf B$ 相似，则

(1) $|\ \mathbf A\ | = |\ \mathbf B\ |$；

(2) $R(\mathbf A) = R(\mathbf B)$；

(3) $|\ λ \mathbf E - \mathbf A\ | = |\ λ \mathbf E - \mathbf B\ |$，故 $\mathbf A$ 与 $\mathbf B$ 的特征值亦相同；

(4) $\mathbf A^m$ 与 $\mathbf B^m$，$\mathbf A^T$ 与 $\mathbf B^T$，$\mathbf A^{-1}$ 与 $\mathbf B^{-1}$ ，$\mathbf A^*$ 与 $\mathbf B^*$ 都相似（$m$ 为正整数）；

(5) $\mathbf A$ 的多项式 $f(\mathbf A)$ 与 $\mathbf B$ 的多项式 $f(\mathbf B)$ 相似，从而$|\ f(\mathbf A) \ |=|\ f(\mathbf B)\ |$；特别是 $λ \mathbf E - \mathbf A$ 与 $λ \mathbf E - \mathbf B$ 相似，从而 $|\ \lambda \mathbf E - \mathbf A \ | = |\ \lambda \mathbf E - \mathbf B \ |$，即性质 (3)。

(6) $\sum^n_{i=1} a_{ii} = \sum^n_{i=1} b_{ii} = \sum^n_{i=1} \lambda_{i}$，即 $tr(\mathbf A) = tr(\mathbf B) = \sum^n_{i=1} \lambda_{i}$，其中 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 是 $\mathbf A(\mathbf B)$ 的特征值。