采用动态规划解决最佳加法表达式比较容易，难点在于高精度计算，本文前部分给出了解决该问题的基本方法，转载了高精度方法。
一、题目描述
描述 给定n个1到9的数字，要求在数字之间摆放m个加号(加号两边必须有数字），使得所得到的加法表达式的值最小，并输出该值。例如，在1234中摆放1个加号，最好的摆法就是12+34,和为36
输入 有不超过15组数据 每组数据两行。第一行是整数m，表示有m个加号要放( 0<=m<=50) 第二行是若干个数字。数字总数n不超过50,且 m <= n-1 输出 对每组数据，输出最小加法表达式的值
样例输入 2 123456 1 123456 4 12345 样例输出 102 579 15
提示 要用到高精度计算，即用数组来存放long long 都装不下的大整数，并用模拟列竖式的办法进行大整数的加法。
二、问题分析
将m个加号插入到n个数中，求能得到的最小表达式结果。可以先考虑把最后一个加号插入到某个数之后，该数一定在m到n-1之间，因为剩余m-1个加号至少需要m个数来放置，所以最后一个加号的位置必然在m之后，毫无疑问最后一个加号最多放在倒数第二个数（n-1）之后。
将最后一个加号放到第k个数之后形成的表达式值由两部分组成： （1）前m-1个加号放到前k个数中形成得到的表达式值 minVal(m-1,k) （2）第k+1字符到最后一个字符组成的数值，Num（k+1，n） 没有加号时，结果只由第二部分组成
所以
最小加法表达式 minVal(m,n) = Min{ minVal(m-1,k) + Num(k+1,n) } ( k = m … n-1)
三、源代码
1.先给出我的非高精度算法，主要看思路
// 最佳加法表达式,非高精度版
//
#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main()
{
int m = 0;
int n = 0;
string numLine; //输入的数字序列
int Num[50][50];//Num[i][j]表示numLine序列第i个到第j个数字连接成的数的值
int minVal[50][50];//minVal[i][j]表示将i个加号放到j个数字中能得到的最小表达式值
while (cin >> m )
{
cin >> numLine;
n = numLine.length();
for (int i = 1; i <= n; ++i)//将第i、j间的连续字符序列转变为一个数值
{
Num[i][i] = numLine[i - 1] - '0';
for (int j = i + 1; j <= n; ++j) {
//numline的下标从0开始取，第j个字符的下标为j-1
Num[i][j] = Num[i][j - 1] * 10 + numLine[j - 1] - '0';
}
}
memset(minVal, 0x3f, sizeof(minVal));
for (int i = 1; i <= m; ++i)//i 个 加号
{
for (int j = i; j <= n; ++j)//j个数字，数字个数不能少于加号个数
//需要取j=i，不然算不对
{
minVal[0][j] = Num[1][j];//没有加号的情形
for (int k = i; k < j; ++k)//最后一个加号的位置，循环
minVal[i][j] = min(minVal[i][j], minVal[i - 1][k] + Num[k + 1][j]);
}
}
cout << minVal[m][n]<<endl;
}
return 0;
}
2.然后是高精度算法
申明 以下两种方法转自 郭怡柔，个人认为第一种思路比较顺畅，易于理解
第一种思路，定义一个高精度数的类，以及该类的+、<、<<， 同时定义从字符串转为数值的方法
#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>
using namespace std;
struct BigInt
{
int num[110];
int len;
BigInt operator+(const BigInt & n) { //重载+，使得 a + b在 a,b都是 BigInt变量的时候能成立
int ml = max(len,n.len);
int carry = 0; //进位
BigInt result;
for(int i = 0;i < ml; ++i) {
result.num[i] = num[i] + n.num[i] + carry;
if( result.num[i] >= 10) {
carry = 1;
result.num[i] -= 10;
}
else
carry = 0;
}
if ( carry == 1) {
result.len = ml + 1;
result.num[ml] = 1;
}
else
result.len = ml;
return result;
}
bool operator<(const BigInt & n) {
if( len > n.len )
return false;
else if( len < n.len)
return true;
else {
for(int i = len -1; i >= 0; -- i) {
if( num[i] < n.num[i])
return true;
else if( num[i] > n.num[i])
return false;
}
return false;
}
}
BigInt() {
len = 1;
memset(num,0,sizeof(num));
}
BigInt(const char * n,int L) { //由长度为L的char数组构造大整数。n里面的元素取值范围从 1-9。
memset(num,0,sizeof(num));
len = L;
for(int i = 0; n[i]; ++i)
num[len-i-1] = n[i] - '0';
}
};
ostream & operator <<(ostream & o,const BigInt & n)
{
for(int i = n.len - 1;i >= 0; --i)
o << n.num[i];
return o;
}
const int MAXN = 60;
char a[MAXN];
BigInt Num[MAXN][MAXN];//Num[i][j]表示从第i个数字到第j个数字所构成的整数
BigInt V[MAXN][MAXN]; //V[i][j]表示i个加号放到前j个数字中间，所能得到的最佳表达式的值。
int main()
{
int m,n;
BigInt inf; //无穷大
inf.num[MAXN-2] = 1;
inf.len = MAXN-1;
while(cin >> m ) {
cin >> a+1;
n = strlen(a+1);
for(int i = 1;i <= n; ++i)
for(int j = i;j<= n; ++j) {
Num[i][j] = BigInt(a+i,j-i+1);
}
for(int j = 1; j <= n; ++j) {
V[0][j] = BigInt(a+1,j);
}
for(int i = 1;i <= m; ++i) {
for(int j = 1; j <= n; ++j) {
if( j - 1 < i)
V[i][j] = inf;
else {
BigInt tmpMin = inf;
for(int k = i; k < j; ++k) {
BigInt tmp = V[i-1][k] + Num[k+1][j];
if (tmp < tmpMin)
tmpMin = tmp;
}
V[i][j] = tmpMin;
}
}
}
cout << V[m][n] << endl;
}
return 0;
}
第二种思路 定义两个字符串的加法与比较运算
#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>
using namespace std;
struct BigInt
{
int num[110];
int len;
BigInt operator+(const BigInt & n) { //重载+，使得 a + b在 a,b都是 BigInt变量的时候能成立
int ml = max(len,n.len);
int carry = 0; //进位
BigInt result;
for(int i = 0;i < ml; ++i) {
result.num[i] = num[i] + n.num[i] + carry;
if( result.num[i] >= 10) {
carry = 1;
result.num[i] -= 10;
}
else
carry = 0;
}
if ( carry == 1) {
result.len = ml + 1;
result.num[ml] = 1;
}
else
result.len = ml;
return result;
}
bool operator<(const BigInt & n) {
if( len > n.len )
return false;
else if( len < n.len)
return true;
else {
for(int i = len -1; i >= 0; -- i) {
if( num[i] < n.num[i])
return true;
else if( num[i] > n.num[i])
return false;
}
return false;
}
}
BigInt() {
len = 1;
memset(num,0,sizeof(num));
}
BigInt(const char * n,int L) { //由长度为L的char数组构造大整数。n里面的元素取值范围从 1-9。
memset(num,0,sizeof(num));
len = L;
for(int i = 0; n[i]; ++i)
num[len-i-1] = n[i] - '0';
}
};
ostream & operator <<(ostream & o,const BigInt & n)
{
for(int i = n.len - 1;i >= 0; --i)
o << n.num[i];
return o;
}
const int MAXN = 60;
char a[MAXN];
BigInt Num[MAXN][MAXN];//Num[i][j]表示从第i个数字到第j个数字所构成的整数
BigInt V[MAXN][MAXN]; //V[i][j]表示i个加号放到前j个数字中间，所能得到的最佳表达式的值。
int main()
{
int m,n;
BigInt inf; //无穷大
inf.num[MAXN-2] = 1;
inf.len = MAXN-1;
while(cin >> m ) {
cin >> a+1;
n = strlen(a+1);
for(int i = 1;i <= n; ++i)
for(int j = i;j<= n; ++j) {
Num[i][j] = BigInt(a+i,j-i+1);
}
for(int j = 1; j <= n; ++j) {
V[0][j] = BigInt(a+1,j);
}
for(int i = 1;i <= m; ++i) {
for(int j = 1; j <= n; ++j) {
if( j - 1 < i)
V[i][j] = inf;
else {
BigInt tmpMin = inf;
for(int k = i; k < j; ++k) {
BigInt tmp = V[i-1][k] + Num[k+1][j];
if (tmp < tmpMin)
tmpMin = tmp;
}
V[i][j] = tmpMin;
}
}
}
cout << V[m][n] << endl;
}
return 0;
}
