《3D 数学基础：图形与游戏开发》九、矩阵的更多知识9.1 矩阵的行列式在任意方阵中都存在一个标量，称作该方阵的行列式

9.1 矩阵的行列式

在任意方阵中都存在一个标量，称作该方阵的行列式

9.1.1 线性运算法则

方阵 M 的行列式记作 |M| 或 “det M”。先从 2x2、3x3 矩阵开始

下面的示意图能帮助起记忆上面公式。将主对角线和反对角线上的元素各自相乘，然后用主对角线元素的积减去反对角线元素的积

3x3 阶矩阵的行列式

若将 3x3 阶矩阵的行解释为 3 个向量，那么矩阵的行列式等于这些向量的所谓“三元组织”

假设矩阵 M 有 r 行，c 列。记法 $M^{(ij)}$ 表示从 M 中除去第 i 行和第 j 列后剩下的矩阵。显然，该矩阵有 r-1 行，c-1列。矩阵 $M^{(ij)}$ 称作 M 的余子式。考虑 3x3 阶矩阵M:

对方阵 M，给定行、列元素的代数余子式等于相应余子式的有符号行列式

$C_{ij}=(-1)^{i+j}\left|M^{(ij)}\right|$

如上，用记法 $C_{ij}$ 表示 M 的第i行，第j列元素的代数余子式。注意余子式是一个矩阵，而代数余子式是一个标量。代数余子式计算式中的项 $(-1)^{(i+j)}$ 有以棋盘形式使矩阵的代数余子式每隔一个为负的效果:

余子式和代数余子式可以用来计算任意 n 维方阵的行列式，也可以用来计算矩阵的逆

(较复杂的部分先省略掉)

行列式的一些重要性质：

9.1.2 几何解释

2D 中，行列式等于以基向量为两边的平等四边形的有符号面积。在 7.2.2 节中，我们曾介绍过如何利用平行四边形形象化显示坐标空间的变换

3D 中，行列式等于以变换后的基向量为三边的平行六面体的有符号体积

行列式和矩阵变换导致的尺寸改变相关

行列式的绝对值和面积（2D）、体积（3D）的改变相关
行列式的符号说明了变换矩阵是否包含镜像或投影

矩阵的行列式还能对矩阵所代表的变换进行分类

若为零，那么矩阵包含投影
若为负，那么矩阵包含镜像

9.2 矩阵的逆

这个运算只能用于方阵

9.2.1 运算法则

方阵 M 的逆，记作 $M^{-1}$ ，也是一个矩阵，当 M 与 $M^{-1}$ 相乘时，结果是单位矩阵

$M(M^{-1})=M^{-1}M=I$

并非所有矩阵都有逆，若一个矩阵有逆，那么称它为可逆的或非奇异的，否则就称它为不可逆的或奇异的

奇异矩阵的行列式为零，非奇异的行列式不为零，所以检测行列式的值是判断矩阵是否可逆的有效方法

M 的“标准伴随矩阵”记作“adj M”，定义为 M 的代数余子式矩阵的转置矩阵。下面一个例子

M 的标准伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置

有了它就能计算矩阵的逆

矩阵的逆的重要性质：

9.2.2 几何解释

矩阵的逆在几何上非常有用，它使得我们可以计算变换的“反向”变换——能“撤销”原变换的变换

9.3 正交矩阵

9.3.1 运算法则

若方阵 M 是正交的，则当且仅当 M 与它转置 $M^T$ 的乘积等于单位矩阵 $I$

$M 正交\Leftrightarrow MM^T = I$

又因为 $MM^{-1}=I$ ，所以若矩阵是正交的，那么它的转置等于它的逆

$M 正交\Leftrightarrow M^T = M^{-1}$

旋转和镜像矩阵是正交的，想求它们的逆矩阵的话，直接使用它们的转置矩阵即可

9.3.2 几何解释

正交矩阵对我们非常有用，但我们怎样去检测矩阵是否正交呢？为了做到这一点，我们从正交矩阵的定义开始

得出 9 个等式，若 M 是正交的，它们必须全部成立

解释：

第一，当且仅当一个向量是单位向量时，它与它自身的点积结果是 1。因此，仅当 $r_1$ ， $r_2$ ， $r_3$ 是单位向量时，第1、4、9 式才能成立
第二，回忆 5.10.2 节，当且仅当两个向量互相垂直时，它们的点积为零。因此，仅当 $r_1$ ， $r_2$ ， $r_3$ 互相垂直时其他等式才成立

所以，若一个矩阵是正交的，它必须满足下列条件：

矩阵每一行都是单位向量
矩阵的所有行互相垂直

对矩阵的列也能得到类似的条件。这可推出结论：若 M 是正交的，则 $M^T$ 也是正交的

计算逆矩阵时，仅在预先知道矩阵是正交的情况下才能利用它的优点。否则先检查正交性花的时间，跟直接求逆是差不多的。若矩阵不是正交的，那么这种检查完全是浪费时间（不如直接就求逆）

线性代数中，若一组向量互相垂直，这组向量就被认为是正交基，它不要求向量都是单位向量。若它们都是单位向量，则称它们为标准正交基

正交矩阵的行或列向量都是指标准正交基向量
由一组正交向量构造的矩阵并不一定是正交矩阵

9.3.3 矩阵正交化

有时可能会遇到一些略微违反了正交性的矩阵，需要将它们正交化，得到尽可能跟原矩阵相同的正交矩阵

构造一组正交基向量的标准算法是施密特正交化。它的基本思想是，对每一行，从中减去它平行于已处理过的行的部分，最后得到垂直向量

结果 ${r_1}^{'}$ ， ${r_2}^{'}$ 和 ${r_3}^{'}$ 互相垂直了，它们是一组正交基。它们不一定是单位向量，构造正交矩阵需要使用标准正交基，所以必须标准化这些向量。若一开始就进行标准化，而不是在第 2 步中做，就能避免所有除法了

（改进算法略）

9.4 4x4 齐次矩阵

4D 向量和 4x4 矩阵不过是对 3D 运算的一种方便记法而已

9.4.1 4D 齐次空间

我们先看一下 2D 中的齐次坐标，它的形式是 (x, y, w)。想象 3D 中 w=1 处的标准 2D 平面，实际的 2D 点 (x, y) 用齐次坐标表示为 (x, y, 1)，对于那些不在 w=1 平面上的点，则将它们投影到 w=1 平面上。所以齐次坐标 (x, y, w) 映射的实际 2D 点为 (x/w, y/w)

下图中，齐次坐标 (2.5, 2.0, 2.5) 映射的实际点为 (1.0, 0.8)