问题分析
题目要求我们判断是否可以通过一系列操作，使得数组中的每个元素最多只包含一种素因子。每次操作可以选取两个元素 𝑎𝑖ai 和 𝑎𝑗aj，然后选择 𝑎𝑖ai 的一个因子 𝑥x，将 𝑎𝑖ai 变为 𝑎𝑖/𝑥ai/x，并将 𝑎𝑗aj 变为 𝑎𝑗×𝑥aj×x。
关键点在于：
- 每次操作不会改变所有元素中素因子的总数。
- 如果最终每个元素最多只包含一种素因子，那么整个数组中不同素因子的数量不能超过数组长度（因为每个元素只能持有一种素因子）。
解决方案思路
- 分解素因子：首先我们需要能够将每个数分解为其素因子。这可以通过试除法来完成，即从2开始尝试除以每个可能的素数直到其平方大于该数为止。
- 统计不同的素因子：对于给定数组中的每个数，我们都需要找出它所有的素因子，并记录下来。通过集合或计数器来追踪这些素因子，确保我们可以知道总共有多少种不同的素因子。
- 判断可行性：如果不同素因子的数量小于等于数组的长度，则说明有可能通过适当的操作使得每个元素最多只含有一种素因子。否则，不可能达到目标状态。
代码详解
Python
深色版本
from collections import Counter
from math import sqrt
# 辅助函数，用于获取一个整数的所有素因子
def prime_factors(n):
i = 2
factors = []
# 用i去除n，直到i*i大于n
while i * i <= n:
if n % i: # 如果i不是n的因子
i += 1
else:
n //= i # 将n除以i
factors.append(i) # 记录下这个因子
if n > 1: # 如果最后n还大于1，说明n本身也是一个素数
factors.append(n)
return factors
def solution(n: int, a: list) -> str:
all_factors = [] # 用于存储数组中所有数的素因子
for num in a:
all_factors.extend(prime_factors(num)) # 对数组中的每个数进行素因子分解
factor_count = len(Counter(all_factors)) # 统计不同素因子的数量
# 判断不同素因子数量与数组长度的关系
if factor_count <= n: # 如果不同素因子数量不超过数组长度
return "Yes"
else:
return "No"
# 测试样例
if __name__ == '__main__':
print(solution(4, [1, 2, 3, 4]) == "Yes") # 应输出True
print(solution(2, [10, 12]) == "No") # 应输出True
print(solution(3, [6, 9, 15]) == "Yes") # 应输出True
代码解释
prime_factors函数实现了对单个整数的素因子分解。- 在
solution函数里，我们首先初始化一个空列表all_factors来存放数组中所有元素的素因子。 - 遍历数组
a中的每个元素，调用prime_factors并将结果添加到all_factors中。 - 使用
Counter统计all_factors中不同素因子的数量。 - 根据不同素因子数量与数组长度的关系决定返回 "Yes" 或 "No"。
这种方法有效利用了数学性质，通过简单而直接的方式解决了问题。
