第四章 域论初步

域论初步

环 $F$ 为域是指 $F^*=F\setminus \{0\}$ 按乘法构成阿贝尔群

$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}=\{\bar{a}=a+pz,a\in Z\}$只有$p$个元素的域，当$\bar{a}\ne \bar{0}$时，$\bar{a}\bar{1},...,\bar{a}\overline{p-1}$两两不同

$(\bar{a} \bar{i}= \bar{a} \bar{j} \Rightarrow \overline{ai} =\overline{aj} \Rightarrow p|a(i-j) \Rightarrow p \mid i-j \Rightarrow \bar{i}=\bar{j})$ 故 $\{\bar{a} \bar{i}, \cdots \bar{a} \bar{p}\}=\{\bar{1}, \cdots,\overline{p-1}\}$ 特别的有 $\bar{a} \bar{x}=\bar{1}(x \in \mathbb{Z})$ ，即 $\bar{a}$ 可逆

另一证法：$\bar{a}\ne \bar{0}$时，$p\nmid a \Rightarrow (a,p)\ne p$，从而$(a,p)=1$，有$x,y\in Z$，使得$ax+by=1$，即$\bar{a}\bar{x}=\bar{1}$

§1 域的特征及扩张次数

特征

设$F$为域。 $e$是乘法单位元， $a \in F^*$， $n a=e a + e a + \cdots=n \cdot e a$ 故 $n a=0 \Leftrightarrow n e=0$ （ $a$ 是非零元）

阶是最小的 $n \in Z^{+}$，使 $n a=0$ （看作加法群时）

若$a$ ， $2 a ， 3 a ， \cdots$ 都非零，则阶为 $\infty$ （特征为0）

所以非零元的加法阶=单位元的加法阶

例: $\operatorname{ch}(\mathbb{Q})=0=\operatorname{ch}(\mathbb{R})=\operatorname{ch}(\mathbb{C})$

如果 $\ch(F)=p$ ，为正整数则 $p>1$ 且 $p$ 定为素数

令$p=cd,0=pe=cde=(ce)\cdot(de)\Rightarrow ce=0 \ or\ de=0$，矛盾

例：设$p$为素数，$F=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$，则$\ch(F)=p\ (\bar{1}+\cdots+\bar{1}=\bar{p}=\bar{0}$且$\bar{i}\ne \bar{0},i< p)$

设$\ch(F)=p$为素数，构造映射$\sigma:m \longmapsto me$，则映射$\sigma$是环$\mathbb{Z}$到域$F$的环同态

$\ker\sigma=\{m\in \mathbb{Z}:me=0\}$(可得$p\mid m$)，根据同态基本定理，$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\cong \operatorname{Im} \sigma=\{me:m\in \mathbb{Z}\}$，因为$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$是一个域，所以$F_1=\{me:m\in \mathbb{Z}\}$也是域，且是$F$的子域，并且$F_1=\{re:r=0,\cdots,p-1\}$是$F$的最小子域

所以特征为$p$的域$F$的最小子域是和$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$同构的

$Exercise\ 1:$设$F$是$q$元域，其中$q=p^n$($p$是素数)，则$\ch(F)=p$

$Exercise\ 2:$设$p$为素数，$F$为$p$元域，则$F\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$(即同构意义上，$p$元域只有一个)

定理1：设$F$是特征为素数$p$的域，则$a_1,\cdots,a_m\in F$时，$(a_1+\cdots a_m)^{p^n}=a_1^{p^n}+\cdots+a_m^{p^n}$

证：先证$a,b\in F$时，$(a+b)^p=a^p+b^p$

$\because (a+b)^p=a^p+b^p+\sum_{k=1}^{p-1}C_p^ka^kb^{p-k}$

当$1\leqslant k\leqslant p-1$时，$p\mid k!C_p^k=p(p-1)\cdots(p-k+1)$

因为$p\nmid k!$，所以$p\mid C_p^k$，所以$\sum_{k=1}^{p-1}C_p^ka^kb^{p-k}$每一项都是0

$(a+b)^{p^2}=((a+b)^p)^p=(a^p+b^p)^p=a^{p^2}+b^{p^2}$

以此类推，可得$(a+b)^{p^n}=a^{p^n}+b^{p^n}$

下面对$m$进行归纳，因为$a_1+\cdots+a_m=(a_1+\cdots+a_{m-1})+a_m$，所以成立

如果域$F$只有有限个元素，则称$F$为有限域，有$q$个元素，则为$q$元域

定理2：设$F$为$q$元域，则$x^q-x=\Pi_{a\in F}(x-a)$

证：$0^q=0$，

当$a\in F^*$时，$a^q-a=a(a^{q-1}-1)=0$(因为在$n$阶循环群中，$a^n=e$，这里 $F^*$是$q-1$阶循环群)

任意一个域的乘法群的有限子群G一定是循环群。

设$f(x)=x^q-x-\Pi_{a\in F}(x-a)$，则$\forall a\in F,f(a)=0$，则$f(x)$在域$F$至少有$q$个根，又$\deg f<q$，所以$f(x)=0$

扩张

假设$K$是$L$的子域，称$L$是$K$的扩张，记$L/K$表示$L$是$K$的扩域

向量空间

$V$是域$F$上的向量空间，满足$\\$ (1)$V$按加法构成交换群$\\$ (2)有数乘运算，$x\in V,a\in F\Rightarrow ax\in V$

若$L$是$K$的扩域，则称$L$是$K$上的线性空间

$a\in K,\alpha\in L$时，定义数乘$a\circ\alpha=a\alpha\in L$($L$中乘法)

线性空间的维数称作扩张次数，记$[L:K]$，如果$[L:K]=n$，则说$L$是$K$的$n$次扩域；$[L:K]<\infty$称有限扩张

$Exercise:$设$K$是$M$的子域，$M$是$L$的子域，证明:$[L:K]=[L:M][M:K]$

定理3： 设$F$是$q$元有限域，则$q$必为素数幂次

证：若$\ch (F)=0$，则$e,\cdots ,ne,\cdots$两两不同，这与$|F|=q$矛盾，所以$\ch(F)=p$

$E=\{me,m\in Z\}$是$F$的$p$元子域，$F$是$E$上的向量空间，$\\$设$[F:E]=n$，$\alpha_1,\cdots,\alpha_n\in F$是$F$的一组基底

所以$F=\{\sum_{i=1}^{n}a_i\alpha_i:a_i\in E\}=\{<a_1,\cdots,a_n>:a_i\in E\}$

因此$|F|=|E|^n=p^n$