卡牌翻面求和问题题解 | 豆包MarsCode AI刷题小M有 $n$ 张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字，正面

一、问题描述

小M有 $n$ 张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字，正面是 $a_i$ ，背面是 $b_i$ 。小M希望通过选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。你需要告诉小M，一共有多少种不同的方案可以满足这个条件。由于可能的方案数量过大，结果需要对 $10^9+7$ 取模。

这是一道动态规划和模运算相结合的典型问题，考察了对状态转移的设计能力和对约束条件的处理技巧。

二、解题思路

1. 关键分析

模3的性质：对于一个数字 $x$ ，它对3取模的结果只有三种可能： $0$ 、 $1$ 、 $2$ 。我们希望最终选择的数字总和模3等于0。
动态规划：
- 状态定义： $dp[j]$ 表示当前卡牌选择后，模3等于 $j$ 的方案数。
- 状态转移：当处理第 $i$ 张卡牌时，我们有两种选择：选择正面或反面。两种选择分别更新对应模值下的方案数。
初始状态：如果没有卡牌，只有一种方案，即总和为0（模3等于0），因此 $dp[0] = 1$ ，其余状态为0。

2. 动态规划转移方程

设第 $i$ 张卡牌的正反面分别为 $a_i$ 和 $b_i$ ，它们对3的余数分别为 $r_a = a_i \% 3$ 和 $r_b = b_i \% 3$ 。更新 $dp$ 数组时：

$new\_dp[(j + r_a) \% 3] += dp[j]$

$new\_dp[(j + r_b) \% 3] += dp[j]$

我们用一个新数组来记录当前卡牌的选择对状态的更新，避免直接修改 $dp$ 影响后续计算。

三、滚动数组优化

在原始方法中， $dp[i][j]$ 记录前 $i$ 张卡牌的状态，每次计算第 $i+1$ 张卡牌时需要使用前一层的所有状态。然而，观察状态转移方程发现，更新仅依赖于前一状态。我们可以通过 滚动数组 优化，将二维数组 $dp[i][j]$ 压缩为一维数组 $dp[j]$ 。

具体做法如下：

在每次处理一张卡牌时，临时记录新的状态 $new\_dp$ 。
更新完当前卡牌对应的 $new\_dp$ 后，将 $new\_dp$ 替换为 $dp$ 。
每次只需维护一个固定大小为3的数组，从而将空间复杂度优化为 $O(1)$ 。

四、代码实现

下面是用 Python 实现的滚动数组优化代码：

mod = 10**9 + 7

def solution(n: int, a: list, b: list) -> int:
    dp = [1, 0, 0]
    for r_a, r_b in zip(a, b):
        new_dp = [0] * 3
        for j in range(3):
            new_dp[(j + r_a) % 3] = (new_dp[(j + r_a) % 3] + dp[j]) % mod
            new_dp[(j + r_b) % 3] = (new_dp[(j + r_b) % 3] + dp[j]) % mod
        dp = new_dp
    return dp[0]

五、复杂度分析

1. 时间复杂度

遍历卡牌：对于每张卡牌，我们需要进行一次状态更新，总共有 $n$ 张卡牌，因此遍历卡牌的时间复杂度是 $O(n)$ 。
更新状态：每张卡牌的状态转移中，涉及三个模值的更新，即 $j = 0, 1, 2$ ，每次更新是常数时间 $O(1)$ 。因此，单张卡牌的状态更新时间复杂度为 $O(1)$ 。
总体时间复杂度：综合起来，总体时间复杂度为 $O(n \times 1) = O(n)$ 。

2. 空间复杂度

在使用滚动数组优化后，我们仅需维护一个长度为3的数组 $dp$ 来记录当前状态。每次更新时临时使用一个同样大小的 $new\_dp$ 数组，因此空间复杂度为 $O(3) = O(1)$ ，我们未引入其他复杂的数据结构，因此空间复杂度保持在 $O(1)$ 。