学习笔记
问题解析
小Q有一个长度为 n 的数组，可以进行 k 次操作。每次操作可以对数组中的任意一个数字执行以下规则： 如果选择的数字 x 是奇数，则将 x 乘以 2，即 x = x * 2。 如果选择的数字 x 是偶数，则将 x 乘以 2 再加 1，即 x = x * 2 + 1。 我们的目标是通过 k 次操作，使得数组的元素之和最小。可以在每次操作中选择数组中的任意一个数字进行操作。
思路分析
要使数组的元素之和最小，我们需要尽量减少在每次操作后增加的元素值。 可以观察到： 偶数处理：偶数经过操作后，会变成 x * 2 + 1，这个值会比原始值大很多。 奇数处理：奇数经过操作后，会变成 x * 2，这个变化相对较小。 因此，在每次操作时，我们应优先选择 最小的数字 进行操作，因为对最小的数字进行处理能够有效控制增大的幅度。我们可以使用 最小堆（Min-Heap） 来实现这个策略。最小堆能够在每次操作时快速地找出当前数组中的最小值。
解决方案步骤
初始化最小堆：将数组转化为最小堆。 执行 k 次操作：每次操作都从堆中取出最小元素，并根据其奇偶性进行修改，然后将修改后的元素重新放回堆中。 计算数组和：经过 k 次操作后，计算堆中所有元素的和。
代码实现
def solution(n: int, k: int, a: list) -> int:
# 将数组转换为最小堆
min_heap = a[:]
heapq.heapify(min_heap)
# 执行 k 次操作
for _ in range(k):
# 取出堆顶最小的元素
min_value = heapq.heappop(min_heap)
# 根据奇偶性进行操作
if min_value % 2 == 0: # 偶数
new_value = min_value * 2 + 1
else: # 奇数
new_value = min_value * 2
# 将新值重新放入堆中
heapq.heappush(min_heap, new_value)
# 计算最终的数组和
return sum(min_heap)
# 测试样例
print(solution(5, 3, [1, 2, 3, 5, 2])) # 应该返回 20
print(solution(3, 2, [7, 8, 9])) # 应该返回 40
print(solution(4, 4, [2, 3, 5, 7])) # 应该返回 33
思路细化
最小堆的应用：
堆的特性保证了每次弹出的是当前最小的元素，适合我们每次操作时都需要选取最小元素的需求。 操作逻辑：
对于每个数字：
如果是偶数，操作会将其增大，因此我们希望尽量避免对大的偶数进行操作。 如果是奇数，操作只会将其乘以 2，增大的幅度相对较小。
时间复杂度：
将数组转化为堆的时间复杂度为 O(n)。 每次执行堆操作（弹出最小元素并插入新值）的时间复杂度为 O(log^n)，总共执行 k 次操作，因此总的时间复杂度为 O(k log^n)。
学习总结
堆的应用：
本题通过堆来实现选择最小值的需求，堆是处理类似“选择最小或最大元素”问题的高效数据结构。在实际编程中，堆的应用场景非常广泛，尤其是在需要频繁获取最大/最小元素时，可以极大地提高效率。
贪心策略：
本题的核心思想是贪心的选择当前最小的元素进行操作。每次操作最小元素，可以最大限度地减少后续增加的值，符合最小化的目标。
对比其他算法：
虽然本题看似可以通过暴力穷举所有方案来实现，但这种方法的时间复杂度将非常高。通过堆的数据结构，能够有效地在较短的时间内找到最小值，从而减少了复杂度。
解题计划
深入学习堆的应用：
在接下来的学习中，加强对堆的理解，尤其是堆排序、优先队列等应用。 练习使用堆来解决其他类似问题，如合并K个有序链表、处理动态流的最大/最小值等问题。
贪心算法：
贪心算法是解决此类问题的常见策略，后续继续学习如何结合堆与贪心策略解决更复杂的问题。
时间复杂度优化：
在分析问题时，进一步关注时间复杂度的优化方法，尽量通过合理选择数据结构和算法来提高程序的效率。
