小E的倍数关系子集问题题解 | 豆包MarsCode AI刷题

题目描述

小E想知道一个给定集合a中，有多少个子集满足以下条件：

• 子集内的所有元素数量大于 1。
• 子集内的所有元素两两之间互为倍数关系。

由于结果可能非常大，输出的结果需要对 $10^9+7$ 取模。

题目分析

无重复元素集合

这道题涉及数论和动态规划的结合，需要关注倍数关系的传递性，并高效地计算所有满足条件的子集。为了更容易地统计数目，我们将元素数量为1的子集也统计在内，最终只需将元素数量为1的$n$个子集减去即可。

设子集的最大元素为k的，满足子集内两两互为倍数的子集个数为dp[k]。

一个子集中的所有元素两两互为倍数关系，意味着任何子集中的最大元素必须是其他元素的倍数，根据倍数关系可以将问题转化为分组问题，基于某个元素生成符合条件的子集。

具体来说，假设子集的最大元素为k，第二大的元素为d，这样的子集个数恰好与最大元素为d的子集个数相同，即dp[d]个，由此可以得到状态转移方程：

$dp[k]=1+\sum_{d|k}dp[d]$

然而如果我们直接对每个 k 遍历它的所有因子 d，并对每个因子 d 累加贡献。由于找到一个数$k$的所有因数的复杂度为$O(\sqrt{k})$，整个过程的时间复杂度为$O(\max(a)^{\frac{3}{2}})$。

为此，我们改为对于每个d，遍历它的所有倍数k，为其增加贡献$dp[d]$的个数。由于找到$d$在$\max(a)$中的所有倍数的复杂度为$O(\max(a)/d)$，这样，整个过程的复杂度就降低到了$O(\sum_{d=1}^{\max(a)}\frac{\max(a)}{d})=O(\max(a)\log \max(a))$

有重复元素集合

然而，题目没有提及的是，本题的集合a是允许元素重复的，为此我们需要在上述思路的基础上进行修改。

具体来说，我们需要引入一个计数数组 cnt[x]，表示集合中每个元素 x 的出现次数，从而对重复元素的子集贡献进行正确的统计。

对于集合中的任意一个元素 x，如果它出现了 cnt[x] 次，那么由 x 构成的所有非空子集的个数为$f[x]=2^{\text{cnt}[x]} - 1$。

这样，我们就将状态转移方程更新为：$dp[k]=f[k](1+\sum_{d|k}dp[d])$。在实际计算时，我们对于遍历d的倍数k，并为dp[k]增加，dp[d]*f[k]的贡献。

为了高效计算，我们还引入快速幂方法。快速幂是一种计算大幂次模运算的高效算法，其核心思想是通过二分法将指数分解为若干幂次的乘积，从而将计算复杂度从 $O(n)$ 降低到 $O(\log n)$。

代码实现

mod=10**9+7
def quick_pow(a,n):
    res=1
    while n>0:
        if n&1:
            res=(res*a)%mod
        a=(a*a)%mod
        n>>=1
    return res
def solution(n: int, a: list) -> int:
    max_num=max(a)
    cnt={}
    for item in a:
        cnt[item]=cnt.get(item,0)+1
    f={}
    for k in cnt:
        f[k]=(quick_pow(2,cnt[k])+mod-1)%mod
    
    ans={k:f[k] for k in cnt}
    
    for k in sorted(cnt):
        j=2*k
        while j<=max_num:
            if j in cnt:
                ans[j]=(ans[j]+ans[k]*f[j])%mod
            j+=k
    
    ans_sum=0
    for k in ans:
        ans_sum+=ans[k]
    return ans_sum-n