3D 数学（1）-矩阵

矩阵是什么？

• 矩阵是一种描述线性变换的工具

线性变换

• 定义：是一个从向量空间(V)到自身或另一个向量空间(W)的映射(T)
• 解释：Va 空间中的点(xa, ya)转换到 Vb 空间中， 结果是(xb, yb)，过程就叫线性变换
• 所用的转换工具——矩阵

$\begin{bmatrix}A&M&0\\B&N&0\\C&D&1\end{bmatrix}$

转换过程是：

$\begin{bmatrix}xa&ya&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&M&0\\B&N&0\\C&D&1\end{bmatrix}$ $\\=\begin{bmatrix}Axa+Bya+C&Mxa+Nya+D&1\end{bmatrix}$ $\\=\begin{bmatrix}xb&yb&1\end{bmatrix}$

为什么是矩阵

• 统一表示多种变换
  • 多种变换整合：通过矩阵运算规则，可将多个变换矩阵组合成一个复合矩阵，一次性完成多种变换（如：平移+缩放）
  • 便于操作与管理：使用矩阵表示变换，使不同类型变换在形式上统一，便于在程序中进行管理和操作
• 易于实现复合变换
  • 矩阵乘法特性：如要对图形依次进行旋转 R、缩放S 和平移 T，可先将这些变换表示为矩阵 R、S、T，通过计算复合矩阵 $M = T \times S \times R$ （注意顺序），然后用矩阵 M 作用于图形的顶点坐标，就能一步完成所有变换

向量与矩阵，矩阵与矩阵的乘法

• 不满足交换率

$S = \begin{bmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{bmatrix} T = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\2&2&1\end{bmatrix}$

$M_{ST} = \begin{bmatrix}3&0&0\\0&3&0\\2&2&1\end{bmatrix} M_{TS} = \begin{bmatrix}3&0&0\\0&3&0\\6&6&1\end{bmatrix}$

$\therefore M_{ST} \neq M_{TS}$

平移、缩放、旋转（三维空间）

平移矩阵

$T = \begin{bmatrix}1&0&0&t_x\\0&1&0&t_y\\0&0&1&t_z\\0&0&0&1\end{bmatrix}$

变换计算过程为（变换矩阵左乘向量）：

$\begin{bmatrix}1&0&0&t_x\\0&1&0&t_y\\0&0&1&t_z\\0&0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x+t_x\\y+t_y\\z+t_z\\1\end{bmatrix}$

缩放矩阵

$S = \begin{bmatrix}s_x&0&0&0\\0&s_y&0&0\\0&0&s_z&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$

变换计算过程为：

$S = \begin{bmatrix}s_x&0&0&0\\0&s_y&0&0\\0&0&s_z&0\\0&0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}s_xx\\s_yy\\s_zz\\1\end{bmatrix}$

旋转（欧拉角）矩阵

单位矩阵、逆矩阵

单位矩阵

• 是一个方阵，即行数和列数相等。对于$n$ 阶单位矩阵，记为$I_n$ ，其主对角线（从左上角到右下角的对角线）上的元素都为1，其余元素均为0。如：
  
  • 性质：
    • 乘法特性：单位矩阵在矩阵乘法中类似于实数乘法中的数字。
    • 可逆性：单位矩阵是可逆矩阵，且其逆矩阵就是它本身

逆矩阵

• 若存在矩阵$B$ ，使得$AB=BA=I$ ，则$A$ 可逆，$B$ 为$A$ 的逆矩阵

  • 作用——撤销变换：

    假设原始向量$v$ ，变换矩阵为$A$ ，经过变换后得到向量$v'$ ，关系为 $v' = Av$。若要从$v'$ 恢复到原始向量$v$，在等式两边同时左乘 $A$ 的逆矩阵$A^{-1}$ 即可：

    $A^{-1}v' = A^{-1}(Av) = (A^{-1}A)v = Iv = v$

    即：$A^{-1}v' = v$