计算一车多单的情况下，无车订单的数量背景在正常的派单系统中，一辆车只能派送给一个乘客，最终要么司机接单成功、要么乘客取

背景

在正常的派单系统中，一辆车只能派送给一个乘客，最终要么司机接单成功、要么乘客取消订单。

现在随着像高德、腾讯、百度、美团等聚合打车平台的崛起，与滴滴已经形成了抗衡的局面，聚合平台已成为乘客打车的一个重要流量入口。聚合平台前面把控了乘客需求的入口，后面联合众多不同的运力供应商，才能够形成与滴滴一较高下的局面。

作为聚合平台的运力提供商，需要给聚合平台用户的打车需求，派送可匹配的车辆。由于聚合平台集结了多家运力供应商，用户的打车需求下发到各个不同的运力供应商，最终聚合平台会基于自身的策略，从多家运力供应商派送的车辆中，选择合适的运力。这样就会导致某家运力提供商派送的车辆，由于没有竞争过其它运力供应商，最终派送的运力无法接到订单。

基于这样的背景下，作为运力提供商，就要计算好车辆派送给聚合平台后，平台给单的概率，如果给单的概率太低，就可以把一辆车同时派给多个用户需求。但是，又要考虑好一辆车派送给多个用户需求后，一旦多个需求都给单进行接起时，由于一辆车只能服务一个需求，最终导致多的需求被取消，从而引起聚合平台对运力供应商的罚款。在综合考虑聚合平台的给单和罚款的约束下，就决定了一辆车派送多单时，在什么样的情况下，对运力提供商来说效率最高。

问题

基于以上背景，就牵引出来了一个基本问题。一辆车派送给多个订单后，在每个订单给单率不同的情况下，如何计算无车订单的数量，这样运力供应商才能控制好罚款的风险。

示例如下：

聚合平台： 用户A下单了需求A1， 用户B下单了需求B1，用户D下单了需求D1
运力供应商： 针对A1和B1都派送了车辆C1
聚合平台给单率： A1-C1的给单率0.3，B1-C1的给单率 0.4, D1-C1的给单率 0.5

无车订单的数量，存在如下两种：
1. C1被2个订单给单则有1个订单无车。无车订单存在3种情况，C1给A1、B1、不给D1，，C1给A1、D1、不给B1，C1给D1、B1、不给A1，计算方式: 0.3 * 0.4 * 0.5 * 1 + 0.3 * 0.5 * 0.6 * 1 + 0.4 * 0.5 * 0.7 * 1 = 0.29
2. C1被3个订单给单则有2个订单无车。 无车订单数，计算方式： 0.3 * 0.4 * 0.5 * 2 = 0.12
最终计算无车订单数： 0.29 + 0.12 = 0.41

理论推导

示例可以通过穷举演算，计算得到最终结果。如果数据量一大，穷举的方式就过于复杂，如何通过理论的推导得到最终的计算公式，让所有这类问题，都能够迎刃而解。

理解问题

首先，我们需要明确几个关键信息：

订单的接单情况：每个订单 $i_i$ 以概率 $x_i$ 被接单，以概率 1 - $x_i$ 不被接单。各个订单的接单与否是相互独立的。
取消规则：如果接单的总数 $S$ （即成功接单的订单数量）大于 1，那么保留 1 个订单，其余的 $S - 1$ 个订单被取消。因此，被取消的订单数为 $max(S−1,0)$ 。
期望值：我们需要计算 $E[max(S - 1, 0)]$ ，即被取消订单数的期望。

定义随机变量

设 $S$ 为成功接单的订单总数。 $S$ 可以表示为：

\sum_{i = 1}^{n}{X_i}

其中， $X_i$ 是伯努利随机变量，表示第 $i$ 个订单是否被接单：

X_i = \begin{cases} 1,\quad (概率x_i)\\ 0, \quad (概率1-x_i) \end{cases}

被取消的订单数

被取消的订单数为：

Y = max(S - 1, 0)= \begin{cases} S-1,\quad (if S\geq 1)\\ 0, \quad (if S=0) \end{cases}

因此，期望值为：

E[Y] = E[max(S - 1, 0)] = \sum_{s=0}^{n}{max(s-1,0).P(S=s)}

注意到当 $s = 0$ 或 $s = 1$ 时， $max(s - 1, 0) = 0$ ，所以：

E[Y] = \sum_{s=2}^{n}{(s-1).P(S=s)}

计算 $P(S=s)$

$S$ 是 $n$ 个独立的伯努利试验的和，但每个试验的成功概率不同，因此 $S$ 服从泊松二项分布（Poisson Binomial Distribution）。计算 $P(S=s)$ 的一般形式比较复杂，但对于小的 $n$ ，可以通过枚举所有可能的 $s$ 个订单被接的组合来计算。

然而，对于期望的计算，我们可以采用更聪明的方法。

利用线性期望

E[Y] = E[max(S - 1, 0)] = E[S]−E[min(S,1)]

因为：

max(S−1,0)=S−min(S,1)

所以：

E[Y]=E[S]−E[min(S,1)]

计算：

$E[S]=\sum_{i = 1}^{n}{x_i}$ （因为期望的线性性质）
$E[min(S,1)]=P(S≥1)=1−P(S=0)=1-\prod_{i=1}^{n}{1-x_i}$

这个 $E[min(S,1)]=P(S≥1)$ 成立的原因如下：

min(S,1) = \begin{cases} 0,\quad (if S= 0)\\ 1, \quad (if S\geq1) \end{cases}

E[min(S,1)] = 0 * P(S=0) + 1 * P(S≥1) = P(S≥1)

因此：

E[Y]=E[S]−E[min(S,1)]=\sum_{i = 1}^{n}{x_i}-(1-\prod_{i=1}^{n}{(1-x_i)}) =(\sum_{i = 1}^{n}{x_i}-1)+\prod_{i=1}^{n}{(1-x_i)}

解释

$\sum_{i = 1}^{n}{x_i}$ ：平均接单总数。
减去 1：因为最多保留 1 个订单。
$\prod_{i=1}^{n}{(1-x_i)}$ ：没有订单被接的概率。

验证示例

聚合平台： 用户A下单了需求A1， 用户B下单了需求B1，用户D下单了需求D1
运力供应商： 针对A1和B1都派送了车辆C1
聚合平台给单率： A1-C1的给单率0.3，B1-C1的给单率 0.4, D1-C1的给单率 0.5

E(无车订单数) = (0.3 + 0.4 + 0.5) - 1 + (1-0.3)*(1-0.4)*(1-0.5) = 0.41

验证结果和穷举方式的结果一致。

结论

接起后无车的订单数，也就是被取消订单数的期望值为：

E[Cancelled orders] = (\sum_{i = 1}^{n}{x_i}-1)+\prod_{i=1}^{n}{(1-x_i)}

或者等价地：

E[Cancelled orders] = \sum_{s=2}^{n}{(s-1).P(S=s)}

其中 $S$ 是成功接单的总数，服从泊松二项分布。

计算一车多单的情况下，无车订单的数量

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