具体数学:和式(三)多重和式

SimonSkywalker
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2.4 多重和式

2.4.1 表达

一个和式的项可以用两个或多个指标来指定。

如下为一个由指标 jj 和 kk 控制的二重和式：

∑1≤j,k≤3ajbk=a1b1+a1b2+a1b3+a2b1+a2b2+a2b3+a3b1+a3b2+a3b3.\sum_{1 \le j,k \le 3} a_j b_k = a_1 b_1 + a_1 b_2 + a_1 b_3 + a_2 b_1 + a_2 b_2 + a_2 b_3 + a_3 b_1 + a_3 b_2 + a_3 b_3.

引入艾弗森约定有，对于性质 P(j,k)P(j,k)，所有满足 P(j,k)P(j,k) 的项 aj,ka_{j,k} 之和可表示为：

∑P(j,k)aj,k=∑j,kaj,k[P(j,k)].\sum_{P(j,k)} a_{j,k} = \sum_{j,k} a_{j,k} [P(j,k)].

此记号只需一个 Σ\Sigma，表示对所有满足条件的指标组合求和。

又是也可以使用多重符号，如

∑j∑kaj,k[P(j,k)]=∑j(∑kaj,k[P(j,k)])\sum_j \sum_k a_{j,k} [P(j,k)] = \sum_j \left( \sum_k a_{j,k} [P(j,k)] \right)
  • 多重求和从右向左计算（由内而外）。
  • ∑j∑k\sum_j \sum_k 表示“先对 kk 求和，再对 jj 求和”。
  • 也可以先对 jj 求和，再对 kk 求和。

2.4.2 交换求和次序

基本法则

推广上文的结合律，可以得到交换求和次序的基本法则：

∑j∑kaj,k[P(j,k)]=∑P(j,k)aj,k=∑k∑jaj,k[P(j,k)].(2.27)\sum_{j} \sum_{k} a_{j,k} [P(j,k)] = \sum_{P(j,k)} a_{j,k} = \sum_{k} \sum_{j} a_{j,k} [P(j,k)]. \qquad (2.27)

选择更方便的求和顺序是计算二重和式的关键。

简易型变形

当 jj 和 kk 的范围相互独立时：

∑j∈J∑k∈Kaj,k=∑j∈J, k∈Kaj,k=∑k∈K∑j∈Jaj,k(2.29)\sum_{j \in J} \sum_{k \in K} a_{j,k} = \sum_{j \in J,\, k \in K} a_{j,k} = \sum_{k \in K} \sum_{j \in J} a_{j,k} \tag{2.29}

这成立是因为 [j∈J][k∈K][j\in J][k\in K] 可以分解。

复杂型变形

当内层求和的范围依赖于外层指标时：

∑j∈J∑k∈K(j)aj,k=∑k∈K′∑j∈J′(k)aj,k(2.30)\sum_{j \in J} \sum_{k \in K(j)} a_{j,k} = \sum_{k \in K'} \sum_{j \in J'(k)} a_{j,k} \tag{2.30}

要求集合满足：

[j∈J][k∈K(j)]=[k∈K′][j∈J′(k)].[j \in J][k \in K(j)] = [k \in K'][j \in J'(k)].

重要特例

[1≤j≤n][j≤k≤n]=[1≤j≤k≤n]=[1≤k≤n][1≤j≤k].(2.31)[1 \leq j \leq n][j \leq k \leq n] = [1 \leq j \leq k \leq n] = [1 \leq k \leq n][1 \leq j \leq k]. \tag{2.31}

由此可得：

∑j=1n∑k=jnaj,k=∑1≤j≤k≤naj,k=∑k=1n∑j=1kaj,k.(2.32)\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=j}^{n} a_{j,k} = \sum_{1 \le j \le k \le n} a_{j,k} = \sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} a_{j,k}. \tag{2.32}

2.4.3 实际应用

实例一：上三角和

对于该矩阵

[a1a1a1a2a1a3⋯a1ana2a1a2a2a2a3⋯a2ana3a1a3a2a3a3⋯a3an⋮⋮⋮⋱⋮ana1ana2ana3⋯anan]\begin{bmatrix} a_1 a_1 & a_1 a_2 & a_1 a_3 & \cdots & a_1 a_n \\ a_2 a_1 & a_2 a_2 & a_2 a_3 & \cdots & a_2 a_n \\ a_3 a_1 & a_3 a_2 & a_3 a_3 & \cdots & a_3 a_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_n a_1 & a_n a_2 & a_n a_3 & \cdots & a_n a_n \\ \end{bmatrix}

要计算对称阵列主对角线及上方元素的和：

S=∑1≤j≤k≤najak(2.36)S = \sum_{1 \le j \le k \le n} a_j a_k \tag{2.36}

利用对称性 S=∑1≤k≤j≤najakS = \sum_{1 \le k \le j \le n} a_j a_k 和恒等式：

[1≤j≤k≤n]+[1≤k≤j≤n]=[1≤j,k≤n]+[1≤j=k≤n][1 \leq j \leq k \leq n] + [1 \leq k \leq j \leq n] = [1 \leq j, k \leq n] + [1 \leq j = k \leq n]

[!NOTE]

  • 左边第一项：[1 ≤ j ≤ k ≤ n]

对应矩阵的上三角部分（包括主对角线）

  • 左边第二项：[1 ≤ k ≤ j ≤ n]

对应矩阵的下三角部分（包括主对角线）

  • 右边第一项：[1 ≤ j, k ≤ n]

对应整个矩阵的所有元素

  • 右边第二项：[1 ≤ j = k ≤ n]

对应矩阵的主对角线元素

将两式相加：

2S=∑1≤j, k≤najak+∑1≤j=k≤najak=(∑k=1nak)2+∑k=1nak22S = \sum_{1\le j,\ k\le n}a_j a_k + \sum_{1\le j=k\le n}a_j a_k = \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 + \sum_{k=1}^n a_k^2

[!NOTE]

将对称矩阵上三角部分（包括对角线）的和S计算两次，等于整个矩阵所有元素的和加上对角线元素的和。整个矩阵的和可以分解为行和与列和的乘积，即所有aka_k的和的平方，再加上对角线元素ak2a_k²的和。

解得：

S=12((∑k=1nak)2+∑k=1nak2)(2.33)S = \frac{1}{2} \left( \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 + \sum_{k=1}^n a_k^2 \right) \tag{2.33}

实例二：切比雪夫求和不等式

[!NOTE]

切比雪夫求和不等式（Chebyshev's sum inequality）是数学中关于两个单调序列乘积和的重要不等式，揭示了序列乘积和与其各自和的乘积之间的关系。

设两个实数序列 {ak}k=1n\{a_k\}_{k=1}^n 和 {bk}k=1n\{b_k\}_{k=1}^n。

  • 第一形式（同向单调）：若 {ak}\{a_k\} 与 {bk}\{b_k\} 同向单调（即同时非减或同时非增），则：

    (∑k=1nak)(∑k=1nbk)≤n∑k=1nakbk\left(\sum_{k=1}^{n} a_k \right) \left(\sum_{k=1}^{n} b_k \right) \leq n \sum_{k=1}^{n} a_k b_k

  • 第二形式（反向单调）：若 {ak}\{a_k\} 与 {bk}\{b_k\} 反向单调（一个非减，另一个非增），则：

    (∑k=1nak)(∑k=1nbk)≥n∑k=1nakbk\left(\sum_{k=1}^{n} a_k \right) \left(\sum_{k=1}^{n} b_k \right) \geq n \sum_{k=1}^{n} a_k b_k

该不等式在数学分析、不等式理论和组合优化中有广泛应用，尤其常用于证明排序不等式、均值不等式等。

示例验证

取两个递增序列：

  • a=(1,2,3)a = (1, 2, 3)
  • b=(2,4,6)b = (2, 4, 6)

计算：

  • ∑ak=1+2+3=6\sum a_k = 1 + 2 + 3 = 6
  • ∑bk=2+4+6=12\sum b_k = 2 + 4 + 6 = 12
  • ∑akbk=1⋅2+2⋅4+3⋅6=2+8+18=28\sum a_k b_k = 1\cdot2 + 2\cdot4 + 3\cdot6 = 2 + 8 + 18 = 28
  • n=3n = 3

左边：(∑ak)(∑bk)=6×12=72(\sum a_k)(\sum b_k) = 6 \times 12 = 72
右边：n∑akbk=3×28=84n \sum a_k b_k = 3 \times 28 = 84

由于 72≤8472 \le 84，满足同向单调情形下的不等式。

[!NOTE]

定义辅助量：

S=∑1≤j<k≤n(aj−ak)(bj−bk)S = \sum_{1 \le j < k \le n} (a_j - a_k)(b_j - b_k)

注意：由于 j<kj < k，若序列递增，则 aj≤aka_j \leq a_k，bj≤bkb_j \leq b_k，故 aj−ak≤0a_j - a_k \leq 0，bj−bk≤0b_j - b_k \leq 0，其乘积 (aj−ak)(bj−bk)≥0(a_j - a_k)(b_j - b_k) \geq 0。
实际上，(aj−ak)(bj−bk)=(ak−aj)(bk−bj)(a_j - a_k)(b_j - b_k) = (a_k - a_j)(b_k - b_j)，因此 SS 等价于：

S=∑1≤j<k≤n(ak−aj)(bk−bj)S = \sum_{1 \le j < k \le n} (a_k - a_j)(b_k - b_j)

即 SS 衡量的是所有“后项减前项”的乘积之和，反映两个序列的协同变化程度。

恒等式成立：

(∑k=1nak)(∑k=1nbk)=n∑k=1nakbk−S\left(\sum_{k=1}^{n} a_k \right) \left(\sum_{k=1}^{n} b_k \right) = n \sum_{k=1}^{n} a_k b_k - S

推论：

  • 若 {ak},{bk}\{a_k\}, \{b_k\} 同向单调，则对所有 j<kj < k，(ak−aj)(bk−bj)≥0(a_k - a_j)(b_k - b_j) \geq 0 ⇒ S≥0S \geq 0
    故：

    (∑ak)(∑bk)≤n∑akbk\left(\sum a_k\right)\left(\sum b_k\right) \leq n \sum a_k b_k

  • 若反向单调，则 (ak−aj)(bk−bj)≤0(a_k - a_j)(b_k - b_j) \leq 0 ⇒ S≤0S \leq 0
    故：

    (∑ak)(∑bk)≥n∑akbk\left(\sum a_k\right)\left(\sum b_k\right) \geq n \sum a_k b_k

[!TIP]

矩阵视角

构造 n×nn \times n 矩阵 MM，其中元素为：

Mjk=(aj−ak)(bj−bk)M_{jk} = (a_j - a_k)(b_j - b_k)
  • 对角线：j=kj = k 时，Mjj=0M_{jj} = 0
  • 严格上三角：j<kj < k
  • 严格下三角：j>kj > k

由于：

Mjk=(aj−ak)(bj−bk)=(ak−aj)(bk−bj)=MkjM_{jk} = (a_j - a_k)(b_j - b_k) = (a_k - a_j)(b_k - b_j) = M_{kj}

矩阵 MM 是对称矩阵，因此：

∑j<kMjk=∑j>kMjk\sum_{j < k} M_{jk} = \sum_{j > k} M_{jk}

于是总和为：

∑j=1n∑k=1nMjk=2∑1≤j<k≤n(aj−ak)(bj−bk)=2S\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n M_{jk} = 2 \sum_{1 \le j < k \le n} (a_j - a_k)(b_j - b_k) = 2S

综上，进行一个总的回顾：

利用对称性 S=∑1≤k<j≤n(aj−ak)(bj−bk)S = \sum_{1 \le k < j \le n} (a_j - a_k)(b_j - b_k)，并注意到所有 (j,k)(j,k) 对满足：

[1≤j<k≤n]+[1≤k<j≤n]=[1≤j,k≤n]−[1≤j=k≤n][1 \leq j < k \leq n] + [1 \leq k < j \leq n] = [1 \leq j, k \leq n] - [1 \leq j = k \leq n]

将上下三角部分相加得：

2S=∑1≤j,k≤n(aj−ak)(bj−bk)−∑j=1n(aj−aj)(bj−bj)⏟=02S = \sum_{1 \le j,k \le n} (a_j - a_k)(b_j - b_k) - \underbrace{\sum_{j=1}^n (a_j - a_j)(b_j - b_j)}_{=0}

展开双和：

∑j=1n∑k=1n(aj−ak)(bj−bk)=∑j,k(ajbj−ajbk−akbj+akbk)\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n (a_j - a_k)(b_j - b_k) = \sum_{j,k} (a_j b_j - a_j b_k - a_k b_j + a_k b_k)

逐项计算：

  • ∑j,kajbj=n∑jajbj\sum_{j,k} a_j b_j = n \sum_j a_j b_j
  • ∑j,kajbk=(∑jaj)(∑kbk)\sum_{j,k} a_j b_k = \left(\sum_j a_j\right)\left(\sum_k b_k\right)
  • ∑j,kakbj=(∑kak)(∑jbj)=(∑ak)(∑bk)\sum_{j,k} a_k b_j = \left(\sum_k a_k\right)\left(\sum_j b_j\right) = \left(\sum a_k\right)\left(\sum b_k\right)
  • ∑j,kakbk=n∑kakbk\sum_{j,k} a_k b_k = n \sum_k a_k b_k

因此：

∑j,k(aj−ak)(bj−bk)=n∑akbk−(∑ak)(∑bk)−(∑ak)(∑bk)+n∑akbk\sum_{j,k} (a_j - a_k)(b_j - b_k) = n \sum a_k b_k - \left(\sum a_k\right)\left(\sum b_k\right) - \left(\sum a_k\right)\left(\sum b_k\right) + n \sum a_k b_k
=2n∑akbk−2(∑ak)(∑bk)= 2n \sum a_k b_k - 2 \left( \sum a_k \right) \left( \sum b_k \right)

代入前式：

2S=2n∑akbk−2(∑ak)(∑bk)⇒(∑ak)(∑bk)=n∑akbk−S2S = 2n \sum a_k b_k - 2 \left( \sum a_k \right) \left( \sum b_k \right) \Rightarrow \left(\sum a_k\right)\left(\sum b_k\right) = n \sum a_k b_k - S

即：

(∑k=1nak)(∑k=1nbk)=n∑k=1nakbk−∑1≤j<k≤n(ak−aj)(bk−bj)(2.34)\left(\sum_{k=1}^{n} a_k \right) \left(\sum_{k=1}^{n} b_k \right) = n \sum_{k=1}^{n} a_k b_k - \sum_{1 \le j < k \le n} (a_k - a_j)(b_k - b_j) \tag{2.34}

此恒等式导出了切比雪夫单调不等式。

2.3.4. 指标替换的一般公式

设函数 f:J→Kf: J \to K，则：

∑j∈Jaf(j)=∑k∈Kak⋅#f−1(k)(2.35)\sum_{j \in J} a_{f(j)} = \sum_{k \in K} a_k \cdot \# f^{-1}(k) \tag{2.35}

f−(k)={j∣f(j)=k}f^-(k) = \{j | f(j) = k\}

其中 #f−1(k)\# f^{-1}(k) 是满足 f(j)=kf(j) = k 的 jj 的个数。

[!NOTE]

因为 同一个 aka_k 可能被多个 jj 映射到，所以它在左边的和中会出现多次。 右边要用 #f−1(k)\# f^{-1}(k) 来统计它出现了多少次，即“加权计数”。

  • 特例：若 ff 是双射，则 #f−1(k)=1\# f^{-1}(k) = 1，公式退化为交换律：
    ∑j∈Jaf(j)=∑k∈Kak.\sum_{j\in J} a_{f(j)} = \sum_{k\in K} a_k.

注：切比雪夫曾对积分证明类似结论——若 f(x),g(x)f(x), g(x) 单调非减，则 (b−a)∫abf(x)g(x) dx≥(∫abf(x) dx)(∫abg(x) dx)(b-a)\int_a^b f(x)g(x)\,dx \geq \left(\int_a^b f(x)\,dx\right)\left(\int_a^b g(x)\,dx\right)。 这与离散情形的切比雪夫不等式思想一致。

具体例子：调和和

[!IMPORTANT]

调和级数的基本公式

第 nn 个调和数（Harmonic Number）定义为前 nn 个正整数倒数之和：

Hn=∑k=1n1k=1+12+13+⋯+1nH_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}
  • H0=0H_0 = 0（约定）
  • H1=1H_1 = 1
  • H2=1+12=32H_2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
  • H3=1+12+13=116H_3 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{11}{6}

考虑：

Sn=∑1≤j<k≤n1k−jS_n = \sum_{1 \leq j < k \leq n} \frac{1}{k - j}

方法一：固定 kk，对 jj 求和

Sn=∑k=1n∑j=1k−11k−j=∑k=1n∑d=1k−11d(令 d=k−j)=∑k=1nHk−1=∑0≤k<nHk\begin{align*} S_n &= \sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^{k-1} \frac{1}{k - j} \\ &= \sum_{k=1}^n \sum_{d=1}^{k-1} \frac{1}{d} \quad (\text{令 } d = k - j) \\ &= \sum_{k=1}^n H_{k-1} \\ &= \sum_{0 \leq k < n} H_k \end{align*}

方法二：固定 jj，对 kk 求和

Sn=∑j=1n∑k=j+1n1k−j=∑j=1n∑d=1n−j1d(令 d=k−j)=∑j=1nHn−j=∑0≤k<nHk\begin{align*} S_n &= \sum_{j=1}^n \sum_{k=j+1}^{n} \frac{1}{k - j} \\ &= \sum_{j=1}^n \sum_{d=1}^{n-j} \frac{1}{d} \quad (\text{令 } d = k - j) \\ &= \sum_{j=1}^n H_{n-j} \\ &= \sum_{0 \leq k < n} H_k \end{align*}

两种方法均得 ∑0≤k<nHk\sum_{0 \leq k < n} H_k，但此和无封闭形式，陷入僵局。

成功解法：变量替换（按差值求和）

令 d=k−jd = k - j，则 k=j+dk = j + d，原条件 1≤j<k≤n1 \leq j < k \leq n 化为：

  • 1≤d≤n1 \leq d \leq n
  • 1≤j≤n−d1 \leq j \leq n - d

于是：

Sn=∑d=1n∑j=1n−d1d=∑d=1n1d⋅(n−d)=∑d=1n(nd−1)=n∑d=1n1d−∑d=1n1=nHn−n\begin{align*} S_n &= \sum_{d=1}^{n} \sum_{j=1}^{n-d} \frac{1}{d} \\ &= \sum_{d=1}^{n} \frac{1}{d} \cdot (n - d) \\ &= \sum_{d=1}^{n} \left( \frac{n}{d} - 1 \right) \\ &= n \sum_{d=1}^{n} \frac{1}{d} - \sum_{d=1}^{n} 1 \\ &= n H_n - n \end{align*}

因此：

Sn=nHn−n(2.36)S_n = n H_n - n \tag{2.36}

结合前式，得到恒等式：

∑0≤k<nHk=nHn−n\sum_{0 \leq k < n} H_k = n H_n - n

理解与启示

  1. 代数视角： 对 1k−j\frac{1}{k - j} 类型的项，令 d=k−jd = k - j 是关键替换，将依赖两个变量的表达式转化为可分组求和的形式。

  2. 几何视角： 原求和区域是 j<kj < k 的上三角格点。

    • 按行或列求和 → 得 HkH_k，结构复杂
    • 按对角线（k−j=dk - j = d 为常数）求和 → 每层贡献 n−dd\frac{n - d}{d}，结构清晰

例如 n=4n=4 时，按 d=1,2,3d = 1,2,3 分组：

  • d=1d=1: 3 项，贡献 3⋅11=33 \cdot \frac{1}{1} = 3
  • d=2d=2: 2 项，贡献 2⋅12=12 \cdot \frac{1}{2} = 1
  • d=3d=3: 1 项，贡献 1⋅13=131 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} 总和：3+1+13=4H4−43 + 1 + \frac{1}{3} = 4H_4 - 4，验证成立。

核心思想： 多重和的计算成败，往往取决于是否选择了合适的求和顺序或变量替换。 本例中，按“差值” d=k−jd = k - j 求和是突破关键。

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