具体数学:和式(四)求和的一般方法

SimonSkywalker
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2.5 一般性的方法

2.5.1 问题引入：平方和的挑战

考虑前 n 个非负整数的平方和（称为平方金字塔数）：

□n=∑0≤k≤nk2,n≥0(2.37)\Box_n = \sum_{0 \le k \le n} k^2, \quad n \ge 0 \tag{2.37}

计算前几个值以寻找规律：

n012345678910
n^20149162536496481100
\Box_n01514305591140204285385

从数值难以直接看出封闭形式

2.5.2 解法描述

前人智慧

利用已有数学知识库直接获取结果。

□n=n(n+1)(2n+1)6,n≥0(2.38)\Box_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad n \ge 0 \tag{2.38}

数学归纳

假设：通过观察小规模值，猜测等价形式：

□n=n(n+12)(n+1)3,n≥0(2.39)\Box_n = \frac{n\left(n + \frac{1}{2}\right)(n+1)}{3}, \quad n \ge 0 \tag{2.39}

归纳证明：

  1. 基础步骤：n=0 时，\Box_0 = 0 = 0 \cdot (0 + \frac{1}{2}) \cdot 1 / 3

  2. 归纳步骤：假设对 n-1 成立，则

    3□n=3□n−1+3n2=(n−1)(n−12)n+3n2=n3−32n2+12n+3n2=n3+32n2+12n=n(n+12)(n+1)\begin{align*} 3\Box_n &= 3\Box_{n-1} + 3n^2 \\ &= (n-1)\left(n - \frac{1}{2}\right)n + 3n^2 \\ &= n^3 - \frac{3}{2}n^2 + \frac{1}{2}n + 3n^2 \\ &= n^3 + \frac{3}{2}n^2 + \frac{1}{2}n \\ &= n\left(n + \frac{1}{2}\right)(n+1) \end{align*}

    故 (2.39) 对所有 n \ge 0 成立。

归纳法的局限 ：需要"先猜后证"，依赖灵感或观察；无法揭示公式的内在结构**。

扰动法

扰动平方和(失败)

尝试：对 \Box_n = \sum_{0 \le k \le n} k^2 应用扰动法

□n+(n+1)2=∑0≤k≤n(k+1)2=∑0≤k≤n(k2+2k+1)=□n+2∑0≤k≤nk+(n+1)\begin{align*} \Box_n + (n+1)^2 &= \sum_{0 \le k \le n} (k+1)^2 \\ &= \sum_{0 \le k \le n} (k^2 + 2k + 1) \\ &= \Box_n + 2\sum_{0 \le k \le n} k + (n+1) \end{align*}

结果：\Box_n 项抵消，得到线性和公式：

2∑0≤k≤nk=(n+1)2−(n+1)=n(n+1)2\sum_{0 \le k \le n} k = (n+1)^2 - (n+1) = n(n+1)

扰动法对平方和直接失效，但意外导出线性和公式 \sum k = n(n+1)/2。 这提示：对更高次幂扰动可能解决低次幂问题。

扰动立方和(成功)

定义：\Box\Box_n = \sum_{0 \le k \le n} k^3（立方和）

扰动：

□□n+(n+1)3=∑0≤k≤n(k+1)3=∑0≤k≤n(k3+3k2+3k+1)=□□n+3□n+3⋅n(n+1)2+(n+1)\begin{align*} \Box\Box_n + (n+1)^3 &= \sum_{0 \le k \le n} (k+1)^3 \\ &= \sum_{0 \le k \le n} (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) \\ &= \Box\Box_n + 3\Box_n + 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) \end{align*}

解出 \Box_n：

3□n=(n+1)3−3n(n+1)2−(n+1)=(n+1)[(n2+2n+1)−3n2−1]=(n+1)(n2+n2)=n(n+1)(n+12)\begin{align*} 3\Box_n &= (n+1)^3 - \frac{3n(n+1)}{2} - (n+1) \\ &= (n+1) \left[ (n^2 + 2n + 1) - \frac{3n}{2} - 1 \right] \\ &= (n+1) \left( n^2 + \frac{n}{2} \right) \\ &= n(n+1)\left(n + \frac{1}{2}\right) \end{align*}

最终结果：

□n=n(n+1)(2n+1)6(2.38)\Box_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \tag{2.38}

扰动法的精髓* *： 当直接处理目标和式失败时，升级到更高阶问题（如立方和）可能提供额外方程，从而解出原问题。 这体现了"以退为进"的解题哲学。

成套方法

平方和天然满足线性递归关系：

{□0=0□n=□n−1+n2(n>0)\begin{cases} \Box_0 = 0 \\ \Box_n = \Box_{n-1} + n^2 & (n > 0) \end{cases}

成套方法专为线性递归设计，而 \Box_n 的递归式是最简单的线性非齐次递归（一阶线性，非齐次项为 n^2）

非齐次项 n^2 是二次多项式，属于三维多项式空间 。\mathcal{P}2 = \text{span}{1, n, n^2}我们构建的通用递归式 R_n = R{n-1} + \beta + \gamma n + \delta n^2 。精确覆盖了 \mathcal{P}_2 空间——参数 \beta, \gamma, \delta 正是该空间的坐标。

推广递归式：

{R0=αRn=Rn−1+β+γn+δn2,n>0(2.40)\begin{cases} R_0 = \alpha \\ R_n = R_{n-1} + \beta + \gamma n + \delta n^2, & n > 0 \tag{2.40} \end{cases}

解的结构：

Rn=A(n)α+B(n)β+C(n)γ+D(n)δ(2.41)R_n = A(n)\alpha + B(n)\beta + C(n)\gamma + D(n)\delta \tag{2.41}

对于 \Box_n = \sum k^2：

  • \Box_0 = 0 \implies \alpha = 0
  • \Box_n - \Box_{n-1} = n^2 = 0 + 0\cdot n + 1\cdot n^2 \implies \beta = 0, \gamma = 0, \delta = 1

选择特解：R_n = 1（常数函数）

1=1+β+γn+δn20=β+γn+δn2\begin{align*} 1 &= 1 + \beta + \gamma n + \delta n^2 \\ 0 &= \beta + \gamma n + \delta n^2 \end{align*}

比较系数：

  • \beta = 0, \gamma = 0, \delta = 0
  • 初始条件：R_0 = 1 = \alpha

代入解的结构 (2.41) ：

1=A(n)⋅1+B(n)⋅0+C(n)⋅0+D(n)⋅0=A(n)1 = A(n) \cdot 1 + B(n) \cdot 0 + C(n) \cdot 0 + D(n) \cdot 0 = A(n)

结论：A(n) = 1（对所有 n）

选择特解：R_n = n（线性函数）

代入递归式 (2.40) ：

n=(n−1)+β+γn+δn21=β+γn+δn2\begin{align*} n &= (n-1) + \beta + \gamma n + \delta n^2 \\ 1 &= \beta + \gamma n + \delta n^2 \end{align*}

比较系数：

  • \beta = 1, \gamma = 0, \delta = 0
  • 初始条件：R_0 = 0 = \alpha

代入解的结构 (2.41) ：

n=A(n)⋅0+B(n)⋅1+C(n)⋅0+D(n)⋅0=B(n)n = A(n) \cdot 0 + B(n) \cdot 1 + C(n) \cdot 0 + D(n) \cdot 0 = B(n)

结论：B(n) = n

选择特解：R_n = n^2（二次函数）

代入递归式 (2.46) ：

n2=(n−1)2+β+γn+δn2n2=n2−2n+1+β+γn+δn20=(δ)n2+(γ−2)n+(β+1)\begin{align*} n^2 &= (n-1)^2 + \beta + \gamma n + \delta n^2 \\ n^2 &= n^2 - 2n + 1 + \beta + \gamma n + \delta n^2 \\ 0 &= (\delta)n^2 + (\gamma - 2)n + (\beta + 1) \end{align*}

比较系数：

  • \delta = 0
  • \gamma - 2 = 0 \implies \gamma = 2
  • \beta + 1 = 0 \implies \beta = -1
  • 初始条件：R_0 = 0 = \alpha

代入解的结构 (2.41) ：

n2=A(n)⋅0+B(n)⋅(−1)+C(n)⋅2+D(n)⋅0=−B(n)+2C(n)n^2 = A(n) \cdot 0 + B(n) \cdot (-1) + C(n) \cdot 2 + D(n) \cdot 0 = -B(n) + 2C(n)

代入 B(n) = n：

n2=−n+2C(n)2C(n)=n2+nC(n)=n(n+1)2\begin{align*} n^2 &= -n + 2C(n) \\ 2C(n) &= n^2 + n \\ C(n) &= \frac{n(n+1)}{2} \end{align*}

结论：C(n) = \frac{n(n+1)}{2}

选择特解：R_n = n^3（三次函数，因其差分含 n^2 项）

代入递归式 (2.46) ：

n3=(n−1)3+β+γn+δn2n3=n3−3n2+3n−1+β+γn+δn20=(δ−3)n2+(γ+3)n+(β−1)\begin{align*} n^3 &= (n-1)^3 + \beta + \gamma n + \delta n^2 \\ n^3 &= n^3 - 3n^2 + 3n - 1 + \beta + \gamma n + \delta n^2 \\ 0 &= (\delta - 3)n^2 + (\gamma + 3)n + (\beta - 1) \end{align*}

比较系数：

  • \delta - 3 = 0 \implies \delta = 3
  • \gamma + 3 = 0 \implies \gamma = -3
  • \beta - 1 = 0 \implies \beta = 1
  • 初始条件：R_0 = 0 = \alpha

代入解的结构 (2.41) ：

n3=A(n)⋅0+B(n)⋅1+C(n)⋅(−3)+D(n)⋅3=B(n)−3C(n)+3D(n)n^3 = A(n) \cdot 0 + B(n) \cdot 1 + C(n) \cdot (-3) + D(n) \cdot 3 = B(n) - 3C(n) + 3D(n)

代入已知函数：

  • B(n) = n
  • C(n) = \frac{n(n+1)}{2}
n3=n−3⋅n(n+1)2+3D(n)n3=n−3n2+3n2+3D(n)3D(n)=n3−n+3n2+3n23D(n)=n3+3n22+n2D(n)=13(n3+3n22+n2)D(n)=2n3+3n2+n6D(n)=n(2n2+3n+1)6D(n)=n(n+1)(2n+1)6\begin{align*} n^3 &= n - 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 3D(n) \\ n^3 &= n - \frac{3n^2 + 3n}{2} + 3D(n) \\ 3D(n) &= n^3 - n + \frac{3n^2 + 3n}{2} \\ 3D(n) &= n^3 + \frac{3n^2}{2} + \frac{n}{2} \\ D(n) &= \frac{1}{3} \left( n^3 + \frac{3n^2}{2} + \frac{n}{2} \right) \\ D(n) &= \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6} \\ D(n) &= \frac{n(2n^2 + 3n + 1)}{6} \\ D(n) &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{align*}

结论：D(n) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

对于平方和 \Box_n = \sum_{k=0}^n k^2，参数为：

  • \alpha = 0
  • \beta = 0
  • \gamma = 0
  • \delta = 1

代入解的结构 (2.41)：

□n=A(n)⋅0+B(n)⋅0+C(n)⋅0+D(n)⋅1=D(n)=n(n+1)(2n+1)6\begin{align*} \Box_n &= A(n)\cdot 0 + B(n)\cdot 0 + C(n)\cdot 0 + D(n)\cdot 1 \\ &= D(n) \\ &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{align*}

最终结果：

□n=∑k=0nk2=n(n+1)(2n+1)6\boxed{\Box_n = \sum_{k=0}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}

积分近似

当前所求近似于 y = x^2 曲线下面积：

∫0nx2 dx=n33\int_0^n x^2 \, dx = \frac{n^3}{3}

误差分析： 定义 E_n = \Box_n - \frac{n^3}{3}，则

En=En−1+n2−(n33−(n−1)33)=En−1+n−13\begin{align*} E_n &= E_{n-1} + n^2 - \left( \frac{n^3}{3} - \frac{(n-1)^3}{3} \right) \\ &= E_{n-1} + n - \frac{1}{3} \end{align*}

求解 E_n：

En=∑k=1n(k−13)=n(n+1)2−n3E_n = \sum_{k=1}^n \left(k - \frac{1}{3}\right) = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{n}{3}

最终结果：

□n=n33+n(n+1)2−n3=n(n+1)(2n+1)6\Box_n = \frac{n^3}{3} + \frac{n(n+1)}{2} - \frac{n}{3} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

连续与离散的桥梁：

  • 积分提供主导项 \frac{n^3}{3}
  • 误差项揭示低阶修正
  • 此方法可推广到任意幂次和

二重和式转换

关键转换：

代数视角：k^2 的分解 关键洞察：

k2=k+k+⋯+k⏟k 次=∑j=1kkk^2 = \underbrace{k + k + \cdots + k}_{k\text{ 次}} = \sum_{j=1}^k k

对固定的 k，将 k 自身相加 k 次，结果就是 k \times k = k^2。

□n=∑k=1nk2=∑k=1n(∑j=1kk)=∑1≤j≤k≤nk\begin{align*} \Box_n &= \sum_{k=1}^n k^2 \\ &= \sum_{k=1}^n \left( \sum_{j=1}^k k \right) \\ &= \sum_{1 \leq j \leq k \leq n} k \end{align*}
□n=∑1≤k≤nk2=∑1≤j≤k≤nk(将 k 表示为 j≤k 的计数)=∑j=1n∑k=jnk=∑j=1n(j+n)(n−j+1)2=12∑j=1n[n(n+1)+j−j2]=12n2(n+1)+14n(n+1)−12□n\begin{align*} \Box_n &= \sum_{1 \le k \le n} k^2 \\ &= \sum_{1 \le j \le k \le n} k \quad \text{(将 } k \text{ 表示为 } j \le k \text{ 的计数)} \\ &= \sum_{j=1}^n \sum_{k=j}^n k \\ &= \sum_{j=1}^n \frac{(j+n)(n-j+1)}{2} \\ &= \frac{1}{2} \sum_{j=1}^n \left[ n(n+1) + j - j^2 \right] \\ &= \frac{1}{2} n^2(n+1) + \frac{1}{4} n(n+1) - \frac{1}{2} \Box_n \end{align*}
∑j=1nn(n+1)=n(n+1)+n(n+1)+⋯+n(n+1)⏟n 个=n⋅n(n+1)=n2(n+1)\sum_{j=1}^n n(n+1) = \underbrace{n(n+1) + n(n+1) + \cdots + n(n+1)}_{n\text{ 个}} = n \cdot n(n+1) = n^2(n+1)
∑j=1nj=1+2+⋯+n=n(n+1)2\sum_{j=1}^n j = 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}
∑j=1nj2=□n\sum_{j=1}^n j^2 = \Box_n

解方程：

□n=12n(n+12)(n+1)−12□n  ⟹  32□n=n(n+1)(2n+1)4\Box_n = \frac{1}{2} n\left(n + \frac{1}{2}\right)(n+1) - \frac{1}{2} \Box_n \implies \frac{3}{2} \Box_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{4}

最终结果：

□n=n(n+1)(2n+1)6(2.38)\Box_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \tag{2.38}

有限微积分

暂略

生成函数

暂略

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