概率论基础教程第1章 组合分析

第1章 组合分析

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1.1 引言

组合分析是概率论中用于计算事件发生方式数目的基础工具。 许多概率问题可通过以下方式求解：

示例：通信系统有效性

• $n$ 个天线排成一行，恰好 $m$ 个失效；
• 系统有效当且仅当没有两个失效天线相邻；
• 求系统有效的概率。

特例：$n = 4, m = 2$

• 所有可能的失效位置组合数为：

  $$C(4, 2) = \binom{4}{2} = 6$$

  所有配置：

  1100, 1010, 1001, 0110, 0101, 0011
  

• 判断是否有效（无相邻0）：

  • 有效：1010, 0110, 0101 → 3种
  • 无效：其余3种

• 概率：

  $$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

此问题表明：精确计数是解决概率问题的关键，引出组合分析的重要性。

1.2 计数基本法则

基本计数法则

若试验1有 $m$ 种可能结果，
且对试验1的每一个结果，试验2有 $n$ 种可能结果，
则这两个试验联合共有 $m \times n$ 种可能结果。

证明思路

所有结果可表示为有序对 $(i, j)$，其中：

• $i = 1, 2, ..., m$
• $j = 1, 2, ..., n$

形成 $m \times n$ 的矩阵，总结果数为 $m \times n$。

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推广的计数基本法则

若有 $r$ 个试验，且：

• 试验1有 $n_1$ 种结果，
• 对试验1的每种结果，试验2有 $n_2$ 种结果，
• 对前两个试验的每种组合，试验3有 $n_3$ 种结果，
• …… 则总共有：

种可能的结果。

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例题整理

例2a

题目：10位妇女，每位有3个孩子。现要选出一位妇女及其一个孩子作为“年度母亲和儿童”，问有多少种选法？

解：

• 试验1：选妇女 → 10种选择；

• 试验2：在其孩子中选1个 → 3种选择；

• 根据基本计数法则，总数为：

  $$10 \times 3 = 30$$

答案：30种选法。

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例2b

题目：委员会由3名大一、4名大二、5名大三、2名大四学生组成。从中选4人组成分委员会，每人来自不同年级，问有多少种选法？

解：

• 每个年级选1人：

  • 大一：3种选择
  • 大二：4种选择
  • 大三：5种选择
  • 大四：2种选择

• 应用推广的计数法则：

  $$3 \times 4 \times 5 \times 2 = 120$$

答案：120种不同的分委员会。

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例2c

题目：7位车牌号，前3位为字母（A–Z），后4位为数字（0–9）。问共有多少种不同的车牌号？

解：

• 字母部分：每位26种选择 → $26 \times 26 \times 26$

• 数字部分：每位10种选择 → $10 \times 10 \times 10 \times 10$

• 总数：

  $$26^3 \times 10^4 = 175760000$$

答案：175,760,000 种。

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例2d

题目：定义在 $n$ 个点上的函数，每个点的函数值只能是0或1，问这样的函数有多少个？

解：

• 每个点 $i \in \{1,2,\dots,n\}$，$f(i)$ 有两种取值：0 或 1；

• 每个点独立选择，共 $n$ 个选择步骤；

• 总函数数：

  $$2^n$$

答案：共有 $2^n$ 个这样的函数。

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例2e

题目：同例2c，但要求字母不重复、数字不重复，问有多少种车牌号？

解：

• 前三位字母（从26个中不重复选取）：

  • 第1位：26种
  • 第2位：25种
  • 第3位：24种

• 后四位数字（从10个数字中不重复选取）：

  • 第1位：10种
  • 第2位：9种
  • 第3位：8种
  • 第4位：7种

• 总数：

  $$26 \times 25 \times 24 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 78,624,000$$

答案：78,624,000 种。

1.3 排列

排列（Permutation）是指将一组元素按一定顺序进行排列的方式，不同顺序视为不同的排列。

基本结论

• $n$ 个互不相同元素的全排列数为：

  $$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$$

• 规定：$0! = 1$

示例：字母 a, b, c 的排列

所有可能排列为：
abc, acb, bac, bca, cab, cba → 共 $3! = 6$ 种。

通过计数基本法则解释：

• 第一个位置有 3 种选择；
• 第二个位置剩下 2 种；
• 第三个位置只剩 1 种；
• 总数：$3 \times 2 \times 1 = 6$

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例 3a

一个有 9 名队员的垒球队可能有多少种不同的击球顺序？

解：即 9 个不同人的全排列：

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例 3b

某概率论班共有 6 名男生、4 名女生，有次测验是根据他们的表现来排名次，假设没有两个学生成绩一样。
(a) 一共有多少种可能的名次？
(b) 如果限定男生和女生分开排名次，那么一共有多少种可能的名次？

解：
(a) 每种名次对应 10 个人的一个排列，总数为：

(b) 男生内部排名有 $6!$ 种，女生内部有 $4!$ 种，由计数基本法则：

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例 3c

Jones 女士要把 10 本书放到书架上，其中有 4 本数学书、3 本化学书、2 本历史书和 1 本语文书。如果相同学科的所有图书都必须放在一起，那么一共可能有多少种放法？

解：

• 四类书作为一个整体，其排列顺序有 $4!$ 种；

• 每类书内部排列：

  • 数学：$4!$
  • 化学：$3!$
  • 历史：$2!$
  • 语文：$1!$

• 总数为：

  $$4! \times (4! \times 3! \times 2! \times 1!) = 24 \times (24 \times 6 \times 2 \times 1) = 6912$$

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例 3d

用 6 个字母 PEPPER 进行排列，一共有多少种不同的排列方式？

解： 若所有字母可区分，总排列数为 $6!$。但由于：

• P 出现 3 次 → 重复 $3!$ 次
• E 出现 2 次 → 重复 $2!$ 次
• R 出现 1 次 实际不同排列数为：

推广：若 $n$ 个元素中有 $n_1, n_2, \dots, n_r$ 个相同类别的元素，则不同排列数为：

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例 3e

一个棋类比赛一共有 10 个选手，其中 4 个来自俄罗斯，3 个来自美国，2 个来自英国，1 个来自巴西。如果比赛结果只记录选手的国籍，那么一共有多少种可能的结果？

解： 相当于对多重复元素的排列：

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例 3l

将 9 面小旗排列在一条直线上，其中 4 面白色、3 面红色、2 面蓝色，且颜色相同的旗完全一样。如果不同的排列方式代表不同的信号，那么这 9 面旗一共可组成多少种不同的信号？

解：

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1.4 组合

从 $n$ 个元素中取 $r$ 个组成一组，不考虑顺序，这样的组称为一个组合。

我们用 $C_n^r$ 表示从 $n$ 个不同元素中取 $r$ 个的组合数，即：

推导

若考虑顺序，选法为：

但每个 $r$ 元素组被重复计算了 $r!$ 次（其内部排列数），故不考虑顺序时：

性质

• $C_n^0 = C_n^n = 1$
• 当 $r > n$ 或 $r < 0$ 时，定义 $C_n^r = 0$
• $C_n^r = C_n^{n - r}$

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例 4a

从 20 人当中选 3 人组成委员会，可能有多少种不同的委员会？

解：

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例 4b

一个团体共有 12 人，其中 5 ····位女士，7 位男士。现从中选取 2 位女士和 3 位男士组成一个委员会，问有多少种不同的委员会？另外，如果其中 2 位男士之间有矛盾，并且拒绝一起工作，那又有多少种不同的委员会？

解：
第一部分：

• 选女士：$C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$
• 选男士：$C_7^3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$
• 总数：$10 \times 35 = 350$

第二部分（两位男士不能共存）：

• 总的选法中，同时包含这两位男士的情况：需从其余 5 位男士中再选 1 人 → $C_5^1 = 5$ 种
• 合法选法：$35 - 5 = 30$
• 女士仍为 $C_5^2 = 10$ 种
• 合法委员会总数：$30 \times 10 = 300$

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例 4c

假设在一排 $n$ 个天线中，有 $m$ 个是失效的，另 $n-m$ 个是有效的，且同类天线不可区分。问有多少种线性排列方式，使得任何两个失效的天线都不相邻？

解：

• 先将 $n - m$ 个有效天线排好，形成 $n - m + 1$ 个可插入位置（包括首尾）：

  _ E _ E _ E _ ... _ E _
  

• 从中选 $m$ 个位置放置失效天线，每位置至多一个，即可保证不相邻。

• 方案数为：

  $$C_{n - m + 1}^{m}$$

• 当 $m > n - m + 1$ 时，结果为 0。

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组合恒等式与二项式定理

帕斯卡恒等式

组合解释： 固定一个元素，选 $r$ 个元素可分为两类：

• 包含该元素：从其余 $n-1$ 个中选 $r-1$ 个 → $C_{n-1}^{r-1}$
• 不包含该元素：从其余 $n-1$ 个中选 $r$ 个 → $C_{n-1}^r$ 相加即得。

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二项式定理

其中 $C_n^k$ 称为二项式系数。

• 证明方法一：数学归纳法

  步骤 1：验证基础情形（$n = 1$）

  $$(x + y)^1 = x + y$$

  右边展开：

  $$\sum_{k=0}^{1} C_1^k x^k y^{1-k} = C_1^0 x^0 y^1 + C_1^1 x^1 y^0 = y + x$$

  成立。

  步骤 2：归纳假设

  假设对某个正整数 $n-1$ 成立，即：

  $$(x + y)^{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^k x^k y^{n-1-k}$$

  步骤 3：证明对 $n$ 成立

  $$(x + y)^n = (x + y)(x + y)^{n-1} = (x + y) \sum_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^k x^k y^{n-1-k}$$

  将其拆分为两部分：

  $$= x \sum_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^k x^k y^{n-1-k} + y \sum_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^k x^k y^{n-1-k} = \sum_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^k x^{k+1} y^{n-1-k} + \sum_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^k x^k y^{n-k}$$

  对第一项做变量替换：令 $i = k+1$，则：

  $$\sum_{i=1}^{n} C_{n-1}^{i-1} x^i y^{n-i}$$

  第二项保持 $i = k$：

  $$\sum_{i=0}^{n} C_{n-1}^{i} x^i y^{n-i} \quad \text{（注意当 } i=n \text{ 时，} C_{n-1}^n = 0\text{）}$$

  合并两项：

  $$(x + y)^n = \sum_{i=1}^{n} C_{n-1}^{i-1} x^i y^{n-i} + \sum_{i=0}^{n} C_{n-1}^{i} x^i y^{n-i} = C_{n-1}^0 x^0 y^n + \sum_{i=1}^{n-1} \left( C_{n-1}^{i-1} + C_{n-1}^i \right) x^i y^{n-i} + C_{n-1}^{n-1} x^n y^0$$

  利用帕斯卡恒等式：

  $$C_n^i = C_{n-1}^{i-1} + C_{n-1}^i$$

  以及边界值 $C_n^0 = 1 = C_{n-1}^0$，$C_n^n = 1 = C_{n-1}^{n-1}$，得：

  $$(x + y)^n = \sum_{i=0}^{n} C_n^i x^i y^{n-i}$$

  由数学归纳法，定理对所有 $n \in \mathbb{N}$ 成立。

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  证明方法二：组合解释（组合法）

  考虑乘积：

  $$(x + y)^n = \underbrace{(x + y)(x + y)\cdots(x + y)}_{n\text{ 个因子}}$$

  展开时，每一项是从未知数中从每个括号选择 $x$ 或 $y$ 相乘得到的结果。例如，若从 $k$ 个括号中选 $x$，其余 $n-k$ 个选 $y$，则得到项 $x^k y^{n-k}$。

  这样的选择方式有多少种？ 即从 $n$ 个括号中选出 $k$ 个来取 $x$，其余取 $y$，方案数为：

  $$C_n^k$$

  因此，$x^k y^{n-k}$ 的系数就是 $C_n^k$，故：

  $$(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k y^{n-k}$$

  这个证明直观地揭示了二项式系数的来源：它是组合选择的自然结果。

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例 4d

展开 $(x + y)^3$。

解：

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例 4e

一个有 $n$ 个元素的集合共有多少子集？

解：

• 含 $k$ 个元素的子集有 $C_n^k$ 个

• 所有子集数为：

  $$\sum_{k=0}^{n} C_n^k = (1 + 1)^n = 2^n$$

• 包括空集和全集。

• 至少有一个元素的子集数为：$2^n - 1$

1.5 多项式系数

问题引入

将 $n$ 个不同元素分成 $r$ 个有序组，每组分别有 $n_1, n_2, \dots, n_r$ 个元素，且满足：

问共有多少种不同的分法？

多项式系数定义

该问题的解为：

这个值称为多项式系数（Multinomial Coefficient），记作：

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推导方法一：逐组选取（计数法）

• 第一组从 $n$ 个元素中选 $n_1$ 个：$C_n^{n_1} = \dfrac{n!}{n_1!(n - n_1)!}$
• 第二组从剩余 $n - n_1$ 个中选 $n_2$ 个：$C_{n - n_1}^{n_2}$
• …
• 最后一组仅剩 $n_r$ 个，只有一种选法

根据推广的计数基本法则，总方法数为：

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推导方法二：排列对应法

考虑一个由 $n$ 个标签组成的序列，其中：

• 标签“1”出现 $n_1$ 次，
• 标签“2”出现 $n_2$ 次，
• …，
• 标签“r”出现 $n_r$ 次。

这样的序列共有：

种不同排列（见 1.3 节多重排列）。

每个排列对应一种分组方式：第 $i$ 个位置若标为 $k$，则表示第 $i$ 个元素被分入第 $k$ 组。

因此，分组方式数 = 多重排列数 = 多项式系数。

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例题

例 5a

某警察局有 10 名警察，需分配为：

• 5 人巡逻，
• 2 人值班，
• 3 人待命。

问共有多少种分法？

解：这是一个三项分组问题，$n = 10, n_1 = 5, n_2 = 2, n_3 = 3$，则：

答：2520 种分法。

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例 5b

将 10 个小孩平均分成 A、B 两队，分别参加两场不同的比赛，问有多少种分法？

解：两队有区别（A 和 B），每队 5 人：

答：252 种。

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例 5c

将 10 个孩子平均分成两组进行篮球比赛，两组无区别（即不区分组名），问有多少种分法？

解：与例 5b 不同，此处两组无序。每种分组在例 5b 中被计算了 2 次（A/B 互换），故应除以 $2!$：

答：126 种。

一般地，若将 $n$ 个元素分成若干大小相等的无标签组，需对称性去重。

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多项式定理（Multinomial Theorem）

定理：

其中求和取遍所有满足 $n_1 + \cdots + n_r = n$ 的非负整数向量 $(n_1, \dots, n_r)$。

说明：展开式中每一项 $x_1^{n_1} \cdots x_r^{n_r}$ 的系数就是将 $n$ 次选择分配给 $r$ 个变量的方式数，即多项式系数。

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例 5e

展开 $(x_1 + x_2 + x_3)^2$

解：所有满足 $n_1 + n_2 + n_3 = 2$ 的非负整数解：

• (2,0,0)：$\binom{2}{2,0,0} = \frac{2!}{2!0!0!} = 1$ → $x_1^2$
• (0,2,0)：1 → $x_2^2$
• (0,0,2)：1 → $x_3^2$
• (1,1,0)：$\frac{2!}{1!1!0!} = 2$ → $2x_1x_2$
• (1,0,1)：2 → $2x_1x_3$
• (0,1,1)：2 → $2x_2x_3$

结果：

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例 5d

淘汰赛问题：8 名选手进行单败淘汰赛。

(a) 第一轮后有多少种可能结果？
(b) 整个比赛有多少种可能结果（包含所有轮次）？

解：

(a) 第一轮可能结果数

我们要计算：将 8 名选手在第一轮配对并决出 4 名胜者的所有可能方式数。

这个问题分为两个部分：

1. 如何将 8 人分成 4 对？（配对方式）
2. 每对比赛中谁获胜？（胜负结果）

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步骤 1：计算配对方式数（无序两人组划分）

将 $2n$ 个不同元素划分为 $n$ 个无序的两人组（每组内部无序，组间也无序），其方式数为：

代入 $n = 4$（8 人 → 4 对）：

解释：

• $(2!)^4 = 2^4 = 16$：每对中两人顺序无关（A vs B 与 B vs A 相同）；
• $4! = 24$：4 场比赛之间无顺序之分（先打哪场不重要）。

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步骤 2：每场比赛的胜负结果

每对比赛有 2 种结果（谁赢谁输），共 4 场比赛，独立选择：

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步骤 3：第一轮总结果数

根据乘法原理（计数基本法则）：

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方法二：更简洁的公式推导（推荐）

我们可以换一种方式思考：

先选出 4 名胜者，再将 4 名败者“分配”给他们（即确定谁输给了谁）。

1. 从 8 人中选 4 人作为胜者：

   $$\binom{8}{4} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = 70$$

2. 剩余 4 人为败者。将他们与 4 名胜者一一配对（即“谁输给谁”）：

   $$4! = 24$$

3. 总数：

   $$\binom{8}{4} \times 4! = \frac{8!}{4! \cdot 4!} \times 4! = \frac{8!}{4!}$$

计算：

所以：

(b) 整个比赛结果总数

• 第一轮：$\frac{8!}{4!}$ 种结果（产生 4 名胜者）

• 第二轮（4 人）：同理，$\frac{4!}{2!}$

• 第三轮（2 人）：$\frac{2!}{1!}$

• 总数：

  $$\frac{8!}{4!} \times \frac{4!}{2!} \times \frac{2!}{1!} = 8! = 40320$$

结论：$n = 2^m$ 名选手的淘汰赛，可能结果总数为 $n!$

1.6 方程的整数解个数

问题背景

一个人去 Ticonderoga 湖钓鱼，湖中有 4 种不同的鱼：鳟鱼、鲶鱼、鲈鱼和竹荚鱼。如果将这次钓鱼的结果定义为钓到每种鱼的数量，那么在总共钓到 10 条鱼的情况下，有多少种不同的结果？

用向量 $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ 表示结果，其中：

• $x_1$：鳟鱼数量
• $x_2$：鲶鱼数量
• $x_3$：鲈鱼数量
• $x_4$：竹荚鱼数量

要求：

即求该方程的非负整数解的个数。

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一般问题

更一般地，若有 $r$ 种鱼，共钓到 $n$ 条鱼，则结果数等于满足：

的非负整数向量 $(x_1, x_2, \dots, x_r)$ 的个数。

为求解此问题，先考虑正整数解的情形。

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正整数解的个数（命题 6.1）

考虑方程：

将 $n$ 个相同的“0”排成一行：

0 0 0 ⋯ 0 0

共有 $n$ 个 0，它们之间有 $n - 1$ 个间隙。

要将这 $n$ 个 0 分成 $r$ 个非空段，只需从 $n - 1$ 个间隙中选出 $r - 1$ 个插入分隔符。

例如，$n = 8, r = 3$，选择第1个和第5个间隙：

0 | 0 0 0 0 | 0 0 0
→ x₁ = 1, x₂ = 4, x₃ = 3

每一个这样的选择唯一对应一个正整数解，且每个正整数解也唯一对应一种分法。

因此，正整数解的个数为：

命题 6.1：方程 $x_1 + \cdots + x_r = n$ 的正整数解个数为 $\binom{n - 1}{r - 1}$。

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非负整数解的个数（命题 6.2）

对于非负整数解（允许 $x_i = 0$），可通过变量替换转化为正整数解问题。

令：

则 $y_i \geq 1$，且：

由命题 6.1，该方程的正整数解个数为：

因此，原方程的非负整数解个数也为：

命题 6.2：方程 $x_1 + \cdots + x_r = n$ 的非负整数解个数为 $\binom{n + r - 1}{r - 1}$。

应用到钓鱼问题：$n = 10, r = 4$，解数为：

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例题

例 6a

方程 $x_1 + x_2 = 3$ 有多少组非负整数解？

解：

解为：$(0,3), (1,2), (2,1), (3,0)$

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例 6b

一位投资者有 2 万美元可投资到 4 个项目，每项投资必须是 1000 美元的整数倍。

（1）若要求将 2 万美元全部投资，有多少种投资方法？
（2）若不要求全部投资，有多少种可能策略？

解：
令 $x_i$ 表示第 $i$ 个项目投资额（单位：千美元）。

（1）方程：

解数：

（2）若不要求全部投资，引入变量 $x_5 \geq 0$ 表示剩余资金，则：

解数：

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例 6c

在 $(x_1 + x_2 + \cdots + x_r)^n$ 的展开式中，一共有多少项？

解：
由多项式定理：

其中求和取遍所有满足 $n_1 + \cdots + n_r = n$ 的非负整数 $(n_1,\dots,n_r)$。

因此，项数等于该方程的非负整数解个数：

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例 6d

回顾例 4c：有 $n$ 个天线，其中 $m$ 个失效（不可区分），$n - m$ 个有效（不可区分），要求无两个失效天线相邻。

设想将 $m$ 个失效天线固定，需在它们之间和两端放置 $n - m$ 个有效天线，使得任意两个失效天线之间至少有一个有效天线。

设：

• $x_1 \geq 0$：最左边的有效天线数
• $x_i > 0$（$i = 2, \dots, m$）：第 $i-1$ 与第 $i$ 个失效天线之间的有效天线数
• $x_{m+1} \geq 0$：最右边的有效天线数

则：

其中 $x_1, x_{m+1} \geq 0$，$x_2, \dots, x_m > 0$

令：

• $y_1 = x_1 + 1$
• $y_i = x_i$（$i = 2, \dots, m$）
• $y_{m+1} = x_{m+1} + 1$

则 $y_i \geq 1$，且：

由命题 6.1，正整数解个数为：

这与例 4c 的结果一致。

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推广：每两个失效天线之间至少有 2 个有效天线

若要求任意两个失效天线之间至少有 2 个有效天线，则：

• $x_i \geq 2$（$i = 2, \dots, m$）

令：

• $y_1 = x_1 + 1$
• $y_i = x_i - 1$（$i = 2, \dots, m$）→ $y_i \geq 1$
• $y_{m+1} = x_{m+1} + 1$

则：

正整数解个数为：

应用习题

题目 1.1

(a) 前 2 位为字母、后 5 位为数字的 7 位汽车牌照一共有多少种？
(b) 字母和数字都不能重复，有多少种？

解答：
(a)

(b)

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题目 1.2

掷一枚骰子 4 次，一共有多少种结果序列？

解答：

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题目 1.3

把 20 份不同的工作分派给 20 个工人，每个工人一份，问有多少种可能的分派方式？

解答：

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题目 1.4

约翰、吉姆、杰伊和杰克组成一个有 4 种乐器的乐队。
(a) 如果每个人都会演奏这 4 种乐器，问有多少种不同的组合？
(b) 约翰和吉姆会全部 4 种乐器，杰伊只会弹钢琴，杰克只会打鼓，有多少种组合？

解答：

(a)

(b) 杰伊和杰克的乐器固定，剩下 2 种乐器由约翰和吉姆分配：

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题目 1.5

电话区号：第一位 29，第二位 0 或 1，第三位 19。
(a) 一共有多少种区号？
(b) 以 4 开头的有多少种？

解答：
(a)

(b)

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题目 1.6

童谣：7 个老婆，每老婆 7 个包，每包 7 只猫，每猫 7 只小猫。共多少只小猫？

解答：

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题目 1.7

3 个男孩和 3 个女孩坐一排。
(a) 无限制？
(b) 男孩和女孩分别坐在一起？
(c) 男孩坐在一起？
(d) 相邻座位必须异性？

解答：
(a)

(b) 男、女各为一块，块内排列：

(c) 男孩为一块，共 4 单位（块 + 3 女）：

(d) 必须男女交替，两种模式：

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题目 1.8

计算下列单词的字母排列数：
(a) Fluke
(b) Propose
(c) Mississippi
(d) Arrange

解答：
(a) 所有字母不同：

(b) P:2, O:2, R,S,E:1：

(c) M:1, I:4, S:4, P:2：

(d) A:2, R:2, N,G,E:1：

---

题目 1.9

12 块积木：6 黑、4 红、1 白、1 蓝，排成一排，有多少种排法？

解答：

---

题目 1.10

8 人坐一排。
(a) 无限制？
(b) A 和 B 必须坐在一起？
(c) 4 男 4 女，同性别不相邻？
(d) 5 个男人必须坐在一起？
(e) 4 对夫妇，每对必须坐在一起？

解答：
(a)

(b) A、B 视为一块，块内 2 种：

(c) 男女交替，两种起始：

(d) 5 个男人为一块，共 4 单位：

(e) 每对为一块，每块内 2 种：

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题目 1.11

3 小说、2 数学、1 化学书放书架。
(a) 任意顺序？
(b) 数学书一起，小说一起？
(c) 小说一起，其余任意？

解答：
(a)

(b) 数学块（$2!$），小说块（$3!$），化学单本，3 块排列：

(c) 小说为一块，共 4 单位：

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题目 1.12

30 名学生，颁发 5 个不同奖项。
(a) 一个学生可得多个奖？
(b) 每人最多得一个奖？

解答：
(a)

(b)

---

题目 1.13

20 人，每两人握一次手，共多少次？

解答：

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题目 1.14

从 52 张牌中抽 5 张，有多少种结果？

解答：

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题目 1.15

舞蹈班 10 女 12 男，选 5 女 5 男并配对，有多少种配法？

解答：

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题目 1.16

书：6 数学、7 艺术、4 化学。
(a) 两本同科目？
(b) 两本不同科目？

解答：
(a)

(b)

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题目 1.17

7 件不同礼物分给 10 个孩子，每人最多 1 件，有多少种分法？

解答：

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题目 1.18

5 共和党、6 民主党、4 无党派，选 2 共和党、2 民主党、3 无党派组成委员会。

解答：

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题目 1.19

从 8 女 6 男中选 3 女 3 男。
(a) 有 2 男拒绝共事？
(b) 有 2 女拒绝共事？
(c) 有 1 男 1 女拒绝共事？

解答：
(a) 总数：$\binom{8}{3} \binom{6}{3} = 1120$；两人共事：需选其余 3 女 $\binom{8}{3}$，其余 1 男 $\binom{4}{1}$：

(b) 类似：

(c) 两人共事时，选其余 2 女 $\binom{7}{2}$，其余 2 男 $\binom{5}{2}$：

---

题目 1.20

8 朋友中邀请 5 人聚会。
(a) 有 2 人不能同时参加？
(b) 有 2 人只能同时参加？

解答：
(a) 总：$\binom{8}{5} = 56$；两人同在：$\binom{6}{3} = 20$：

(b) 两人同在：$\binom{6}{3} = 20$；同不在：$\binom{6}{5} = 6$：

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题目 1.21

要从 7 步中选出 3 步用于“向上”，其余自动为“向右”。

从 A 到 B 需右 4 步、上 3 步，有多少种路径？

解答：

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题目 1.22

同上，但必须经过点 (2,2)？

解答：
A 到 (2,2)：$\binom{4}{2} = 6$；(2,2) 到 B（右 2 上 1）：$\binom{3}{1} = 3$：

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题目 1.23

3 对双胞胎安排到 3 间房，每房 2 床，每对必须同房不同床。

解答： 分配房间给 3 对：$3!$；每对内部换床：$2^3$：

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题目 1.24

展开 $(3x^2 + y)^5$

解答：

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题目 1.25

桥牌：52 张牌分给 4 人，每人 13 张，有多少种分法？

解答：

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题目 1.26

展开 $(x_1 + 2x_2 + 3x_3)^4$

解答：

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题目 1.27

12 人分成 3 个委员会，分别有 3、4、5 人。

解答：

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题目 1.28

8 个老师分配到 4 个学校。
(a) 无限制？
(b) 每校恰好 2 人？

解答：
(a)

(b)

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题目 1.29

10 举重选手：3 美、4 俄、2 中、1 加，结果只记国籍。
(a) 有多少种可能结果？
(b) 美国：1 人在前三，2 人在最后三，有多少种？

解答：
(a)

(b) 选 1 美进前三：$\binom{3}{1}$；其余 7 人安排（4 俄、2 中、1 加）：

---

题目 1.30

10 国代表坐一排，法英必须在一起，俄美不能在一起。

解答：
法英在一起：$2 \times 9!$
法英在且俄美在：俄美为一块，法英为一块，共 8 单位，块内各 2 种：$2 \times 2 \times 8!$
所求：

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题目 1.31

8 块相同黑板分给 4 所学校。
(a) 无限制？
(b) 每校至少 1 块？

解答：
(a) 非负整数解：

(b) 正整数解（令 $y_i = x_i - 1$）：

---

题目 1.32

电梯载 8 人从 1 楼到 6 楼。
(a) 只注意每层下几人？
(b) 5 男 3 女，只注意每层下男女数？

解答：
(a)

(b) 男分布：$\binom{5 + 6 - 1}{5} = \binom{10}{5}$；女分布：$\binom{3 + 6 - 1}{3} = \binom{8}{3}$：

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题目 1.33

2 万美元投资 4 项目，每份 1000 美元整数倍。
(a) 每项目至少投 2k, 2k, 3k, 4k 美元，且每项都投？
(b) 至少投其中 3 项？

解答：
(a) 令 $x_i$ 为投资（千美元），$x_1 \geq 2$, $x_2 \geq 2$, $x_3 \geq 3$, $x_4 \geq 4$，$x_1 + \cdots + x_4 = 20$。
令 $y_i = x_i - m_i$，则 $y_1 + \cdots + y_4 = 9$：

(b) 分情况：投 3 项或 4 项。

• 投 4 项（同上）：220
• 投 3 项：枚举省略，经计算得 332
  最终：

---

题目 1.34

湖中有 5 种鱼，捕到 10 条。
(a) 每种至少 1 条？
(b) 恰好 3 条是鳟鱼？
(c) 至少 2 条是鳟鱼？

解答：
(a) 正整数解：

(b) 设鳟鱼 $x_1 = 3$，其余 7 条分给 5 种（非负）：

(c) 非负总数：$\binom{10 + 5 - 1}{4} = \binom{14}{4} = 1001$
$x_1 = 0$：其余 10 条分 4 种：$\binom{10 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{13}{3} = 286$
$x_1 = 1$：其余 9 条：$\binom{9 + 4 - 1}{3} = \binom{12}{3} = 220$
至少 2 条：

理论习题

1.1

证明推广的计数基本法则：
若有 $r$ 个步骤完成一项任务，第 $i$ 步有 $n_i$ 种方式（不受前几步选择影响），则总方式数为

证明：
对 $r$ 用数学归纳法。

• 当 $r = 1$，显然成立。

• 假设对 $r-1$ 成立，则前 $r-1$ 步有 $\prod_{i=1}^{r-1} n_i$ 种方式。
  每种方式下，第 $r$ 步有 $n_r$ 种选择，故总数为

  $$\left( \prod_{i=1}^{r-1} n_i \right) \times n_r$$

  归纳完成，得证。

---

1.2

做两个试验：第一个有 $m$ 种结果；对第 $i$ 个结果，第二个有 $n_i$ 种结果。问总共有多少种联合结果？

解答：
对第一个试验的每种结果 $i$，第二个试验有 $n_i$ 种后续结果。总结果数为

---

1.3

从 $n$ 个元素中取 $r$ 个，考虑次序，有多少种取法？

解答：
即排列数：

---

1.4

有 $r$ 个白球、$n-r$ 个黑球（同色球相同），排成一排，有多少种不同排列？

解答：
只需确定白球的位置（或黑球），从 $n$ 个位置中选 $r$ 个放白球：

---

1.5

求满足 $x_i \in \{0,1\}$ 且 $\sum_{i=1}^n x_i \geq k$ 的向量 $(x_1,\ldots,x_n)$ 的个数。

解答：
总向量数 $2^n$，满足和 $\geq k$ 的个数为

---

1.6

有多少个向量 $(x_1,\ldots,x_k)$，其中 $1 \leq x_1 < x_2 < \cdots < x_k \leq n$？

解答：
等价于从 $\{1,2,\ldots,n\}$ 中选 $k$ 个不同元素并升序排列，方案数为

---

1.7

用分析法证明：

证明：

通分得：

---

1.8

证明：

解释：
设有 $n$ 个男人、$m$ 个女人，从中选 $r$ 人。

• 左边：总选法 $\binom{n+m}{r}$。
• 右边：按选出的男人数 $i$ 分类，女人数为 $r-i$，对应方案数 $\binom{n}{i}\binom{m}{r-i}$。
  对 $i = 0$ 到 $r$ 求和即得总数。
  边界情况（如 $i > n$）时组合数为 0，自动处理。
  故等式成立。

---

1.9

利用 1.8 证明：

证明：
在 1.8 中令 $n = m$，$r = n$：

---

1.10

从 $n$ 人中选 $k$ 人组成委员会，并选主席。
(a) 先选 $k$ 人，再选主席：$\binom{n}{k} \cdot k$
(b) 先选 $k-1$ 名普通成员，再从其余 $n-k+1$ 人中选主席：$\binom{n}{k-1}(n-k+1)$
(c) 先选主席（$n$ 种），再从其余 $n-1$ 人中选 $k-1$ 名成员：$n \binom{n-1}{k-1}$
(d) 三式相等，故

验证：

相等，其余类似。

---

1.11

费马组合恒等式：

解释：
从 $\{1,\ldots,n\}$ 中选 $k$ 元子集，设最大元素为 $i$（$i = k$ 到 $n$）。
其余 $k-1$ 个元素从 $\{1,\ldots,i-1\}$ 中选，有 $\binom{i-1}{k-1}$ 种。
对 $i$ 求和即得总数 $\binom{n}{k}$。

---

1.12

恒等式：

组合证明：
考虑从 $n$ 人中选一个委员会（任意人数）并选一名主席。

• 方法一：对每个 $k$，选 $k$ 人（$\binom{n}{k}$），再选主席（$k$ 种）：总和 $\sum k\binom{n}{k}$
• 方法二：先选主席（$n$ 种），其余 $n-1$ 人自由加入（$2^{n-1}$ 种）：总数 $n \cdot 2^{n-1}$
  两边相等，得证。

---

1.13

证明：对 $n > 0$，

证明：
由二项式定理：

---

1.14

从 $n$ 人中选 $j$ 人组成委员会，再从中选 $i$ 人组成分委员会（$i \leq j$）。
(a) 两种方法：

• 先选 $j$ 人，再选 $i$ 人：总数 $\sum_{j=i}^{n} \binom{n}{j}\binom{j}{i}$

• 先选 $i$ 人作分委员会（$\binom{n}{i}$），再从其余 $n-i$ 人中选 $j-i$ 人加入：对 $j$ 求和得

  $$\binom{n}{i} \sum_{j=i}^{n} \binom{n-i}{j-i} = \binom{n}{i} 2^{n-i}$$

  故

  $$\sum_{j=i}^{n} \binom{n}{j} \binom{j}{i} = \binom{n}{i} 2^{n-i}$$

(b) 利用 1.13：

---

1.15

令 $H_k(n)$ 为满足 $1 \leq x_1 \leq \cdots \leq x_k \leq n$ 的正整数向量个数。
(a) 递推关系：
若 $x_k = j$，则前 $k-1$ 个变量满足 $\leq j$，有 $H_{k-1}(j)$ 种：

(b) 计算 $H_3(5)$：

• $H_1(j) = j$
• $H_2(j) = \sum_{i=1}^{j} i = \frac{j(j+1)}{2}$
  • $H_2(1)=1,\ H_2(2)=3,\ H_2(3)=6,\ H_2(4)=10,\ H_2(5)=15$
• $H_3(5) = \sum_{j=1}^{5} H_2(j) = 1+3+6+10+15 = 35$

---

1.16

$N(n)$：$n$ 名选手排名允许并列的方案数（有序划分）。
(a) $N(0) = 1$，递推：
设最后一名有 $i$ 人并列（$i=1$ 到 $n$），选法 $\binom{n}{i}$，其余 $n-i$ 人排名为 $N(n-i)$：

(b) 计算：

• $N(1) = \binom{1}{1}N(0) = 1$
• $N(2) = \binom{2}{1}N(1) + \binom{2}{2}N(0) = 2 + 1 = 3$
• $N(3) = 3\cdot3 + 3\cdot1 + 1 = 13$
• $N(4) = 4\cdot13 + 6\cdot3 + 4\cdot1 + 1 = 75$

---

1.17

解释：$\binom{n}{r} = \binom{n}{r, n-r}$

解释：
$\binom{n}{r}$ 是选 $r$ 个元素的方式数；
$\binom{n}{r, n-r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ 是将 $n$ 个元素分为大小为 $r$ 和 $n-r$ 两组的方式数。
因选 $r$ 个即自动确定另一组，故两者相等。

---

1.18

证明多重组合数递推：

解释：
考虑第 $n$ 个元素属于哪一组。若属于第 $i$ 组，则该组还需 $n_i - 1$ 个元素，其余组不变，方案数为右边第 $i$ 项。对 $i$ 求和即得总数。

---

1.19

证明多项式定理：

解释：
展开时，每项由从 $n$ 个因子中各选一个 $x_i$ 相乘得到。若选 $k_i$ 次 $x_i$，则该项为 $x_1^{k_1}\cdots x_r^{k_r}$，其系数为将 $n$ 个位置分配给 $r$ 类的多重排列数 $\binom{n}{k_1,\ldots,k_r}$。对所有 $\sum k_i = n$ 求和即得。

---

1.20

将 $n$ 个相同球放入 $r$ 个坛子，第 $i$ 个坛子至少 $m_i$ 个，且 $n \geq \sum m_i$。问有多少种放法？

解答：
令 $y_i = x_i - m_i \geq 0$，则

非负整数解个数为

---

1.21

方程 $x_1 + \cdots + x_r = n$ 的非负整数解中，恰好有 $k$ 个 $x_i = 0$ 的个数为

解释：

• 选 $k$ 个变量为 0：$\binom{r}{k}$
• 剩余 $r-k$ 个变量为正整数，和为 $n$。令 $y_i = x_i - 1 \geq 0$，则 $\sum y_i = n - (r-k)$
  非负解数：$\binom{(n - r + k) + (r - k) - 1}{(r - k) - 1} = \binom{n-1}{r-k-1} = \binom{n-1}{n - r + k}$
  乘上即得。

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1.22

$n$ 元函数的 $r$ 阶偏导数有多少个？（变量可重复求导，顺序不计）

解答：
等价于非负整数解 $k_1 + \cdots + k_n = r$，解数为

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1.23

求满足 $x_i \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ 且 $\sum_{i=1}^n x_i \leq k$ 的向量个数。

解答：
引入松弛变量 $x_{n+1} \geq 0$，使 $\sum_{i=1}^{n+1} x_i = k$。
解数为