最大矩形面积问题

题目分析与解法思路

一、题目分析

给定一个数组 h，要求我们对于任意长度为 k （1 ≤ k ≤ N）的一组相邻元素，计算该组元素所能形成的最大矩形面积。对于长度为 k 的相邻子数组，我们定义其矩形最大面积为：

R(k)=k×min⁡(h[i],h[i+1],…,h[i+k−1])R(k)=k×min(h[i],h[i+1],…,h[i+k−1])

其中 h[i] 表示数组中的元素，min(h[i], h[i+1], ..., h[i+k-1]) 表示这 k 个相邻元素中的最小值。我们的目标是计算出对于每个 k，最大化 R(k)，并返回其最大值。

二、问题分析

1. 最大矩形面积的计算方式： 对于任意长度 k 的相邻子数组，最大矩形面积的计算公式是：

   R(k)=k×min⁡(h[i],h[i+1],…,h[i+k−1])R(k)=k×min(h[i],h[i+1],…,h[i+k−1])

   这个公式表达的是，在这 k 个相邻元素中，我们以最小值作为矩形的高度，k 作为矩形的宽度，计算该矩形的面积。

2. 暴力解法： 对于每个 k（从 1 到 N），我们可以遍历数组中所有长度为 k 的子数组，找到每个子数组的最小值并计算矩形面积。这样，我们可以得到一个包含所有 k 的最大矩形面积的集合。

   但暴力解法的时间复杂度较高，尤其是在 N 较大的情况下，每次计算一个子数组的最小值需要 O(k) 时间，所以总体时间复杂度是 O(N^2)，这对于大数据规模来说会显得非常慢。

三、单调队列与滑动窗口优化

滑动窗口 是一种常用的技巧，特别适合用于处理需要连续子数组（或子区间）问题的场景。在本题中，我们需要对于每个 k 计算连续的 k 个元素中的最小值，而滑动窗口技术可以帮助我们高效地实现这一点。

单调队列 是一种特殊的队列，它可以在 O(1) 的时间内得到当前窗口中的最小值或最大值。对于本题，我们可以使用单调队列来维护当前窗口中的最小值，队列中的元素按从小到大的顺序排列，这样队首元素就是当前窗口的最小值。

操作步骤：

• 当我们滑动窗口时，队列会自动保持队首是当前窗口的最小值。
• 每次窗口滑动时，我们移除队列头部不在当前窗口中的元素，并把新的元素加入队列，同时保持队列中的元素单调性。

通过使用单调队列，我们可以在 O(1) 的时间内得到当前窗口的最小值，从而使得每次窗口滑动的计算时间复杂度降到 O(1)。 from collections import deque

def solution(n, array): max_area = 0 # 记录最大矩形面积

# 枚举每个 k (1 <= k <= N)
for k in range(1, n + 1):
    deq = deque()  # 双端队列用于维护当前窗口的最小值索引
    # 初始填充前 k 个元素的窗口
    for i in range(k):
        # 维护队列，使得队列中的元素按从小到大的顺序排列
        while deq and array[deq[-1]] >= array[i]:
            deq.pop()
        deq.append(i)
    
    # 计算第一个窗口的最大矩形面积
    max_area = max(max_area, k * array[deq[0]])

    # 滑动窗口，计算每个位置的矩形面积
    for i in range(k, n):
        # 移除不在窗口范围内的元素
        while deq and deq[0] <= i - k:
            deq.popleft()
        
        # 插入新的元素，维护单调性
        while deq and array[deq[-1]] >= array[i]:
            deq.pop()
        deq.append(i)
        
        # 计算当前窗口的最大矩形面积
        max_area = max(max_area, k * array[deq[0]])

return max_area

测试用例

if name == "main": print(solution(5, [1, 2, 3, 4, 5])) # Expected output: 9

五、详细解读

1. 初始化：

   • max_area 用于记录计算过程中遇到的最大矩形面积。
   • deq 是一个双端队列，用于高效地计算每个窗口内的最小值。

2. 滑动窗口操作：

   • 对于每个 k（从 1 到 N），首先计算第一个长度为 k 的窗口的最小值，并更新 max_area。

   • 然后，滑动窗口，每次滑动时：

     • 删除队列头部不在当前窗口内的元素。
     • 添加新的元素，并保持队列中的元素按照从小到大的顺序排列，这样队首的元素就是当前窗口的最小值。

3. 面积计算：

   • 每次更新窗口时，计算当前窗口的矩形面积 k * array[deq[0]]，并更新 max_area。

4. 返回结果：

   • 最终返回 max_area，即所有 k 长度窗口的最大矩形面积。

七、总结

这道题考察了滑动窗口和单调队列的应用。通过双端队列，能够在 O(1) 的时间内计算每个窗口的最小值，从而避免了暴力解法中的高时间复杂度，使得问题能够更高效地解决。虽然最终的时间复杂度是 O(N^2)，但在许多实际情况下，这种优化方式相较于暴力解法仍然能提供显著的性能提升。