专题一：线性代数基础--矩阵（一）

矩阵基础

一、矩阵的秩与线性相关性

1. 矩阵秩的定义

矩阵的秩（Rank）是矩阵中​​线性无关的行（或列）向量的最大数量​​。例如：

该矩阵的行向量组为 $(1,2,3)$、$(4,5,6)$、$(7,8,9)$。由于第三行是第一行和第二行的线性组合（$7=1+2×3$），因此秩为2。

2. 线性相关性的判定

​​线性相关​​的定义：若存在不全为零的标量 $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ 使得 $\lambda_1\vec{v}_1 + \lambda_2\vec{v}_2 + ... + \lambda_n\vec{v}_n = \vec{0}$，则向量组线性相关。

​​判定方法​​：

• ​​行列式法​​：对 $n×n$ 方阵，若其行列式 $|A|=0$，则列向量线性相关。例如：
  $$B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}, \quad |B|=1×6-2×3=0 \quad \Rightarrow \text{线性相关}$$
• ​​秩比较法​​：若矩阵的秩 $r < n$（n为向量个数），则向量组线性相关。

3. 秩的几何意义

矩阵的秩代表了向量空间的​​维数​​。例如：

其行简化阶梯形矩阵的非零行数为2，说明秩为2，对应二维空间。

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二、特殊矩阵

1. 单位矩阵（Identity Matrix）

• ​​定义​​：主对角线元素全为1，其余元素为0的方阵：
  $$I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
• ​​性质​​：对任意矩阵 $A$，有 $AI = IA = A$。例如：
  $$A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}, \quad AI = A$$

2. 对角矩阵（Diagonal Matrix）

• ​​定义​​：非零元素仅出现在主对角线上：
  $$D = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix}$$
• ​​运算特性​​：乘法运算简便。例如：
  $$D^2 = \begin{bmatrix} a^2 & 0 & 0 \\ 0 & b^2 & 0 \\ 0 & 0 & c^2 \end{bmatrix}$$

3. 对称矩阵（Symmetric Matrix）

• ​​定义​​：满足 $A = A^T$，即元素关于主对角线对称：
  $$S = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$
• ​​性质​​：
  • 特征值为实数，特征向量正交11,13。
  • 若 $A$ 和 $B$ 是对称矩阵且可交换（$AB=BA$），则 $AB$ 仍为对称矩阵10。

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三、矩阵的加减法

1. 运算规则

• ​​条件​​：仅当两个矩阵​​同型​​（行数和列数相同）时可加减。
• ​​示例​​：
  $$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}, \quad A+B = \begin{bmatrix} 1+5 & 3+0 \\ -2+1 & 4+(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$$

2. 运算性质

• ​​交换律​​：$A + B = B + A$
• ​​结合律​​：$(A + B) + C = A + (B + C)$
• ​​零矩阵作用​​：$A + 0 = A$，其中 $0$ 为同型零矩阵。

3. 几何解释

矩阵加减对应向量的平移。例如：

在平面直角坐标系中，此运算表示从点 $(2,1)$ 移动到 $(1,4)$。