线性代数｜第二章 矩阵｜三、初等变换、初等矩阵

三、初等变换、初等矩阵

1. 初等变换

以下三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：

(1) 两行（列）互换；

(2) 某一行（列）中的所有元素乘以数 $k≠0$；

(3) 把某一行（列）所有元素的 倍加到另一行（列）对应的元素上去。

矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换。

2. 初等矩阵

(1) 定义

由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。三种初等变换对应有三种初等矩阵。

(2) 初等矩阵的逆矩阵与伴随矩阵

初等矩阵都是可逆的，其逆矩阵仍然是初等矩阵，且

1. $[\mathbf E(i,j)]^{-1} = [\mathbf E(i,j)]$；

2. $[\mathbf E(i(k))]^{-1} = \mathbf E\big(i(\frac{1}{k})\big)$；

3. $[\mathbf E(ij(k))]^{-1} = \mathbf E(ij(-k))$。

其相应的伴随矩阵为：

1. $\mathbf E^*(i,j) = |\mathbf E(i,j)|[\mathbf E(i,j)]^{-1} = -\mathbf E(i,j)$；

2. $\mathbf E(i(k)) = |\mathbf E(i(k))|[\mathbf E(i(k))]^{-1}=k\mathbf E(i\big(\frac{1}{k})\big)$

3. $\mathbf E(ij(k)) = |\mathbf E(ij(k))|[\mathbf E(ij(k))]^{-1}=\mathbf E(ij(-k))$。

3. 初等变换与初等矩阵的关系

设 $\mathbf A$ 是一个 $m × n$ 矩阵，对 $\mathbf A$ 进行一次初等行（列）变换，相当于在 $\mathbf A$ 的左（右）边乘以相应的 $m$ 阶（$n$ 阶）初等矩阵。

4. 矩阵等价

(1) 定义

矩阵 $\mathbf A$ 经有限次初等变换变成矩阵 $\mathbf B$，就称矩阵 $\mathbf A$ 与 $\mathbf B$ 等价，记作 $\mathbf A \sim \mathbf B$。

(2) 矩阵等价的性质

1. 反射性：$\mathbf A \sim \mathbf A$；

2. 对称性：如果 $\mathbf A \sim \mathbf B$，则 $\mathbf B \sim \mathbf A$；

3. 传递性：如果 $\mathbf A \sim \mathbf B$，$\mathbf B \sim \mathbf C$，则$\mathbf A \sim \mathbf C$。

(3) 矩阵等价的充要条件

设 $\mathbf A$ 与 $\mathbf B$ 都是 $m × n$ 矩阵，则 $\mathbf A \sim \mathbf B \Leftrightarrow$ 存在 $m$ 阶可逆矩阵 $\mathbf P$ 及 $n$ 阶可逆矩阵 $\mathbf Q$，使 $\mathbf P \mathbf A \mathbf Q = \mathbf B$。