问题分析
• 数据规模：
• 共有 1 亿（10⁸）个正整数。
• 数值范围为 0 到 42 亿（4.2 × 10⁹） 。
• 目标：
• 找出所有 出现次数恰好为 2 的数字。
• 空间复杂度：
• 需要优化空间使用，不能直接存储所有数据。
解法 1：位图（BitSet）
思路：
- 由于数据范围是 0 ~ 42 亿（4.2 × 10⁹） ，可以用 2-bit 位图（每个数字占 2 位）来记录 出现次数：
• 00：未出现
• 01：出现 1 次
• 10：出现 2 次
• 11：忽略（因为只统计出现 2 次的数）
-
需要 2-bit × 42 亿 ≈ 1GB 内存，符合可行范围。
-
步骤：
• 第一遍遍历：统计所有数字的出现次数（使用 2-bit 位图）。
• 第二遍遍历：筛选出 出现 2 次的数 并输出。
实现方式：
import numpy as np
def find_numbers_appearing_twice(nums):
N = 4200000000 # 42亿
bits_per_number = 2
total_bits = N * bits_per_number
bit_array_size = total_bits // 8 # 转换成字节
# 使用 NumPy 创建一个位数组，节省空间
bit_array = np.zeros(bit_array_size, dtype=np.uint8)
def get_bits(num):
"""获取 num 在 bit_array 里的 2-bit 值"""
byte_index = (num * 2) // 8
bit_offset = (num * 2) % 8
return (bit_array[byte_index] >> bit_offset) & 0b11
def set_bits(num, value):
"""设置 num 在 bit_array 里的 2-bit 值"""
byte_index = (num * 2) // 8
bit_offset = (num * 2) % 8
bit_array[byte_index] &= ~(0b11 << bit_offset) # 先清空对应的 2-bit
bit_array[byte_index] |= (value << bit_offset) # 赋值
# 1. 统计数字出现次数
for num in nums:
count = get_bits(num)
if count < 2: # 只记录 0->1 和 1->2
set_bits(num, count + 1)
# 2. 找出出现 2 次的数
result = []
for num in range(N):
if get_bits(num) == 2:
result.append(num)
return result
时间复杂度：
• O(n) ：遍历两次数据列表。
空间复杂度：
• 2-bit × 42 亿 ≈ 1GB。
适用场景：
• 适用于大规模数据，使用 位图减少空间。
解法 2：哈希表
思路：
• 使用 字典（HashMap） 统计出现次数。
• 但 存储 1 亿个数的哈希表会消耗大量空间，不适合此题。
空间复杂度：
• Python dict 需要存储 键 + 计数，大约需要 3~4GB 内存，过大。
结论：
• 哈希表不可行，需要用 位图优化。
解法 3： 排序 + 线性扫描
思路：
-
先排序（O(n log n)）。
-
遍历数组，找出恰好出现 2 次的数（O(n)）。
时间复杂度：
• 排序 O(n log n)
• 遍历 O(n)
• 总时间：O(n log n)
空间复杂度：
• 需要 存储排序后的数组（1 亿个数 400MB），比哈希表节省，但仍比位图高。
适用场景：
• 如果数据可以排序（外部排序），可用此方法。
最终选择
• 位图（BitSet） 最优（O(n) 时间，O(1GB) 空间）。
• 哈希表不可行（占用空间太大）。
• 排序可行，但比 位图 慢（O(n log n)）。
