探索向量：从基本概念到运算解析在数学和物理中，向量扮演着极其重要的角色。无论是在描述空间中的位移、速度、加速度，还是在计

探索向量：从基本概念到运算解析

在数学和物理中，向量扮演着极其重要的角色。无论是在描述空间中的位移、速度、加速度，还是在计算机图形学、工程等领域，向量都无处不在。本文将带您一步步认识向量，从最基本的概念到常见的运算方法。

向量的基本概念

首先，要明确一点：

向量没有位置，只有大小和方向。

虽然理论上可以构造一个包含一切的参考系，并选择一个点作为原点，从而定义“绝对”坐标系，但在实际应用中绝对位置意义并不大。事实上,相对论的一个重要观点就是不存在绝对参考系。更重要的是，我们关心的是向量之间的相对关系，而非它们在宇宙中的绝对位置。在数学中，我们可以将任意一点用一个从原点出发的向量表示，这样便把几何问题转换为向量运算的问题。线性代数便是研究这类问题的分支，但它主要把向量看作一个数值数组，而3D数学更注重向量的几何意义。

加性单位元与负向量

任何集合都有一个加性单位元（通常记作 0 或 x），满足对集合中任一元素 y，都有

y + 0 = y

同理，对于任一元素 x，总存在一个加性逆元 -x，满足

x + (-x) = 0

对于向量来说，零向量就是唯一大小为零的向量。尽管在图中常用一个点来表示零向量，但请记住，它仅代表“无位移”，并不代表某个具体的位置。

向量的大小（模、长度）

向量的大小（或称为模、长度）并不直接包含在向量的表示中，需要通过计算得到。对于 n 维向量

\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \ v_2 \ \cdots \ v_n \end{bmatrix},

其大小计算公式为：

\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\mathbf{v}_1^2 + \mathbf{v}_2^2 + \cdots + \mathbf{v}_{n - 1}^2 + \mathbf{v}_n^2}

在线性代数中,向量的大小用向量两边加双竖线表示,这和标量的"绝对值"在标量两边加单竖线表示类似。

例如，计算 3D 向量 $\begin{bmatrix}5& - 4&7\end{bmatrix}$ 的大小：

\begin{align} \left\lVert\begin{bmatrix}5& - 4&7\end{bmatrix}\right\rVert&=\sqrt{5^{2}+(-4)^{2}+7^{2}}\\ &=\sqrt{25 + 16+49}\\ &=\sqrt{90}\\ &\approx9.4868 \end{align}

标量与向量的乘法

标量与向量可以相乘，乘积得到一个与原向量平行的新向量，其效果为缩放原向量的长度。如果标量为负数，则不仅缩放，同时使向量的方向相反。

标量与向量乘的顺序并不重要, 但经常把标量写在左边,数学表述为:

k\left[\begin{array}{c}a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n-1} \\ a_{n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n-1} \\ a_{n}\end{array}\right] k=\left[\begin{array}{c}k a_{1} \\ k a_{2} \\ \vdots \\ k a_{n-1} \\ k a_{n} \end{array}\right]

标量与向量相乘时,不需要写乘号。将两个量挨着写即表示相乘(常将标量写在左边)。
标量与向量的乘法和除法优先级高于加法和减法。例如, 3 a+b 是 ((3 a)+b) ,而不是 (3(a+b))
标量不能除以向量,并且向量不能除以另一个向量。
负向量能被认为是乘法的特殊情况,乘以标量-1。

单位向量与标准化

对于许多向量,我们只关心它的方向而不关心其大小。如:"我面向的是什么方向?",在这样的情况下,使用单位向量将非常方便。单位向量就是大小为1的向量,单位向量经常也被称作标准化向量或更简单地称为"法线"

对任意非零向量 v ,都能计算出一个和 v 方向相同的单位向量 $V_{norm }$ 。这个过程被称作向量的"标准化",要标准化向量,将向量除以它的大小(模)即可。

v_{norm}=\frac{v}{\| v\| }, v \neq 0

例如,标准化2D向量 $[12,-5]$ :

\begin{aligned} \frac{[12-5]}{\| [12-5]\| } & =\frac{[12-5]}{\sqrt{12^{2}+(-5)^{2}}} \\ & =\frac{[12-5]}{\sqrt{169}} \\ & =\frac{[12-5]}{13} \\ & =[0.923-0.385] \end{aligned}

零向量不能被标准化。数学上这是不允许的,因为将导致除零。几何上也没有意义,因为零向量没有方向。

向量加法与减法

向量加法的运算法则很简单:两个向量相加,将对应分量相加即可。

\left[\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{1} \\ \vdots \\ a_{n-1} \\ a_{n} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{1} \\ \vdots \\ b_{n-1} \\ b_{n} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} a_{1}+b_{1} \\ a_{1}+b_{2} \\ \vdots \\ a_{n-1}+b_{n-1} \\ a_{n}+b_{n} \end{array}\right]

减法解释为加负向量, $a-b=a+(-b)$

和标量加法一样,向量加法满足交换律,但向量减法不满足交换律。永远有 $a+b=b+a$ ,但 $a-b=-(b-a)$ ,仅当 $a=b$ 时, $a-b=b-a$

向量a和b相加的几何解释为:

平移向量,使向量a的头连接向量b的尾,接着从a的尾向b的头画一个向量。这就是向量加法的"三角形法则"。向量的减法与之类似

向量的点乘（内积）

术语"点乘"来自记法a·b中的点号。向量的点乘（或称内积）是通过将对应分量相乘后求和得到一个标量。

\left[\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n-1} \\ a_{n} \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n-1} \\ b_{n} \end{array}\right]=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots+a_{n-1} b_{n-1}+a_{n} b_{n}

用连加符号简写为:

a \cdot b=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}

2D、3D中向量点乘的例子如下:

\left[\begin{array}{ll}4 & 6\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ll}-3 & 7\end{array}\right]=(4)(-3)+(6)(7)=30

\left[\begin{array}{c}3 \\ -2 \\ 7\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{c}0 \\ 4 \\ -1\end{array}\right]=(3)(0)+(-2)(4)+(7)(-1)=-15

一般来说,点乘结果描述了两个向量的"相似"程度,点乘结果越大,两向量越相近。几何解释更加直观

点乘几何解释.svg

点乘等于向量大小与向量夹角的cos值的积:

a \cdot b=\| a\| \| b\| cos \theta

用点乘计算两个向量的夹角: $\theta=arccos \left(\frac{a \cdot b}{\| a\| \| b\| }\right)$ 如果a、b是单位向量,就可以避免公式中的除法运算。在这种情况下,上式中的分母是1,只剩下:

\theta=arccos(a.b) \ \ \ \ (a和b是单位向量)

向量投影

给定两个向量 v 和 n ,能将 v 分解成两个分量: $v_{\|}$ 和 $v_{\perp}$ 。它们分别平行于和垂直于n,并满足 $v=v_{\|}+v_{\perp}$ 。一般称平行分量 $v_{\|}$ 为 v 在 n 上的投影。我们使用点乘计算投影。下图展示了其几何解释。

向量投影 1.svg

下面我们先求 $v_{\|}$ ,观察到 $v_{\|}$ 平行于 n 它可以表示为 $v_{\|}=n \frac{\left\|v_{\|}\right\|}{\|n\|}$ 因此只要能够求出 $v_{\|}$ 的模,就能够计算出该投影向量的值了。幸运的是,三角分解能帮助我们求出该值:

cos \theta=\frac{\left\| v_{\|}\right\| }{\| v\| }

cos \theta\| v\| =\left\| v_{\| }\right\|

将 $\left\|v_{\|}\right\|$ 代入原等式并应用公式 $a \cdot b=\| a\| \| b\| cos \theta$ , 得到:

\begin{aligned} v_{\|} & =n \frac{\| v\| cos \theta}{\| n\| } \\ & =n \frac{\| v\| \| n\| cos \theta}{\| n\| ^{2}} \\ & =n \frac{v \cdot n}{\| n\| ^{2}} \end{aligned}

当然,如果 n 是单位向量,除法就不必要了。知道 $v_{\|}$ ,求 $v_{\perp}$ 就很容易了,如下: $v_{\perp}+v_{\| }= v$

$\begin{aligned} v_{\perp} & = v -v_{\| } \\ & = v -n \frac{v \cdot n}{\| n\| ^{2}} \end{aligned}$

向量的叉乘（外积）

另一种向量乘法称作叉乘或叉积,仅可应用于3D向量。和点乘不一样,点乘得到一个标量并满足交换律,向量叉乘得到一个向量并且不满足交换律。

和点乘一样,术语"叉乘"来自记法 $a\times b$ 中的叉号。这里要把叉乘号写出来,不能像标量乘法那样省略它。叉乘公式:

\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1}\end{array}\right] \times\left[\begin{array}{l}x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}y_{1} z_{2}-z_{1} y_{2} \\ z_{1} x_{2}-x_{1} z_{2} \\ x_{1} y_{2}-y_{1} x_{2}\end{array}\right]

示例如下:

\left[\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right] \times\left[\begin{array}{c} 2 \\ -5 \\ 8 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} (3)(8)-(4)(-5) \\ (4)(2)-(1)(8) \\ (1)(-5)-(3)(2) \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}44 \\ 0 \\ -10 \end{array}\right]

叉乘的运算优先级和点乘一样,乘法在加减法之前计算。当点乘和又乘在一起时,叉乘优先计算: $a \cdot b ×c=a \cdot(b ×c)$ 。因为点乘返回一个标量,同时标量和向量间不能叉乘,所以 $(a \cdot b) ×c$ 没有定义。运算 $a \cdot(b ×c)$ 称作三重积。

几何解释:

叉乘几何意义.svg

$a \times b$ 的长度等于向量的大小与向量夹角sin值的积,如下

\| a × b\| =\| a\| \| b\| sin \theta

叉乘的长度与向量夹角的sin值有关可以看到, $\|a ×b\|$ 也等于以 a 和 b 为两边的平行四边形的面积。已经证明了 $a ×b$ 垂直于a、b。但是垂直于a、b有两个方向。 $a ×b$ 指向哪个方向呢?通过将a的头与b的尾相接,并检查从a到b是顺时针还是逆时针,能够确定 $a ×b$ 的方向。在左手坐标系中,如果a 和b呈顺时针,那么 $a ×b$ 指向您。如果a和b呈逆时针, $a ×b$ 远离您。在右手坐标系中,恰好相反。如果a和b呈顺时针, $a ×b$ 远离您,如果a和b呈逆时针, $a ×b$ 指向您。

总结:

本文介绍了向量的基本概念及其运算：

• 向量只具有大小和方向，没有固定的位置。

• 加性单位元和负向量的概念保证了向量运算的封闭性。

• 标量乘法用于缩放向量，而标准化操作可以获得单位向量。

• 向量加法与减法的运算规则简单直观。

• 点乘（内积）不仅能计算数值，还蕴含着两向量夹角的几何信息。

• 向量投影帮助我们将一个向量分解为与另一向量平行和垂直的部分。

• 叉乘（外积）专属于 3D 向量，其结果不仅给出面积信息，还确定了垂直于原向量平面的方向。

掌握这些基本运算和概念，对于理解高维空间的几何性质、解决物理问题以及应用于工程和计算机图形学都具有重要意义。希望这篇博客能为您提供有益的参考，帮助您在向量的世界中游刃有余！