小S的子序列平均数之和题解 | 豆包MarsCode AI刷题

题目描述

小S得到了一个由 n 个元素组成的数组，她想求出所有子序列的平均数之和。由于子序列的数量非常多，因此需要对结果取模 $10^9+7$ 来避免结果过大。子序列是从原数组中选择部分元素，保持原数组的顺序形成的新数组。 你需要输出所有子序列的平均数之和对 $10^9+7$ 取模的值。

题目分析

公式推导

子序列是从原数组中选择部分元素，保持原数组顺序形成的新数组。对于一个长度为 $n$ 的数组，其子序列的数量为 $2^n$。如果直接暴力枚举每个子序列并计算其平均数之和，时间复杂度为 $O(n2^n)$，即使 $n$ 较小，这种方法也会非常耗时。因此，我们需要换一个思路，避免直接遍历所有子序列。

为了优化计算，我们可以将问题转化为统计数组中每个元素对最终结果的贡献度。具体而言，每个元素 $a_i$ 在不同长度的子序列中出现的次数不同，其贡献可以用数学公式直接累加。

对每个元素$a_i$，它可能出现在长度为$k\in\{1,2,\dots,n\}$的子序列中，由于需要求平均数，在这个序列中，$a_i$对最终结果的贡献为$\frac{1}{k}a_i$。那么，$a_i$一共可以出现在多少个长度为$k$的子序列中呢？由于已经选择了$a_i$，还需要从剩下的$n-1$个数中选$k-1$个数，共$C_{n-1}^{k-1}$种选法。

因此，$a_i$对答案的总贡献为：$a_i\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}C_{n-1}^{k-1}$

最终的答案应为：$\sum_{i=1}^na_i\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}C_{n-1}^{k-1}$

算法实现

在这道题中，为了高效计算组合数，我们需要用到数论逆元的概念。数论逆元是一种快速求解模运算下逆元的方法。对于一个整数 $a$ 和一个质数 $p$，如果存在一个整数 $b$，使得 $a \cdot b \equiv 1 \ (\text{mod} \ p)$，那么 $b$ 就被称为 $a$ 在模 $p$ 意义下的逆元，记作 $a^{-1} \mod p$。数论逆元最大的作用是，可以将分数$\frac{1}{a}$在mod p的意义下视作整数，从而将有理数的加减乘除运算全部转换到mod p的整数域中。

那么如何快速地计算数论逆元呢？一种常见的方法是利用数论中的费马小定理：如果 $p$ 是质数，则对于任何不被 $p$ 整除的整数 $a$，则有，$a^{p-1} \equiv 1 \ (\text{mod} \ p)$，将 $a$ 两边同时除以 $a$，可以得到：$a^{p-2} \equiv a^{-1} \ (\text{mod} \ p)$，如果使用快速幂，可以在$O(\log p)$的时间复杂度内求得一个数的逆元。但是，在本题中，我们需要求$1,2,\dots,n$的逆元，这会让时间复杂度变为$O(n\log p)$，有没有更快速的求法呢？

对于$k\in\{1,2,\dots,n\}$，我们设$p$除以$k$的商和余数是$a,b$，则有$p=ak+b$，对等式两边同时mod p，有$ak+b \equiv 0\ (\text{mod} \ p)$。整理可得$\frac{1}{k} \equiv -\frac{a}{b}\ (\text{mod} \ p)$，即$k^{-1} \equiv -ab^{-1}\ (\text{mod} \ p)$。因此，只要能知道$b$的逆元，就能快速地求得$k$的逆元。由于余数$b$是小于$k$的，只要依次求$k\in\{1,2,\dots,n\}$的逆元，一定能得到$b$的逆元，这样，就能在$O(n)$的时间求$1,2,\dots,n$的逆元了。

注意到，$C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$，我们提前计算三个数组frac,inv,inv_frac，分别代表$i!$,$\frac{1}{i}$,$\frac{1}{i!}$在mod p意义下对应的整数，这样，就能以$O(1)$的时间求$\frac{1}{k}C_{n-1}^{k-1}$了。

具体细节参考下面的代码：

代码

mod = 10**9+7
def solution(n: int, arr: list) -> int:
    frac = [1]*(n+1)
    for i in range(1,n+1):
        frac[i]=frac[i-1]*i % mod
    inv=[1]*(n+1)
    for i in range(2,n+1):
        inv[i]=(mod-mod//i)*inv[mod%i]%mod
    inv_frac=[1]*(n+1)
    for i in range(1,n+1):
        inv_frac[i]=inv_frac[i-1]*inv[i]%mod
    f=0
    for i in range(1,n+1):
        f+=inv[i]*frac[n-1]%mod*inv_frac[i-1]%mod*inv_frac[n-i]%mod
        f%=mod
    ans=f*sum(arr)%mod
    return ans