问题
在xhs上看到某团面试这么一个问题： 给定长度n的数组a，求1<=i<j<k<=n，且满足a_j>a_k>a_i的三元组(i,j,k)的数目。
但是帖子上没有给出n的范围，根据贴主的描述，应该是给出n^2* log(n)的算法就可以通过面试题目，然而超过n^2的复杂度并不是计数问题该有的复杂度，经过思考，我给出n* log(n)* log(n)的算法，足以通过n=1e5。
测试已放到洛谷上：www.luogu.com.cn/problem/U60…
分析
对于逆序对问题，常用树状数组，这里是三元组，所以考虑使用CDQ分治。
首先对数组中所有元素进行离散化，便于使用树状数组计数，此时数组中的元素在1到n间。
CDQ分治后，令左右区间都为降序排序：
情况1：i,j在左区间，k在右。首先将右区间分桶，比如右区间为4,3,3,2，那么1-2是第一个桶（从1开始是因为所有数组中的元素都在1-n），3-3是第二个，第三个桶是4到3，所以桶里恒为空，第四个桶4-4。用一个指针在左区间遍历j，一个指针在右区间遍历k，如果a[j]>a[k]，将a[j]的原下标（从大到小排序前下标）a[k]所在的桶的下标组成pair并记录下来。之后根据pair的第一关键字也就是原下标从小到大排序，然后按照原顺序从左向右遍历左区间，每次在树状数组上更新的时候，向这个数所在的桶更新，要统计答案时统计答案。
例如：
1,3,5,4,2，最后一层合并时：5,3,1 | 4,2。首先分桶，1-2是桶1,3-4是桶2。起初左指针在5，右指针在4,5>4，记录(3,2)，3是5的原下标，2是因为4在第二个桶，然后左指针来到3,3<4，所以右指针来到2，3>2，记录(2,1)，然后左指针来到1,1<2，右指针向右，右指针出界了，左右指针遍历结束。
我们记录的要统计的对是(3,2)和(2,1)，根据第一关键字排序后是：(2,1)，(3,2)。
之后按照原顺序1,3,5遍历左区间，1所属桶是1，桶1增加1，到3的时候，因为3是第二个数，和(2,1)的第一维匹配了，所以统计答案，第二维度是x的话，这里要统计的是第1个桶到第1个桶的前缀和，第1个桶到第2个桶的前缀和，，，，第1个桶到第x个桶的前缀和，这些前缀和们的和，此时是第一个桶到第一个桶的前缀和，之后3属于第二个桶，桶2增加1，然后到5了，根据(3,2)，要将第1到第1个桶的前缀和，以及第1到第2个桶的前缀和计入答案。之后5不在任何一个桶内，不改变桶的值。
用常见技巧求前缀和的前缀和：例如到第k个桶，设桶为数组b，那么b1+(b1+b2)+(b1+b2+b3)+...+(b1+..+bk)=(k+1)∑bi-∑i* bi，因此用树状数组维护桶元素b_i和i* b_i即可。
情况2：i在左区间，j,k在右区间，这种情况直接按照原顺序，从右到左遍历右区间的j处理就可以了，想法较为自然，不做更多提示。
测试数据生成
/*
模板符合C++98标准
upd:25.08.16
*/
//输入输出相关头文件
#include<iostream>
#include<cstdio>
//数据类型和STL
#include<cstring>
#include<string>
#include<cctype>
#include<set>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<queue>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<stack>
#include<utility>
//其他
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
#include<climits>
#include<limits>
#include<sstream>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long ul;
typedef unsigned long long ull;
#define fastio ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
#define fin freopen("D:/in.txt","r",stdin);
#define fout freopen("D:/out.txt","w",stdout);
const ll kases=10;
int main()
{
freopen("D:/in.txt","w",stdout);
srand(time(NULL));
cout<<kases<<"\n\n";
for(ll kase=1;kase<=kases;kase++) {
ll n=1e5;
cout<<n<<"\n";
for(ll i=1;i<=n;i++) cout<<rand()+1<<" ";
cout<<"\n\n";
}
return 0;
}
暴力法对拍程序
/*
模板符合C++98标准
upd:25.08.16
*/
//输入输出相关头文件
#include<iostream>
#include<cstdio>
//数据类型和STL
#include<cstring>
#include<string>
#include<cctype>
#include<set>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<queue>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<stack>
#include<utility>
//其他
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
#include<climits>
#include<limits>
#include<sstream>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long ul;
typedef unsigned long long ull;
#define fastio ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
#define fin freopen("D:/in.txt","r",stdin);
#define fout freopen("D:/out.txt","w",stdout);
const ll maxn=2e5+5;
ll a[maxn];
ll n;
int main()
{
freopen("D:\\Users\\Cody\\Desktop\\程序实验\\MT1\\out_naive.txt","w",stdout);
fin;
fastio;
ll kases;
cin>>kases;
for(ll kase=1;kase<=kases;kase++) {
cin>>n;
for(ll i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
ll ans=0;
for(ll i=1;i<=n;i++) {
for(ll j=1;j<=n;j++) {
for(ll k=1;k<=n;k++) {
if(i<j && j<k && a[j]>a[k] && a[k]>a[i]) ans++;
}
}
}
cout<<ans<<"\n";
}
return 0;
}
参考程序
/*
模板符合C++98标准
upd:25.08.16
*/
//输入输出相关头文件
#include<iostream>
#include<cstdio>
//数据类型和STL
#include<cstring>
#include<string>
#include<cctype>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<stack>
#include<utility>
//其他
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
#include<climits>
#include<limits>
#include<sstream>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define fastio ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
#define fin freopen("D:/in.txt","r",stdin);
#define fout freopen("D:/out.txt","w",stdout);
#define lowbit(x) (x&(-x))
const ll maxn=2e5+5;
ll n,ans,ans1,ans2;
ll ori[maxn];
vector<pair<ll,ll>> to_calc;
vector<ll> bucket_bdy; //bucket_boundary
struct number {
ll id,v;
bool operator < (const number &rhs) const {
return v<rhs.v;
}
}ord[maxn]; //CDQ分治中用到的从大到小ordered的数组
struct BIT {
ll val[maxn+5];
ll siz;
vector<ll> touched;
void init(ll siz) {
for(ll i=0;i<=siz;i++) val[i]=0;
touched.clear();
this->siz=siz;
}
BIT(ll siz) {init(siz);}
BIT() {}
void update(ll x,ll d) {
if(x<=0) return ;
while(x<=siz) {
if(val[x]==0) touched.emplace_back(x);
val[x]+=d;
x+=lowbit(x);
}
}
ll sum(ll x) {
ll res=0;
while(x>0) {
res+=val[x];
x-=lowbit(x);
}
return res;
}
void reset() {
for(ll idx:touched) val[idx]=0;
touched.clear();
}
}tree1(maxn),tree1_1(maxn),tree2(maxn),tree3(maxn);
void CDQ(ll L,ll R) {
if(L==R) return ;
ll mid=(L+R)>>1;
CDQ(L,mid);
CDQ(mid+1,R);
//统计答案
if(R>=L+2) {
//i,j在左，k在右
//子问题A
to_calc.clear(); //bucket_boundary
//to_calc.reserve(R-L+1);
bucket_bdy.clear();
//bucket_bdy.reserve(R-L+1);
for(ll k=mid+1;k<=R;k++) bucket_bdy.emplace_back(ord[k].v-1);
stable_sort(bucket_bdy.begin(),bucket_bdy.end());
ll j=L,k=mid+1;
while(j<=mid && k<=R) {
if(ord[j].v>ord[k].v) {
ll bid=upper_bound(bucket_bdy.begin(),bucket_bdy.end(),
ord[k].v-1)-bucket_bdy.begin()-1+1;
to_calc.emplace_back(ord[j].id,bid);
j++;
}else {
k++;
}
}
stable_sort(to_calc.begin(),to_calc.end());
//TODO:输出to_calc
/*puts("to_calc:");
for(auto x:to_calc) {
cout<<x.first<<" "<<x.second<<"\n";
}
puts("");*/
ll nxt_match=0,bucket_cnt=bucket_bdy.size();
tree1.reset();
tree1_1.reset();
for(ll i=L;i<=mid && nxt_match<to_calc.size();i++) {
if(i==to_calc[nxt_match].first) {
ll bid=to_calc[nxt_match].second;
ans1+=(bid+1)*tree1.sum(bid)-tree1_1.sum(bid);
nxt_match++;
}
ll x=ori[i];
ll buck_id=lower_bound(bucket_bdy.begin(),bucket_bdy.end(),x)-bucket_bdy.begin()+1;
if(buck_id>bucket_cnt) continue;
tree1.update(buck_id,1);
tree1_1.update(buck_id,buck_id);
}
//i在左,k,j在右
//子问题B
if(R>L+2) {
tree2.reset();
tree3.reset();
for(ll i=L;i<=mid;i++) tree2.update(ori[i],1);
for(ll j=R;j>=mid+1;j--) {
ans2+=tree3.sum(ori[j]-1);
tree3.update(ori[j],tree2.sum(ori[j]-1));
}
}
}
//归并排序
ll idx=L,l=L,r=mid+1;
static number t[maxn];
while(l<=mid || r<=R) {
ll vfd_l=l,vfd_r=r; //var for debug
if(l>mid) {
t[idx]=ord[r];
r++;
}
else if(r>R) {
t[idx]=ord[l];
l++;
}
else if(ord[l].v>ord[r].v) {
t[idx]=ord[l];
l++;
}else {
t[idx]=ord[r];
r++;
}
idx++;
}
for(ll i=L;i<=R;i++) ord[i]=t[i];
/*
printf("区间[%lld,%lld]的排序结果:\n",L,R);
for(ll i=L;i<=R;i++) cout<<ord[i].v<<" ";
puts("");
for(ll i=L;i<=R;i++) cout<<ord[i].id<<" ";
puts("");*/
}
int main()
{
freopen("D:\\Users\\Cody\\Desktop\\程序实验\\MT1\\out_opti.txt","w",stdout);
fin;
fastio;
ll kases;cin>>kases;
for(ll kase=1;kase<=kases;kase++) {
cin>>n;
for(ll i=1;i<=n;i++) cin>>ori[i];
//离散化到ord数组
ll t[maxn]; //临时用于离散化的数组
for(ll i=1;i<=n;i++) {
t[i]=ori[i];
}
stable_sort(t+1,t+1+n);
ll t1=unique(t+1,t+1+n)-(t+1);
//printf("t1=%lld\n",t1);
for(ll i=1;i<=n;i++) {
ord[i].id=i;
ord[i].v=lower_bound(t+1,t+1+t1,ori[i])-t;
}
for(ll i=1;i<=n;i++) {
ori[i]=ord[i].v;
}
//TODO:离散化测试
//puts("离散化测试");
//for(ll i=1;i<=n;i++) cout<<ori[i]<<" ";
ans1=ans2=0;
CDQ(1,n);
//TODO:归并排序测试
//puts("归并排序测试");
//for(ll i=1;i<=n;i++) cout<<ord[i].v<<" ";
//cout<<ans1<<" "<<ans2<<"\n";
cout<<ans1+ans2<<"\n";
}
return 0;
}
