具体数学:和式(一) 定义和与递归式的转化

第二章 和式

2.1 记号

2.1.1 省略号与一般和式

• 省略号的使用与局限

省略号 ... 表示项之间的可识别模式。例如：

表示前 $n$ 个正整数之和。

若模式不明确，表达式无意义。 例如：

在没有上下文的情况下无法确定其规律。

当模式清晰时，无需过度指定。 写成 $1 + 2 + \cdots + n$ 已足够清楚，甚至可简写为 $1 + \cdots + n$。

---

• 一般和式与项的定义

考虑一般形式的和：

其中每个 $a_k$ 是用某种方式定义的一个数。

和式的每个元素 $a_k$ 称为项（term）。项常常隐含一个容易领会的模式。在这样的情形下，有时必须把它们写成展开的形式，以使意义清楚明白。

例如，设想：

若要表示 $n$ 项之和，而不是 $2^{n-1}$ 项之和，就应该更明确地写成：

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2.1.2 Σ符号

省略号“…”可能含糊不清且有点冗长。另一种方式是使用有确定界限的表达形式：

称为 Σ 符号，因使用希腊字母 Σ（大写 σ）。

这个记号表示：**求和指标 $k$ 取从 1 到 $n$ 之间的所有整数值（含端点），并对对应的 $a_k$ 求和。**换句话说，"对 $k$ 从 1 到 $n$ 求和"。

Σ 后面的量（如 $a_k$）称为被加数（summand）。

指标变量 $k$ 与 Σ 符号密切相关，$a_k$ 中的 $k$ 与 Σ 外出现的 $k$ 无关。**任何其他字母都可以替代这里的 $k$ 而不会改变 (2.2) 的含义。

常常会使用字母 $i$（似乎是因为它代表"指标"index），但我们一般还是对 $k$ 求和，因为 $i$ 另有重任要表示 $\sqrt{-1}$。

不应使用 $a$ 或 $n$ 来替代式 (2.2) 中的 $k$ 作为指标变量，因为那些字母是"自由变量"，在 Σ 之外是有意义的。

---

一种推广的 Σ 符号比有确定界限的形式更加有用：我们直接把一个或多个条件写在 Σ 的下面，以此指定求和所应该取的指标集。

例如，(2.1) 和 (2.2) 中的和式也可以写成：

在这个例子中，新形式与 (2.2) 没有太大区别，但一般形式允许我们对不限于连续整数的指标求和。

• 优点一：清晰

示例1：正奇数的平方和

不超过 100 的所有正奇数的平方和可表示为：

而其有确定界限的等价形式：

更加繁琐不便，且不清晰。

示例2：素数的倒数之和

1 与 $N$ 之间所有素数的倒数之和是：

而有确定界限的形式则需要写成：

其中 $p_k$ 表示第 $k$ 个素数，$\pi(N)$ 是 $\leq N$ 的素数个数。

附带指出，这个和式给出了接近 $N$ 的随机整数的不同素因子的近似平均个数，因为那些整数中大约有 $1/p$ 个能被 $p$ 整除。对于大的 $N$，它的值近似等于 $\ln \ln N + M$，其中

$$M \approx 0.261\ 497\ 212\ 847\ 642\ 783\ 755\ 426\ 838\ 608\ 695\ 859\ 051\ 566\ 6$$

是麦尔滕常数，$\ln x$ 表示 $x$ 的自然对数，而 $\ln \ln x$ 表示 $\ln(\ln x)$。

优点二：容易变动

假设要将指标变量 $k$ 改变成 $k+1$。

使用推广形式：

很容易看出所做的变动，几乎不需要思考。

而对于有确定界限的形式：

不容易看出发生了什么变化，而且更容易犯错误。

• 当要陈述一个问题或表述一个结论时，常使用带有上下确定界限的 Σ；
• 当处理一个需要对指标变量做变换的和式时，则更愿意用在 Σ 下方列出关系的形式。

---

推广Σ的形式定义

形式上，我们将：

记为所有项 $a_k$ 之和的缩写，其中 $k$ 是满足给定性质 $P(k)$ 的一个整数。（"性质 $P(k)$"是关于 $k$ 的任何一个为真或者为假的命题。）

我们暂时假定仅有有限多个满足 $P(k)$ 的整数 $k$ 使得 $a_k \neq 0$；否则会有无穷多个非零的数相加，事情就会有点儿复杂。

在另一种极端情形，如果对所有的整数 $k$，$P(k)$ 都不为真，我们就有一个"空的"和，任何空的和的值都定义为零。

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• 错误用法案例

人们常常想要使用：

而不是：

因为在这个和式中 $k = 0, 1$ 以及 $n$ 的项都等于零。将 $n - 2$ 项相加而不是将 $n + 1$ 项相加往往更为有效。

但是不应该这样想，因为计算的有效性并不等同于理解的有效性！

我们会发现，保持求和指标的上下限尽可能简单大有裨益，因为当求和的界限简单时，处理起来要容易得多。

使用如 $\sum_{k=2}^{n-1}$ 这样的求和界限可能存在含糊不清的风险。

• 当 $n = 0$ 或 $n = 1$ 时，下限 $k = 2$ 大于上限 $n - 1 \leq 0$，此时求和范围为空，但其含义在未明确定义时并不清晰。
• 相比之下，包含额外项但其值为零的和式不会带来问题，反而常常免除许多麻烦。

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• 艾弗森约定

对于任意命题 $P$，定义：

例如：

利用艾弗森约定，我们可以将推广的Σ和式 (2.4) 重新写为：

• 这里求和指标 $k$ 取所有整数，不再显式限制范围。
• 当 $P(k)$ 为假时，$[P(k)] = 0$，因此 $a_k [P(k)] = 0$，该项对和式无贡献。
• 所有“有效项”自动被保留，无效项被自然过滤。

求和不再需要在Σ下方写条件，指标可以自由流动，极大简化代数操作。

有时 $a_k$ 并非对所有整数 $k$ 都有定义（例如 $a_k = 1/k$ 在 $k = 0$ 时无定义）。

我们约定：当 $P(k)$ 为假时，$[P(k)] = 0$，且

$a_k [P(k)] = 0$，即使 $a_k$ 本身无定义。

这一约定规避了未定义表达式的问题。

示例

利用艾弗森约定，可将不超过 $N$ 的素数倒数之和写为：

• 当 $p = 0$ 时，$[0\text{ 是素数}] = 0$，因此项为 $0 / 0 \times 0$，但根据约定，整个项为 0。
• 不会出现除以零的问题，因为 $[P(k)] = 0$ 强制该项为零。

2.2 和式与递归式

和式与递归式之间存在密切关系，可以使用递推式求和式的值。

考虑和式：

它可以被看作一个定义在 $n \geq 0$ 上的序列，满足递归关系：

这种“和式 ⇔ 递归式”的转换，使我们能借用第1章中求解递归式的封闭形式方法来计算和式。

---

2.2.1 和式->递归式

[!IMPORTANT]

标准递推式：

$$R_0 = \alpha; \quad R_n = R_{n-1} + \beta + \gamma n, \quad n > 0$$

只能处理被加数是线性函数的和式，即：

$$\sum_{k=0}^n (\beta + \gamma k)$$

考虑如下形式的递归式：

这是形如 $a_k = \beta + \gamma k$ 的和式的递归形式。

通解和成套方法

我们尝试将通解形式

中的 $R_n$ 替换为简单的已知函数，通过匹配递推关系 (2.7) 反推出对应的参数 $\alpha, \beta, \gamma$，从而确定系数函数 $A(n), B(n), C(n)$。

令 $R_n = 1$（常数函数）

• 此时对所有 $n$，有 $R_n = 1$，且 $R_0 = 1 \Rightarrow \alpha = 1$。
• 递推式右边：
  $$R_{n-1} + \beta + \gamma n = 1 + \beta + \gamma n$$
• 左边为 $R_n = 1$，故要求：
  $$1 = 1 + \beta + \gamma n \quad \Rightarrow \quad \beta + \gamma n = 0 \quad \text{对所有 } n > 0$$
• 唯一可能：$\beta = 0, \gamma = 0$。

代入 (2.8)：

得到：

---

令 $R_n = n$（线性函数）

• 此时 $R_0 = 0 \Rightarrow \alpha = 0$。
• 递推式右边：
  $$R_{n-1} + \beta + \gamma n = (n-1) + \beta + \gamma n$$
• 左边为 $R_n = n$，故要求：
  $$n = (n-1) + \beta + \gamma n$$
  整理得：
  $$n = n - 1 + \beta + \gamma n \Rightarrow 0 = -1 + \beta + \gamma n$$
• 对所有 $n > 0$ 成立，必须有：
  $$\gamma = 0, \quad \beta = 1$$

代入 (2.8)：

得到：

---

令 $R_n = n^2$（平方函数）

• 此时 $R_0 = 0^2 = 0 \Rightarrow \alpha = 0$。
• 递推式右边：
  $$R_{n-1} + \beta + \gamma n = (n-1)^2 + \beta + \gamma n = n^2 - 2n + 1 + \beta + \gamma n$$
• 左边为 $R_n = n^2$，故要求：
  $$n^2 = n^2 - 2n + 1 + \beta + \gamma n$$
  两边减去 $n^2$：
  $$0 = -2n + 1 + \beta + \gamma n$$
  整理为：
  $$(\gamma - 2)n + (\beta + 1) = 0 \quad \text{对所有 } n > 0$$
• 要使该式恒成立，系数必须为零：
  $$\gamma - 2 = 0 \Rightarrow \gamma = 2 \\ \beta + 1 = 0 \Rightarrow \beta = -1$$

代入 (2.8)：

但我们已知 $B(n) = n$，代入得：

得到：

我们已得：

通解为：

现在验证它是否满足原始递推式：

计算右边：

这正是 $R_n$ 的表达式。

具体和式应用

我们想计算：

第一步：建立递归关系

设：

我们可以建立递归关系：

• 基础情况：当 $n = 0$ 时，

  $$S_0 = a + b \cdot 0 = a$$

• 递推关系：当 $n > 0$ 时，

  $$S_n = S_{n-1} + (a + b n)$$

  即：

  $$S_n = S_{n-1} + a + b n$$

第二步：匹配标准递归式形式

将上述递归式与标准形式 (2.7) 对比：

我们有：

• $R_n = S_n$
• $\alpha = a$（初始值）
• $\beta = a$（常数项系数）
• $\gamma = b$（线性项系数）

第三步：应用通解公式

根据已求得的系数函数：

代入通解：

第四步：提取公因子

或者写成：

验证特殊情况

• 当 $a = 1, b = 0$ 时：

  $$\sum_{k=0}^n 1 = n+1$$

  正确

• 当 $a = 0, b = 1$ 时：

  $$\sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$$

  正确

[!NOTE]

解题思路:

1. 将和式转化为递归式
   • 设 $S_n = \sum_{k=0}^n f(k)$
   • 建立递归关系：$S_n = S_{n-1} + f(n)$，$S_0 = f(0)$
2. 识别递归式参数
   • 将具体递归式与标准形式 $R_n = R_{n-1} + \beta + \gamma n$ 对比
   • 确定参数 $\alpha, \beta, \gamma$
3. 应用成套方法求通解
   • 利用已知的系数函数：$A(n) = 1, B(n) = n, C(n) = \frac{n(n+1)}{2}$
   • 代入通解公式：$S_n = \alpha A(n) + \beta B(n) + \gamma C(n)$
4. 得到封闭形式
   • 化简得到和式的闭形式解

[!IMPORTANT]

为什么可以直接套用

我们的标准递归式：

$$R_0 = \alpha; \quad R_n = R_{n-1} + \beta + \gamma n, \quad n > 0$$

这是一个关于参数 $\alpha, \beta, \gamma$ 的线性表达式。

通解形式：

$$R_n = A(n)\alpha + B(n)\beta + C(n)\gamma$$

这表明 $R_n$ 是参数 $\alpha, \beta, \gamma$ 的线性组合。

由于递归式是线性的，我们可以利用叠加原理：

• 如果 $R_n^{(1)}$ 对应参数 $(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1)$
• 如果 $R_n^{(2)}$ 对应参数 $(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2)$
• 那么 $c_1 R_n^{(1)} + c_2 R_n^{(2)}$ 对应参数 $(c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2, c_1\beta_1 + c_2\beta_2, c_1\gamma_1 + c_2\gamma_2)$

我们选择三个简单的基底函数来确定系数：

基底函数	参数	确定的系数
$R_n = 1$	$\alpha=1, \beta=0, \gamma=0$	$A(n) = 1$
$R_n = n$	$\alpha=0, \beta=1, \gamma=0$	$B(n) = n$
$R_n = n^2$	$\alpha=0, \beta=-1, \gamma=2$	$C(n) = \frac{n(n+1)}{2}$

因为：

1. 任何满足该递归式的函数都可以表示为这三个基底的线性组合
2. 系数函数 A(n), B(n), C(n) 只依赖于递归式的结构，而不依赖于具体的参数值
3. 一旦确定了这三个系数函数，它们对所有同类型递归式都适用

这实际上是在求解一个线性算子的基底表示：

• 递归式定义了一个从参数空间 $(\alpha, \beta, \gamma)$ 到解空间的线性映射
• $A(n), B(n), C(n)$ 就是这个线性映射在标准基底下的表示

对于 $R_n = 5n + 3$：

1. 可以分解为：$R_n = 3 \cdot 1 + 5 \cdot n + 0 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$
2. 对应参数：$\alpha=3, \beta=5, \gamma=0$
3. 直接套用：$R_n = 3 \cdot A(n) + 5 \cdot B(n) + 0 \cdot C(n) = 3 \cdot 1 + 5 \cdot n = 3 + 5n$

2.2.2 递归式->和式

引例：河内塔递归式

经典递归式：

两边同除 $2^n$：

令 $S_n = T_n / 2^n$，则：

于是：

注意：和式从 $k=1$ 开始，因为递推从 $n>0$ 开始，$S_1 = 2^{-1}$。

这是一个几何级数：

[!NOTE]

几何级数（Geometric Series）是各项之间具有固定比例关系的无穷级数。

一般形式

$$\sum_{k=0}^{\infty} ar^k = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots$$

其中：

• $a$：首项（first term）

• $r$：公比（common ratio）

有限几何级数

$$\sum_{k=0}^{n} ar^k = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^n$$

收敛条件

几何级数收敛当且仅当 $|r| < 1$

发散情况

• 当 $|r| \geq 1$ 时，级数发散

• 当 $r = 1$ 时，级数变为 $\sum a$，发散到无穷

• 当 $r = -1$ 时，级数振荡发散

• 当 $|r| > 1$ 时，级数绝对值发散到无穷

有限几何级数求和

$$\sum_{k=0}^{n} ar^k = a \frac{1-r^{n+1}}{1-r}, \quad r \neq 1$$

推导过程： 设 $S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^n$

则 $rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{n+1}$

两式相减：$S_n - rS_n = a - ar^{n+1}$

因此：$S_n = a \frac{1-r^{n+1}}{1-r}$

无穷几何级数求和

当 $|r| < 1$ 时：

$$\sum_{k=0}^{\infty} ar^k = \frac{a}{1-r}$$

推导：当 $|r| < 1$ 时，$\lim_{n \to \infty} r^{n+1} = 0$，所以：

$$\sum_{k=0}^{\infty} ar^k = \lim_{n \to \infty} a \frac{1-r^{n+1}}{1-r} = \frac{a}{1-r}$$

基本几何级数

$$\sum_{k=0}^{\infty} r^k = \frac{1}{1-r}, \quad |r| < 1$$

从k=1开始

$$\sum_{k=1}^{\infty} r^k = \frac{r}{1-r}, \quad |r| < 1$$

交错级数

$$\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k r^k = \frac{1}{1+r}, \quad |r| < 1$$

核心公式

$$\boxed{\sum_{k=0}^{\infty} ar^k = \frac{a}{1-r}, \quad |r| < 1}$$

收敛条件

$$\boxed{|r| < 1 \text{ 时收敛，}|r| \geq 1 \text{ 时发散}}$$

有限和公式

$$\boxed{\sum_{k=0}^{n} ar^k = a \frac{1-r^{n+1}}{1-r}, \quad r \neq 1}$$

因此：

---

一般化：求和因子法

一般形式

考虑线性递归式：

[!NOTE]

河内塔递归式：

$$T_0 = 0; \quad T_n = 2T_{n-1} + 1, \quad n > 0$$

将其重写为标准形式：

$$1 \cdot T_n = 2 \cdot T_{n-1} + 1$$

这里 $a_n = 1, b_n = 2, c_n = 1$。

思想：乘以一个求和因子 $s_n$，使得：

并令：

[!NOTE]

我们想要找到 $s_n$ 使得 $s_n \cdot 2 = s_{n-1} \cdot 1$，即：

$$s_n = \frac{s_{n-1}}{2}$$

这给出 $s_n = 2^{-n}$（取 $s_0 = 1$）。

这样定义：

则递推变为：

[!NOTE]

对于河内塔：

• $S_n = 2^{-n} \cdot 1 \cdot T_n = \frac{T_n}{2^n}$
• $s_n c_n = 2^{-n} \cdot 1 = \frac{1}{2^n}$

所以得到：

$$\frac{T_n}{2^n} = \frac{T_{n-1}}{2^{n-1}} + \frac{1}{2^n}$$

即：

$$S_n = S_{n-1} + \frac{1}{2^n}$$

即：

由于 $s_1 b_1 = s_0 a_0$，故 $s_0 a_0 = s_1 b_1$，所以：

[!NOTE]

对于河内塔：

• $S_0 = 2^{-0} \cdot 1 \cdot 0 = 0$
• $s_k c_k = 2^{-k} \cdot 1 = \frac{1}{2^k}$

所以：

$$S_n = 0 + \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} = 1 - \frac{1}{2^n}$$

最终解为：

[!NOTE]

对于河内塔：

• $s_n a_n = 2^{-n} \cdot 1 = 2^{-n}$
• $s_1 b_1 T_0 = 2^{-1} \cdot 2 \cdot 0 = 0$
• $\sum_{k=1}^n s_k c_k = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} = 1 - \frac{1}{2^n}$

所以：

$$T_n = \frac{1}{2^{-n}} \left( 0 + 1 - \frac{1}{2^n} \right) = 2^n \left( 1 - \frac{1}{2^n} \right) = 2^n - 1$$

💡 $s_1$ 可取任意非零值，因为它在分子分母中成比例消去。

---

求和因子的构造

递推关系

由关键关系 $s_n b_n = s_{n-1} a_{n-1}$，可得：

递推展开

通项公式

这给出了求和因子的一般构造方法（相差一个非零常数倍数）。

[!NOTE]

对于河内塔：$a_n = 1, b_n = 2$

$$s_n = \frac{1 \cdot 1 \cdots 1}{2 \cdot 2 \cdots 2} \cdot s_1 = \frac{1}{2^{n-1}} \cdot s_1$$

取 $s_1 = \frac{1}{2}$，则 $s_n = \frac{1}{2^n}$，这正是我们之前使用的求和因子！

前提条件：所有 $a_n \ne 0$, $b_n \ne 0$，否则无法进行除法运算。

方法总结

1. 识别标准形式：将递归式写成 $a_n T_n = b_n T_{n-1} + c_n$
2. 构造求和因子：使用 $s_n = \frac{a_{n-1} \cdots a_1}{b_n \cdots b_2}$
3. 乘以求和因子：得到 $S_n = S_{n-1} + s_n c_n$
4. 求和求解：$S_n = S_0 + \sum_{k=1}^n s_k c_k$
5. 还原原变量：$T_n = \frac{S_n}{s_n a_n}$

[!NOTE]

河内塔如何用这套方法解决：

1. 标准形式：$1 \cdot T_n = 2 \cdot T_{n-1} + 1$
2. 求和因子：$s_n = \frac{1}{2^n}$
3. 变换：$\frac{T_n}{2^n} = \frac{T_{n-1}}{2^{n-1}} + \frac{1}{2^n}$
4. 求和：$\frac{T_n}{2^n} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} = 1 - \frac{1}{2^n}$
5. 还原：$T_n = 2^n - 1$

应用：快速排序

[!CAUTION]

def partition(A, p, r):
    """
    将子数组 A[p..r] 按主元划分成两部分：

   - 左侧：所有元素 ≤ 主元
     - 右侧：所有元素 > 主元
       主元为 A[r]，最终放置在正确位置并返回其索引。
	参数：
	A: 待划分的数组
	p: 子数组起始索引（包含）
	r: 子数组结束索引（包含）

	返回值：
	主元的最终位置（索引）
	"""
	x = A[r]        # 选择最后一个元素作为主元
	i = p - 1       # i 指向小于等于主元区域的最后一个位置

	# 遍历从 p 到 r-1 的每个元素
	for j in range(p, r):
    	# 如果当前元素小于等于主元
    	if A[j] <= x:
        	i += 1  # 扩展小于等于区域
        	A[i], A[j] = A[j], A[i]  # 将 A[j] 交换到左侧区域

	# 将主元 A[r] 放置到正确位置（i+1）
	A[i + 1], A[r] = A[r], A[i + 1]

	return i + 1  # 返回主元的索引

def quicksort(A, p, r):
    """
    快速排序主函数：对数组 A[p..r] 进行原址排序。
	参数：
	A: 待排序数组
	p: 当前排序区间的起始索引
	r: 当前排序区间的结束索引
	"""
	if p < r:  # 基本情况：当 p >= r 时，子数组长度 <= 1，无需排序
    	q = partition(A, p, r)      # 划分数组，q 为主元的最终位置
    	quicksort(A, p, q - 1)      # 递归排序左半部分 A[p..q-1]
    	quicksort(A, q + 1, r)      # 递归排序右半部分 A[q+1..r]

快速排序由霍尔于1962年发明，其平均比较次数满足递归式：

化简递归式

先消去分母：两边乘 $n$：

将 $n$ 替换为 $n-1$（要求 $n > 2$）：

两式相减，消去求和号：

整理得：

初始值：$C_0 = C_1 = 0$, $C_2 = 3$

应用求和因子法

此式为 (2.9) 形式，其中：

• $a_n = n$
• $b_n = n+1$
• $c_n = 2n$，但需注意 $n=1,2$ 的初始条件，可用艾弗森约定修正：
  $$c_n = 2n - 2[n=1] + 2[n=2]$$

[!NOTE]

修正原因：

• 项 $-2[n=1]$： 当 $n=1$，原式左边为 $1 \cdot C_1 = 0$，右边为 $2 C_0 + 2\cdot1 = 0 + 2 = 2$，多出 2。
  ⇒ 减去 2 以使等式成立。

• 项 $+2[n=2]$： 当 $n=2$，实际 $C_2 = 3$，代入左边：$2 \cdot 3 = 6$，右边：$3 C_1 + 2\cdot2 = 0 + 4 = 4$，少 2。
  ⇒ 加上 2 以匹配真值。

求和因子：

取 $s_n = \frac{2}{n(n+1)}$

由线性递推通解公式（(2.10)）：

已知：

• $C_0 = 0$ ⇒ $s_1 b_1 C_0 = 0$
• $a_n = n$, $s_n = \frac{2}{n(n+1)}$ ⇒ $s_n a_n = \frac{2}{n+1}$
• 所以：
  $$C_n = \frac{1}{s_n a_n} \sum_{k=1}^n s_k c_k = \frac{n+1}{2} \sum_{k=1}^n s_k c_k$$

我们有：

所以：

逐项计算：

(1) 主项：$s_k \cdot 2k = \frac{2}{k(k+1)} \cdot 2k = \frac{4}{k+1}$

(2) 修正项：

• 当 $k=1$：$-2 s_1 = -2 \cdot \frac{2}{1 \cdot 2} = -2 \cdot 1 = -2$
• 当 $k=2$：$+2 s_2 = +2 \cdot \frac{2}{2 \cdot 3} = +2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
• 其他 $k$：修正项为 0

所以总和：

即：

注意：求和中的修正项是固定的数值，不是对每个 $k$ 都加，而是当 $k=1$ 时减 2，$k=2$ 时加 $\frac{2}{3}$，所以总修正为：

$$-2 + \frac{2}{3} = -\frac{4}{3}$$

因此：

最终结果

使用调和数计算最终结果

定义调和数：

将和式用调和数表示：

代入得：

验证小值：

$n = 2$: $H_3 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{11}{6}$, $C_2 = 2(3)\left( \frac{11}{6} - \frac{4}{3} \right) = 6 \left( \frac{11}{6} - \frac{8}{6} \right) = 6 \cdot \frac{3}{6} = 3$

$n = 3$: $H_4 = \frac{11}{6} + \frac{1}{4} = \frac{25}{12}$, $C_3 = 2(4)\left( \frac{25}{12} - \frac{4}{3} \right) = 8 \left( \frac{25}{12} - \frac{16}{12} \right) = 8 \cdot \frac{9}{12} = 6$