资料分析的前端可视化操作

问题符号化

现期 $N$

基期 $B$

增长量 $A$

增长率 $\alpha$

速算技巧

百化分

将$\alpha$化为$\frac{1}{n}$，$A=\frac{N}{n+1}$。

$\frac{1}{2}=50\%$	$\frac{1}{3}=33.3\%$	$\frac{1}{4}=25\%$	$\frac{1}{5}=20\%$	$\frac{1}{6}=16.7\%$
$\frac{1}{7}=14.3\%$	$\frac{1}{8}=12.5\%$	$\frac{1}{9}=11.1\%$	$\frac{1}{10}=10\%$	$\frac{1}{11}=9.1\%$
$\frac{1}{12}=8.4\%$	$\frac{1}{13}=7.7\%$	$\frac{1}{14}=7.1\%$	$\frac{1}{15}=6.7\%$	$\frac{1}{16}=6.25\%$
$\frac{1}{17}=5.9\%$	$\frac{1}{18}=5.6\%$	$\frac{1}{19}=5.3\%$	$\frac{1}{20}=5\%$	$\frac{1}{50}=2\%$

415份数法（需要百化分，是特殊的假设分配）

已知现期和增长率，求基期和增长量。

增长率	分数	基期	增长量	现期
25%	1/4	4	1	5
50%	1/2	2	1	3
33%	1/3	3	1	4
20%	1/5	5	1	6
16.7%	1/6	6	1	7
14.3%	1/7	7	1	8
12.5%	1/8	8	1	9
11.1%	1/9	9	1	10
10%	1/10	10	1	11
9%	1/11	11	1	12
-25%	-1/4	4	-1	3
-28.6%	-2/7	7	-2	5

例：现期为936，增长率为42.85%，求基期和增长量？

增长率	分数	基期	增长量	现期
42.9%	3/7	7	3	10
42.9%	3/7	936-281=655	3*93.6=280.8≈281	936

假设分配

假设分配法

已知现期和增长率，同时求基期和增长量。

假设分配的基本形式

graph TD
现期 --> 预估基期1
现期 --> 现期-预估基期1-预估基期1*增长率
现期 --> 预估基期1*增长率
现期-预估基期1-预估基期1*增长率 --> 预估基期2
现期-预估基期1-预估基期1*增长率 --> 现期-预估基期1-预估基期1*增长率-预估基期2

其中，基期=预估基期1+预估基期2，增长量=预估基期1*增长率+预估基期2*增长率。

假设分配误差分析

一般而言，预估基期1需要精确计算，例如现期为1203，增长率为13.6%。

graph TD
N120 --> B100
N120 --> N6-
N120 --> A14+
N6- --> B5+
N6- --> A1-

graph TD
N1200 --> B1000
N1200 --> N64
N1200 --> A136
N64 --> B55-
N64 --> A9+

取前三位的结果是基期1050+，增长量150；取前四位的结果是基期1055-，增长量145+；实际结果是基期1058.98，增长量144.02。可以看出，取前三位的基期误差是0.847%，增长量误差是4.152%；取前四位的基期误差是0.376%，增长量误差是0.680%。其实，这里可以直观看出，如果选项基期为1029、1039、1049、1059，而取前三的结果是1050+，可以选出1059，实际选项的分布并不会这么精确，往往是959，1059，1159，1259，所以这也给我们一个警示，如果选项之间的差距是前两位的差距，那么保留三位绰绰有余，如果选项之间的差距是前三位的差距，那么需要保留四位。

假设分配基本做题流程

• 读题，确定题目是否求基期或增量。
• 看选项误差在前两位还是前三位（误差只有一位也算两位）
• 阅读材料或图表，定位现期数据和增长率
• 列假设分配
• 求出预估基期1、预估增长量1、预估剩余现期1后，可以直接代入选项看一看，有些时候并不需要继续进行计算就可以直接选出了。

假设分配的做题场景

• 求一般基期和一般增量。
• 求甲、乙两类事物的基期比值或增量比值
  • 当甲与乙的增长率比较接近，而现期并不接近时，可以计算现期之比，再分析1+增长率的反比是否大于1，若大于1，则基期比值的结果为现期比值结果稍大，若小于1，则为现期比值结果稍小。
  • 一般增量比值直接使用假设分配。
• 求若干（这里指的是一系列事物，8个甚至9个）事物的基期或增量，求最大基期（增量）和最小基期（增量）比值，可以根据感觉一次分配，仅估计大概结果，例如现期1543，增长率63%，那么预估基期小于1000，增长量大于543，如果需要再精确一些，预估基期900，增长量567，那么基期就在900~1000之间，增长量在543~567之间。

简单计算

问题背景：2025年掘友收入为N万元，2024年收入B万元，2025年较2024年收入增长了A万元，同比增长$\alpha$。

基期计算

一般基期

【现期、增长率】2025年某掘友收入为N万元，同比增长$\alpha$。

$B=\frac{N}{\alpha+1}$

速算技巧【直除法】：

例如：$95.3/133=?$

A. 69% B.72% C.75% D.78%

一般来说，不用管小数点，将95.3视为953，选项之间的差距均在3个百分点，将133视为13，实际上就是130，误差为3/130，小于3%的误差，使用953除以13，对13给一个‘-’上标，表示比原值要小，对于结果73给一个‘+’上标，表示实际值要比73更大，观察选项，只有C项符合计算结果。【养成良好的直除习惯，直除的使用场景几乎覆盖到资料分析的方方面面】

【现期、增长量】2025年某掘友收入为N万元，较去年增加A万元。

$B=N-A$

基期差值

使用两次假设分配

根据变化求基期

【增长量、增长率】2025年某掘友较去年增加A万元，同比增长$\alpha$。

$B=\frac{A}{\alpha}$

速算技巧【减法速算】：

穿插一下加法速算，如果是单纯加法类题目，将各项数据的个位开始累加，同时观察选项个位是否一致，不一致就排除，多个一致就算十位、百位等等；如果加法只是题目其中的一步，可以从高位加起。

减法速算，对被减数向上取整到一个方便快速计算的值，并把取整时的差相加得到最终结果。

例如：$228.3-133=228.3-200+67=28.3+67=95.3$

现期计算

【基期、增长量】2024年某掘友收入为B万元，2025年较2024年收入增加了A万元。

$N=B+A$

【基期、增长率】2024年某掘友收入为B万元，同比增长$\alpha$，若增速不变，2025年掘友收入为多少？

$N=B\times(\alpha+1)$

【增长量、增长率】2025年某掘友较去年增加A万元，同比增长$\alpha$。

$N=\frac{A\times(\alpha+1)}{\alpha}=A+\frac{A}{\alpha}$

增长量计算

【现期、基期】2025年某掘友收入为N万元，2024年收入为B万元。

$A=N-B$

【基期、增长率】2024年某掘友收入为B万元，同比增长$\alpha$，若增速不变，2025年掘友收入较2024年增长了多少万元。

$A=B\times\alpha$

【现期、增长率】2025年某掘友收入为N万元，同比增长$\alpha$。

$A=\frac{N\times\alpha}{\alpha+1}$

速算技巧【百化分】

增长率计算

【现期、基期】2025年某掘友收入为N万元，2024年收入为B万元。

$\alpha=\frac{N-B}{B}=\frac{N}{B}-1$

【现期、增长量】2025年某掘友收入为N万元，较去年增加A万元。

$\alpha=\frac{A}{N-A}$

【基期、增长量】2024年某掘友收入为B万元，2025年较2024年增加A万元，求2025年掘友收入增长率。

$\alpha=\frac{A}{B+A}$

混合增长率计算

本外币：人民币、外币
城乡：城镇、乡村
地区：东部地区、西部地区、中部地区

【现期推导】问题背景：2025年掘友收入为N万元，同比增长$\alpha$。其中，主业收入$N_m$万元，同比增长$\alpha_m$，副业收入$N_p$万元，同比增长$\alpha_p$。

推导：

$\frac{N}{\alpha+1}=\frac{N_m}{\alpha_m+1}+\frac{N_p}{\alpha_p+1}$

求$\alpha$：

$\frac{N}{\alpha+1}=\frac{N_m\alpha_p+N_m}{(\alpha_m+1)(\alpha_p+1)}+\frac{N_p\alpha_m+N_p}{(\alpha_p+1)(\alpha_m+1)}=\frac{N_p\alpha_m+N_m\alpha_p+N}{(\alpha_p+1)(\alpha_m+1)}$

$\alpha=\frac{N(\alpha_p+1)(\alpha_m+1)}{N_p\alpha_m+N_m\alpha_p+N}-1=\frac{(\alpha_p+1)(\alpha_m+1)}{\beta_p\alpha_m+\beta_m\alpha_p+1}-1=\frac{(1-\beta_p)\alpha_m+(1-\beta_m)\alpha_p+\alpha_p\alpha_m}{\beta_p\alpha_m+\beta_m\alpha_p+1}=\frac{\beta_m\alpha_m+(1-\beta_m)\alpha_p+\alpha_p\alpha_m}{\beta_m\alpha_p+(1-\beta_m)\alpha_m+1}=\frac{\beta_m(\alpha_m-\alpha_p)+\alpha_p(\alpha_m+1)}{-\beta_m(\alpha_m-\alpha_p)+\alpha_m+1}$【貌似没有什么太大意义】

$\alpha=\frac{N(\alpha_p+1)(\alpha_m+1)}{N_p\alpha_m+N_m\alpha_p+N}-1=\frac{(\alpha_p+1)(\alpha_m+1)}{\beta_p\alpha_m+\beta_m\alpha_p+1}-1$【这个计算时可能还有点儿用，有个锤子用，根本记不住】

其中,$\beta_m$和$\beta_p$分别为主业收入和副业收入占总收入的现期比重，基于现期关系求混合增长率$\alpha$比较复杂。

【基期推导】问题背景：2024年掘友收入为B万元，2025年同比增长$\alpha$。其中，主业收入$B_m$万元，2025年同比增长$\alpha_m$，副业收入$B_p$万元，2025年同比增长$\alpha_p$。

推导：

$B\alpha=B_m\alpha_m+B_p\alpha_p$

求$\alpha$：

$\alpha=\frac{B_m\alpha_m}{B}+\frac{B_p\alpha_p}{B}=\beta_m\alpha_m+\beta_p\alpha_p$

其中，$\beta_m$和$\beta_p$分别为主业收入和副业收入占总收入的基期比重，且$\beta_m+\beta_p=1$，若$\alpha_m>\alpha_p$，则$\alpha_m>\alpha>\alpha_p$；若$\beta_m>\beta_p$，则$\alpha\rightarrow\alpha_m$。极端来讲，当$\beta_m=1$时，$\alpha=\alpha_m$。也就是说“谁的基期占比越大，混合增长率越靠近谁”，从数值来看，$\beta_m>\beta_p$时，介于$\alpha_m$和$\frac{\alpha_m+\alpha_p}{2}$之间。

推广：

$B\alpha=B_1\alpha_1+B_2\alpha_2+\cdots+B_n\alpha_n$

$\alpha=\beta_1\alpha_1+\beta_2\alpha_2+\cdots+\beta_n\alpha_n$

$\beta_1+\beta_2+\cdots+\beta_n=1$

一般情况下，判断出基期占比哪个更大就可以了，然后根据选项选出最靠谱的答案。

平均数增长率计算

农田产量 & 农田面积 -- 农田每百亩产量
企业营收 & 企业数量 -- 每家企业营收
营业收入 & 总体资产 -- 每万元资产营收

问题背景：掘友2024年写的文章总字数为$N$，同比增长$\alpha_a$，共写了$n$篇文章，同比增长$\alpha_b$，求掘友每篇文章字数的增长率为？

2024年每篇文章平均字数：$\frac{N}{n}$

2023年每篇文章平均字数：$\frac{\frac{N}{1+\alpha_a}}{\frac{n}{1+\alpha_b}}=\frac{N(1+\alpha_b)}{n(1+\alpha_a)}$

平均数增长率=$\frac{\frac{N}{n}}{\frac{N(1+\alpha_b)}{n(1+\alpha_a)}}-1=\frac{1+\alpha_a}{1+\alpha_b}-1=\frac{\alpha_a-\alpha_b}{1+\alpha_b}$

乘积增长率计算

问题背景：2025年掘友写了$n$篇文章，同比增长$\alpha_a$，每篇文章字数为$Avg$，同比增长$\alpha_b$，求掘友所有文章总字数的增长率为？

2025年所有文章总字数：$n\times Avg$

2025年所有文章总字数：$\frac{n}{1+\alpha_a}\times\frac{Avg}{1+\alpha_b}$

乘积增长率=$倍数-1=\frac{n\times Avg-\frac{n}{1+\alpha_a}\times\frac{Avg}{1+\alpha_b}}{\frac{n}{1+\alpha_a}\times\frac{Avg}{1+\alpha_b}}-1=(1+\alpha_a)(1+\alpha_b)-1=\alpha_a+\alpha_b+\alpha_a\alpha_b$

乘积增长率的公式与间隔增长率一模一样！

间隔增长率计算

问题背景：2025年掘友收入N万元，同比增长$\alpha_1$，增速较去年放缓k个百分点，求2025年比2023年的收入增长率$\alpha$。

推导：

2025年比2024年的收入增长率为$\alpha_1$，2024年比2023年的收入增长率为$\alpha_2=\alpha_1+k\%$【若提高了k个百分点，则为$\alpha_2=\alpha_1-k\%$】。

2024年的收入为$N_1=\frac{N}{\alpha_1+1}$，2023年的收入为$N_2=\frac{N_1}{\alpha_2+1}=\frac{N}{(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)}$

$\alpha=\frac{N-N2}{N2}=\frac{N}{N2}-1=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_1\times\alpha_2$

即：$\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_1\alpha_2$

如果间隔2年？

$\alpha^{'}=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_1\alpha_2$

$\alpha=\alpha^{'}+\alpha_3+\alpha^{'}\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_1\alpha_2+\alpha_1\alpha_3+\alpha_2\alpha_3+\alpha_1\alpha_2\alpha_3$

如果间隔n年（$n>2$）？

$\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n+\alpha_1\alpha_2+\alpha_1\alpha_3+\cdots+\alpha_1\alpha_{n}+\cdots+\alpha_{n-1}\alpha_{n}+\cdots+\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n$

为什么不可以直接使用$\alpha\approx\alpha_1+\alpha_2$

假设$alpha_1=50\%$，$alpha_2=50\%$，那么$\alpha=50\%+50\%+50\%\times50\%=125\%$，显然，这个结果并不能直接保留到100%来进行后续计算，否则误差就会非常大（20%的误差）；那么，如果是$20\%$呢？结果是44%，直接保留的结果是40%，误差为9%；如果是$10\%$呢？结果是21%，直接保留的结果是20%，误差为5%。如果是间隔三年，$50\%$的情况下，误差会更大【58.33%】，$20\%$的情况下，误差是21.33%，$10\%$的情况下，误差是10.33%，所以，当间隔越大，误差也会越大。

但是，$\alpha>\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n$，可以根据这一特性来秒杀题目。

【间隔增长率】倍数

$倍数=\frac{现期}{基期}=\frac{现期}{\frac{现期}{增长率+1}}=增长率+1$

$间隔倍数=间隔增长率+1$

【间隔增长率】基期计算

$基期=\frac{现期}{1+增长率}$

$间隔基期=\frac{现期}{1+间隔增长率}$

【间隔增长率】增长量计算

$增长量=\frac{现期\times增长率}{1+增长率}$

利用百化分，将增长率化为分数$\frac{1}{n}$，$增长量=\frac{现期}{n+1}$

【间隔增长率】现期计算

$现期=基期\times(1+增长率)$

$间隔现期=基期\times(1+间隔增长率)$

注意：此类题型一般考察，年均增长率估算未来现期量。比如：已知掘友2023年的收入为B，保证2024、2025年的收入情况依然保持2017~2023年的年均收入增速$\alpha$水平，掘友2025年的收入N应该为多少？$N=B(1+2\alpha+\alpha^2)=B(1+\alpha)^2$，推广：若间隔两年，则$N=B(1+\alpha)^3$，间隔n年，则$N=B(1+\alpha)^{n+1}$。

速算技巧【平方数计算】:

两位数以内基本公式：${AB}^2=100\times{A}^2+20\times A\times B+B^2$

比如${73}^2=100\times{7}^2+20\times 7\times 3+3^2=4900+420+9=5329$

$2^2=4$	$3^2=9$	$4^2=16$	$5^2=25$	$6^2=36$
$7^2=49$	$8^2=64$	$9^2=81$	$10^2=100$	$11^2=121$
$12^2=144$	$13^2=169$	$14^2=196$	$15^2=225$	$16^2=256$
$17^2=289$	$18^2=324$	$19^2=361$	$21^2=441$	$22^2=484$

【间隔增长率】混合增长率计算

问题背景：掘友2023年的主业收入为$B_m$，增速为$\alpha_m$，副业收入为$B_p$，增速为$\alpha_p$，若2024年主业、副业依旧保持2023年的收入增速，则2024年的总收入比2022年的收入增长率$\alpha$为？

主业的间隔增长率：$2\alpha_m+{\alpha_m}^2$

副业的间隔增长率：$2\alpha_p+{\alpha_p}^2$

主业的基期：$\frac{B_m}{1+\alpha_m}$

副业的基期：$\frac{B_p}{1+\alpha_p}$

比较主业、副业的基期哪个更大，若主业的基期更大，则混合增长率$\alpha$应介于$2\alpha_m+{\alpha_m}^2$与$\alpha_m+\alpha_p+\frac{{\alpha_m}^2+{\alpha_p}^2}{2}$之间。

【间隔增长率】平均数增长率计算

问题背景：掘友2025年写的文章总字数为$N$，同比增长$\alpha_{a1}$，比2024年回落了$k_1$个百分点，共写了$n$篇文章，同比增长$\alpha_{b1}$，比2024年提高了$k_2$个百分点，求掘友2025年相较于2023年每篇文章字数的增长率为？

2024年文章总字数的增长率：$\alpha_{a2}=\alpha_{a1}+\frac{k_1}{100}$

2024年文章数的增长率：$\alpha_{b2}=\alpha_{b1}-\frac{k_2}{100}$

文章总字数的间隔增长率：$\alpha_{a1}+\alpha_{a2}+\alpha_{a1}\alpha_{a2}$

文章数的间隔增长率：$\alpha_{b1}+\alpha_{b2}+\alpha_{b1}\alpha_{b2}$

套平均数增长率公式：$\alpha=\frac{\alpha_a-\alpha_b}{1+\alpha_b}$

2025年较2023年的平均数增长率：$\alpha=\frac{\alpha_{a1}+\alpha_{a2}+\alpha_{a1}\alpha_{a2}-(\alpha_{b1}+\alpha_{b2}+\alpha_{b1}\alpha_{b2})}{1+\alpha_{b1}+\alpha_{b2}+\alpha_{b1}\alpha_{b2}}$

【间隔增长率】逆向运用

由$\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_1\alpha_2$可以推导$\alpha_1=\frac{\alpha-\alpha_2}{1+\alpha_2}$或$\alpha_2=\frac{\alpha-\alpha_1}{1+\alpha_1}$，也就是25年、23年可以推24年的增长率或25年、24年可以推23年的增长率。

【间隔增长率】同比、环比

间隔增长率也可以运用到同比+环比的模式，例如：2024年7月的收入同比增长为$\alpha_1$，2023年7月的环比增长为$\alpha_2$，求2024年7月较2023年6月收入增长率$\alpha$。

$\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_1\alpha_2$

比重计算

两期比重

2025年，甲收入为$N_b$，同比增速为$\alpha_b$，其中，主业收入为$N_a$，同比增速为$\alpha_a$，求2025年甲主业收入的占比比2024年增加（减少了）多少个百分点？

现期比重

$\frac{N_a}{N_b}$

基期比重

$\frac{\frac{N_a}{1+\alpha_a}}{\frac{N_b}{1+\alpha_b}}=\frac{N_a}{N_b}\frac{1+\alpha_b}{1+\alpha_a}$

两期比重差

$\frac{N_a}{N_b}-\frac{\frac{N_a}{1+\alpha_a}}{\frac{N_b}{1+\alpha_b}}=\frac{N_a}{N_b}(1-\frac{1+\alpha_b}{1+\alpha_a})=\frac{N_a}{N_b}\frac{\alpha_a-\alpha_b}{1+\alpha_a}$

2025年甲主业收入的占比比2024年增加（减少了）$\frac{N_a}{N_b}\frac{\alpha_a-\alpha_b}{1+\alpha_a}\times100$个百分点。

a代表部分，b代表整体，当部分增长率大于整体增长率时，现期比重比基期比重大；当部分增长率小于整体增长率时，现期比重比基期比重小。