Lecture 0$Proof$:我们已经证明了$\mathbb{Z}_n$在加法$+_n$下为交换群，若想说明$\ma

$Homework\ 1.$ Prove the rest part of the statement of Definition/Lemma 0.1.5.

$Proof$ :我们已经证明了 $\mathbb{Z}_n$ 在加法 $+_n$ 下为交换群，若想说明 $\mathbb{Z}_n$ 构成交换环，还需验证结合律和乘法分配律

结合律：对于任意的 $a, b, c \in Z_n$ ，有 $a \cdot{ }_n\left(b \cdot{ }_n c\right)=\left(a \cdot{ }_n b\right) \cdot{ }_n c$ 。

分配律：对于任意的 $a, b, c \in Z_n$ ，有 $a \cdot{ }_n\left(b+{ }_n c\right)=a \cdot{ }_n b+{ }_n a \cdot{ }_n c_。$

$\begin{aligned} (1)a \cdot{ }_n\left(b \cdot_n c\right) & =\rho_n\left(a \cdot \rho_n(b \cdot c)\right) =\rho_n\left(\rho_n(a) \cdot \rho_n(b \cdot c)\right)(Lemma\ 0.1.4\ a)) \\ & =\rho_n(a \cdot(b \cdot c))(Lemma\ 0.1.4\ e)) \\ & =\rho_n((a \cdot b) \cdot c)(Z上的结合律) \\ & =\left(a \cdot{ }_n b\right) \cdot{ }_n c\end{aligned}$

所以 $\mathbb{Z}_n$ 满足结合律

$\begin{aligned} (2)a \cdot_n\left(b+{ }_n c\right) & =a \cdot{ }_n \rho_n(b+c) =\rho _n(a) \cdot{ }_n \rho_n(b+c) \\ & =\rho_n(a \cdot(b+c)) \\ & =\rho_n(a \cdot b+a \cdot c) \\ & =\rho_n(a \cdot b)+{ }_n \rho_n(a \cdot c) (Lemma\ 0.1.4\ d)) \\ & =a \cdot_n b+_n a \cdot{ }_n c \end{aligned}$

所以 $\mathbb{Z}_n$ 满足分配律，因此 $\mathbb{Z}_n$ 是个交换环

$Homework\ 2.$ Compute the inverse of every nonzero element in $\mathbb{F}_{13}.$

$Answer$ :因为 $\mathbb{F}_{13}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$ . 我们逐一计算每个元素的逆：

$\because 1\times 1\equiv 1(\mod13)$ ， $\therefore 1$ 的逆就是 $1$

$\because 2\times 7\equiv 1(\mod13)$ ， $\therefore 2$ 的逆就是 $7$

$\because 3\times 9\equiv 1(\mod13)$ ， $\therefore 3$ 的逆就是 $9$

$\because 4\times 10\equiv 1(\mod13)$ ， $\therefore 4$ 的逆就是 $10$

$\because 5\times 8\equiv 1(\mod13)$ ， $\therefore 5$ 的逆就是 $8$

$\because 6\times 11\equiv 1(\mod13)$ ， $\therefore 6$ 的逆就是 $11$

$\because 12\times 12\equiv 1(\mod13)$ ， $\therefore 12$ 的逆就是 $12$

综上， $\mathbb{F}_{13}$ 中每个非零元素的逆分别为： $1$ 的逆是 $1 ， 2$ 的逆是 $7 ， 3$ 的逆是 $9 ， 4$ 的逆是 $10 ， 5$ 的逆是 $8 ，6$ 的逆是 $11 ， 7$ 的逆是 $2 ， 8$ 的逆是 $5 ， 9$ 的逆是 $3 ， 10$ 的逆是 $4 ， 11$ 的逆是 $6 ， 12$ 的逆是 $12$ 。

$Homework\ 3.$ Prove that $\mathbb{K}[X]_n$ under $+_g$ is an abelian group.

$Proof:$ 要证明 $\mathbb{K}[X]_n$ 在 $+_g$ 下构成交换群，需要验证以下四个条件：

封闭性：对于任意的 $a, b \in \mathbb{K}[X]_n$ $, a+_gb=\rho_g(a+b)$ 。因为 $a+b \in \mathbb{K}[X]_n$ ，经过 $\rho_g$ 作用后仍在中，所以满足封闭性。
结合律：对于任意的 $a, b, c \in \mathbb{K}[X]_n$

\begin{aligned} \left(a+{ }_g b\right)+{ }_g c & =\rho_g\left(\left(a+{ }_g b\right)+c\right) \\ & =\rho_g\left(\rho_g(a+b)+c\right) \\ & =\rho_g(a+b+c) \end{aligned}

\begin{aligned} a+_g\left(b+{ }_g c\right) & =\rho_g\left(a+\left(b+{ }_g c\right)\right) \\ & =\rho_g\left(a+\rho_g(b+c)\right) \\ & =\rho_g(a+b+c) \end{aligned}

所以 $\left(a+{ }_g b\right)+{ }_g c=a+{ }_g\left(b+{ }_g c\right)$ ，满足结合律。

单位元：存在元素 $0 \in \mathbb{K}[X]_n$ ，使得对于任意的 $a \in \mathbb{K}[X]_n, a+{ }_g 0=\rho_g(a+0)=\rho_g(a)=a ， 0$ 就是单位元。
逆元：对于任意的 $a \in \mathbb{K}[X]_n$ ，存在 $-a \in \mathbb{K}[X]_n$ ，使得 $a+{ }_g(-a)=\rho_g(a+(-a))=\rho_g(0)=0$ ，所以每个元素都有逆元。
交换律：对于任意的 $a,b \in \mathbb{K}[X]_n$ ，都有 $a+_gb=\rho_g(a+b)=\rho_g(b+a)=b+_ga$

综上， $\mathbb{K}[X]_n$ 在 $+g$ 运算下是一个阿贝尔群。

$Homework\ 4.$ Compute the multiplication table of $\$ $\mathbb{F}_2/(X^2+X)$

$Answer:$ 在 $\mathbb{F}_2[X]$ 中，所有次数为 2 的多项式有: $X^2 ， X^2+1 ， X^2+X ， X^2+X+1$ 。

对于 $\mathbb{F}_2[X] /\left(X^2+X\right)$ ，元素为 $0,1, X, X+1$ ，运算规则为模 $X^2+X$ 的加法和乘法。

设 $F_2[X] /\left(X^2+X\right)=\{0,1, X, X+1\}$

$\times$	1	$X$	$X+1$
0	0	0	0
1	1	$X$	$X+1$
$X$	$X$	$X^2$	$X^2+X$
$X+1$	$X+1$	$X^2+X$	$X^2+1$

因为 $X^2+X=0$ (在 $\mathbb{F}_2[X] /\left(X^2+X\right)$ 中)，所以 $X^2=-X=X ， X^2+X=0 ， X^2+1=X+1$

则乘法表为:

$\times$	1	$X$	$X+1$
0	0	0	0
1	1	$X$	$X+1$
$X$	$X$	$X$	$X+1$
$X+1$	$X+1$	$X+1$	$1$