《3D 数学基础：图形与游戏开发》十二、几何图元（略）12.1 表示方法 12.1.1 隐式表示通过定义一个布尔函数

12.1 表示方法

通过定义一个布尔函数 $f(x, y, z)$ ，我们能够隐式表示一个图元。若所指定的点在这个图元上，这个函数就为真；对于其他的点，这个函数为假。如等式：

$x^2+y^2+z^2=1$

对中心在原点的单位球表面上的所有点为真。隐式表示法用于测试图元是否包含某点时非常有用

图元也能以参数形式表示。我们从一个简单的2D 例子开始，定义如下两个关于 t 的函数

$x(t)=cos2\pi t \\ y(t)=sin2\pi t$

这里 t 被称作参数，当 t 从 0 变化至 1 时，点 $(x(t)，y(t))$ 的轨迹就是所要描述的形状

若函数只使用一个参数，就称这些函数为单变量的。单变量函数的轨迹是一条曲线。有时函数可能有多于一个参数，双变量函数接受两个参数，经常设为 s 和 t。双变量函数的轨迹是一个曲面

它们随图元的类型而变化，且经常能直接地体现图元最本质和最明显的信息。如用两个端点来表示一个线段；用球心和半径来表示一个球

每个几何图元都有一个固有的属性：自由度。自由度是无歧义地描述该实体所需信息量的最小数目。

本书对“射线”的定义作出修改：

－射线就是有向线段

任何射线都定义了包含这个射线的一条直线和线段。射线在计算几何和图形学中非常重要

2D 和 3D 射线都能用参数形式表示。2D射线的参数形式使用两个函数

3D 射线是对 2D 的一种直接扩展，只需要再加上第 3 个函数 z(t) 即可。参数 t 的范围是 0 到 1

向量记法能使射线的参数形式更加紧凑

$\boldsymbol{p}(t)=\boldsymbol{p}_0+t\boldsymbol{d}$

射线的起点 $p(0)=p_0$ ，这样 $p_0$ 就指定了射线的位置信息，同时增量向量 d 指定了它的长度和方向。射线的终点 $p(1)=p_0+d$