《3D 数学基础：图形与游戏开发》七、矩阵

矩阵是 3D 数学的重要基础。它主要用来描述两个坐标系统间的关系，通过定义一种运算而将一个坐标系中的向量转换到另一个坐标系中。

7.1 矩阵——数学定义

7.1.1 矩阵的维度和记法

矩阵的维度被定义为它包含了多少行和多少列。一个 $r\times c$ 矩阵有 r 行 c 列。下面是一个 $4\times 3$ 矩阵的例子

$\begin{bmatrix} 4&0&12 \\ -5&\sqrt{4}&3 \\ 12&-4/3&1 \\ 5&2&0 \\ \end{bmatrix}$

需要引用矩阵的分量时，采用下标法

$M=\begin{bmatrix} m_\mathit{11}&m_\mathit{12}&m_\mathit{13} \\ m_\mathit{21}&m_\mathit{22}&m_\mathit{23} \\ m_\mathit{31}&m_\mathit{32}&m_\mathit{33} \\ \end{bmatrix}$

矩阵的下标从 1 开始。如 $m_\mathit{12}$ 读作 m 一二，是 1 行 2 列的元素

7.1.2 方阵

• 行列数相同的矩阵称作方阵

• 方阵的对角线元素就是行号和列号相同的元素。如上面矩阵 M 中的 $m_\mathit{11}$，$m_\mathit{22}$ 和 $m_\mathit{33}$ 。其他元素均为非对角线元素

• 若所有非对角线元素都为 0，这种矩阵为对角矩阵

  

• 单位矩阵是一种特殊的对角矩阵。$n$ 维单位矩阵记作 $I_n$，是 $n\times n$ 矩阵，对角线元素均为 1，其他元素均为 0

  $I_3=\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ \end{bmatrix}$

• 单位矩阵是矩阵的乘法单位元。任意一个矩阵乘以单位矩阵，都将得到原矩阵

7.1.3 向量作为矩阵使用

一个 n 维向量能被当作 $1\times n$ 矩阵或 $n\times 1$ 矩阵。前者称作行向量，后者称作列向量

$\begin{bmatrix} 4&0&12 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}42\\2\\1\\ \end{bmatrix}$

7.1.4 转置

矩阵 M 的转置记作 $M^T$，它的列由 M 的行组成，$M^T_{ij}=M_{ji}$，即沿着矩阵对角线翻折

对于向量来说，转置将使行向量和列向量转换成对方

7.1.5 标量和矩阵的乘法

结果是一个和 M 维数相同的矩阵，每个分量与标量相乘

7.1.6 矩阵乘法

A($r_A\times c_A$)、B($r_B\times c_B$) 两矩阵可以相乘的条件

• $c_A$ （A 的列数） 等于 $r_B$ （B 的行数）

结果是行数为 $r_A$ 列数为 $c_B$ 的矩阵

将 AB 记为 C，C 的任意元素 $C_{ij}$ 等于 A 的第 i 行向量与 B 的第 j 列向量点乘的结果

对于在几何中的应用，我们特别关注方阵的相乘——特别是 2x2 矩阵和 3x3 矩阵

注意：

• 任意矩阵 M 乘以方阵 S（满足相乘前提），无论是左乘还是右乘，都将得到与原矩阵 M 大小相同的矩阵

• 矩阵乘法不满足交换律。$AB\neq BA$

• 矩阵乘法满足结合律。$(AB)C=A(BC)$

• 矩阵乘法也满足与标量或向量的结合律

  $(kA)B=k(AB)=A(kB)$

  $(vA)B=v(AB)$

• 矩阵积的转置相当于先转置矩阵然后以相反的顺序乘。$(AB)^T=B^TA^T$

7.1.7 向量与矩阵的乘法

因向量可被当作一行或一列的矩阵，所以能与矩阵相乘

• 行向量不能右乘矩阵，列向量不能左乘矩阵
• 矩阵与向量的乘法满足对向量加法的分配律。$(v+w)M=vM+wM$

7.1.8 行向量与列向量

看看行向量左乘矩阵与列向量右乘矩阵的结果

各分量的值是完全不同的！！

本书中仅在行向量与列向量区别不那么重要时使用列向量，否则使用行向量

有多条理由支持我们使用行向量而不是列向量：

• 在文字中的形式会更好一些
• 当讨论怎样用矩阵乘法实现坐标系转换时，向量左乘矩阵的形式更方便。如用矩阵 ABC 转换向量 v，用行向量记法记作 vABC。若用列向量的话，则会记作 CBAv
• DirectX 使用的是行向量

7.2 矩阵——几何解释

7.2.1 矩阵是怎样变换向量的

有向量 v=[x, y, z] ，分别将 p，g 和 r 定义为指向 +x，+y 和 +z 方向的单位向量

$v=xp+yq+zr$

现在向量 v 就被表示成向量 p，q，r 的线性变换了。它们称作基向量，以它们为行构建一个 $3\times 3$ 矩阵 M

$M=\begin{bmatrix}p\\q\\r\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} p_x&p_y&p_z \\ q_x&q_y&q_z \\ r_x&r_y&r_z \\ \end{bmatrix}$

用一个向量乘以该矩阵

这和前面计算转换后的 v 的等式相同。我们发现关键点是：

如果把矩阵的行解释为坐标系的基向量，那么乘以该矩阵就相当于执行了一次坐标转换。若有 aM=b，我们就可以说，M将a转换到 b

从这一点看，术语“转换”和“乘法”是等价的

7.2.2 矩阵的形式

矩阵表达坐标转换，当我们观察矩阵时，其实是在观察转换，观察新的坐标系。但这个转换看起来像什么？特定的 3D 转换和矩阵之间有什么关系？

先看一下基向量乘以任意矩阵 M 时的情况

关键发现：

矩阵的每一行都能解释为转换后的基向量

这个强有力的概念有两条重要性质：

• 有了一种简单的方法来形象化解释矩阵所代表的变换
• 有了反向建立矩阵的可能

7.2.3 总结

本节主要概念：

• 方阵的行能被解释为坐标系的基向量
• 为了将向量从原坐标系变换到新坐标系，用它乘以一个矩阵
• 从原坐标系到这些基向量定义的新坐标系的变换是一种线性变换
• 零向量乘以任何矩阵仍然得到零向量
• 可以通过想象变换后的坐标系的基向量来想象矩阵