专题一：线性代数基础--向量（一）

向量基础

一、向量的定义与表示

定义：
向量是同时具有大小（模长）​和方向的量。数学中，向量可表示为有序数组，每个元素对应一个维度上的分量。例如：

• 平面向量：$(x, y)$
• 三维空间向量：$(x, y, z)$
• n维向量：$(v_1, v_2, \dots, v_n)$

几何意义：
向量可视为从原点指向点$(x, y)$的箭头，箭头长度（模长）为：

方向由分量的比例决定（如向量 $[1, 2]$ 的斜率为 $2/1$）。

表示方法：

• ​行向量：水平排列，如 $\mathbf{v} = [1, 2]$
• ​列向量：垂直排列，如 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$
  两者通过转置互换：$\mathbf{v}^T = [1, 2]$。

示例：
从点 $A(1,1)$ 到 $B(4,5)$ 的位移向量为 $\mathbf{v} = [3, 4]$。

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三、向量运算

1. 加减法

规则：仅同维度向量可加减，对应分量相加减。

• ​代数形式：
  $$\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 - b_1 \\ a_2 - b_2 \end{bmatrix}$$
• ​几何意义：
  • ​加法：将$\mathbf{w}$的起点移到$\mathbf{v}$的终点，连接起点到终点的向量（平行四边形法则）。
  • ​减法：$\mathbf{v} - \mathbf{w}$ 指向从$\mathbf{w}$终点到$\mathbf{v}$终点的向量。

示例：

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2. 标量乘法

定义：标量 $c$ 与向量 $\mathbf{v}$ 相乘，每个分量乘以 $c$。

几何意义：

• 缩放向量长度（$|c|$ 倍），方向由 $c$ 的符号决定（$c>0$ 同向，$c<0$ 反向）。

运算律证明​（分配律）：

示例：
$3 \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -3 \end{bmatrix}$（长度放大3倍，方向不变）。

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3. 线性组合

定义：若干向量与标量乘积之和，形如：

几何意义：

• 通过调整标量系数生成新向量。例如，二维空间中两个非共线向量的线性组合可表示平面上任意向量。

关键定理：

• 若 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2$ 不共线，则所有线性组合 $a\mathbf{v}_1 + b\mathbf{v}_2$ 构成整个平面；若共线，则只能生成一条直线。

示例：
设 $\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$，$\mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$，则任意二维向量可表示为：

应用实例：
解线性方程组 $2x + y = 5$，$x - y = 1$，改写为向量方程：

解得 $x=2, y=1$，即 $2\mathbf{v}_1 + 1\mathbf{v}_2 = \mathbf{b}$。

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二、特殊向量类型

1. 零向量

定义：所有分量均为零的向量，记为 $\mathbf{0}$。

• ​表示：
  $$\mathbf{0} = [0, 0] \quad \text{(二维)}, \quad \mathbf{0} = [0, 0, 0] \quad \text{(三维)}$$
• ​性质：
  • 唯一性：每个维度只有一个零向量。
  • 加法单位元：$\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}$。

示例：
$\mathbf{0} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix}$ 在平面上表示“无位移”。

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2. 单位向量

定义：模长为1的向量，表示纯方向。

• ​标准化：任意非零向量 $\mathbf{v}$ 可转化为单位向量：
  $$\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$$
• ​几何意义：用于描述方向（如三维坐标系中的坐标轴方向）。

示例：
向量 $\mathbf{v} = [3, 4]$ 的单位向量为：

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3. 基向量

定义：构成坐标系基底的单位向量，线性组合可表示空间中任意向量。

• ​标准基向量：
  • 二维：$\mathbf{e}_1 = [1, 0]$, $\mathbf{e}_2 = [0, 1]$
  • 三维：$\mathbf{e}_1 = [1, 0, 0]$, $\mathbf{e}_2 = [0, 1, 0]$, $\mathbf{e}_3 = [0, 0, 1]$
• ​性质：
  • 正交性：任意两个基向量内积为0。
  • 完备性：所有基向量的线性组合覆盖整个空间。

示例：
三维向量 $\mathbf{v} = [2, -3, 5]$ 可表示为：

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4. 位置向量（向径）

定义：从原点指向某点 $P(x, y)$ 的向量，记为 $\vec{OP}$。

• ​几何意义：描述点的绝对位置（类似“地址标签”）。

示例：
点 $P(2, 5)$ 的位置向量为 $\vec{OP} = \begin{bmatrix} 2 \ 5 \end{bmatrix}$。

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5. 法向量

定义：垂直于平面或曲面的向量，用于描述几何体的方向。

• ​性质：
  • 平面方程：若平面法向量为 $\mathbf{n} = [a, b, c]$，则平面方程为 $ax + by + cz + d = 0$。

示例：
平面 $2x - 3y + z = 4$ 的法向量为 $\mathbf{n} = [2, -3, 1]$。

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三、总结

• ​向量是兼具大小和方向的量，可表示为行或列形式。
• ​加减法需同维度，几何上遵循平行四边形法则。
• ​标量乘法缩放向量长度，保持或反转方向。
• ​线性组合是构建向量空间的核心工具。

动手练习：
给定 $\mathbf{u} = [3, -2]$，$\mathbf{v} = [-1, 4]$，计算 $2\mathbf{u} + 3\mathbf{v}$，并画出几何示意图。
答案：