10.2 商模和模同态

翻斗花园爷爷
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商模与模同态

本节包含商模和模同态的基本理论。

定义

设 RR 是一个环，MM 和 NN 是 RR -模。

(1) 如果一个映射 φ:M→N\varphi : M \rightarrow N 保持 MM 和 NN 的 RR -模块结构，即，

(a) φ(x+y)=φ(x)+φ(y)\varphi \left( {x + y}\right) = \varphi \left( x\right) + \varphi \left( y\right) ，对于所有 x,y∈Mx,y \in M 和

(b) φ(rx)=rφ(x)\varphi \left( {rx}\right) = {r\varphi }\left( x\right) ，对于所有 r∈R,x∈Mr \in R,x \in M 。

(2) 一个 RR -模同态如果既是单射又是满射，那么它就是同构（RR -模的同构）。若存在某个 RR -模同构 φ:M→N\varphi : M \rightarrow N ，则称模 MM 和 NN 是同构的，记作 M≅NM \cong N 。

(3) 如果 φ:M→N\varphi : M \rightarrow N 是一个 RR -模同态，设 ker⁡φ={m∈M∣φ(m)=\ker \varphi = \{ m \in M \mid \varphi \left( m\right) = 0 }（φ\varphi 的核）以及 φ(M)={n∈N∣n=φ(m)\varphi \left( M\right) = \{ n \in N \mid n = \varphi \left( m\right) 对于某个 m∈M}m \in M\}（如通常所说，φ\varphi 的像）。

(4) 设 MM 和 NN 是 RR -模，并定义 Hom⁡R(M,N){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {M,N}\right) 为所有从 MM 到 NN 的 RR -模同态的集合。

任何 RR -模同态也是加法群的同态，但 not every group homomorphism need be a module homomorphism (because condition not \frac{\text{not every group homomorphism need be a module homomorphism (because condition}}{\text{ not }} (b) 可能有不成立）。当“同构”这个词无修饰地应用于 RR -模时，总是指   R\;R -模同构。当符号 ≅\cong 无修饰地使用时，它将表示相应结构的同构（这将从上下文中显而易见）。

使用子模准则（命题1）来证明 RR -模同态的核和像是子模是一个简单的练习。

示例

(1) 如果 RR 是一个环，并且 M=RM = R 是其上的一个模，那么 RR -模同态（甚至是 RR 到其自身的同态）不一定是环同态，环同态也不一定是 RR -模同态。例如，当 R=ZR = \mathbb{Z} 时，Z\mathbb{Z} -模同态 x↦2xx \mapsto {2x} 不是一个环同态（1 不映射到 1）。当 R=F[x]R = F\left\lbrack x\right\rbrack 时，环同态 φ:f(x)↦f(x2)\varphi : f\left( x\right) \mapsto f\left( {x}^{2}\right) 不是一个 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack -模同态（如果是的话，我们会有 x2=φ(x)=φ(x⋅1)=xφ(1)=x{x}^{2} = \varphi \left( x\right) = \varphi \left( {x \cdot 1}\right) = {x\varphi }\left( 1\right) = x ）

(2) 设 RR 是一个环，n∈Z+n \in {\mathbb{Z}}^{ + } 并且 M=RnM = {R}^{n} 。容易验证，对于每个 i∈{1,…,n}i \in \{ 1,\ldots ,n\} 投影映射

πi:Rn→R by πi(x1,…,xn)=xi{\pi }_{i} : {R}^{n} \rightarrow R\text{ by }{\pi }_{i}\left( {{x}_{1},\ldots ,{x}_{n}}\right) = {x}_{i}

是一个满射的 RR -模同态，其核等于 nn - 元组中在位置 ii 上为零的子模

(3) 如果 RR 是一个域，RR -模同态被称为线性变换。这些将在第 11 章中详细研究

(4) 对于环 R=ZR = \mathbb{Z} ，环元素（整数）对任何 Z\mathbb{Z} -模的作用仅限于在模的（加法）阿贝尔群结构内部进行加法和减法，因此在这种情况下，同态条件 (b) 由条件 (a) 隐含。例如，φ(2x)=φ(x+x)=φ(x)+φ(x)=2φ(x)\varphi \left( {2x}\right) = \varphi \left( {x + x}\right) = \varphi \left( x\right) + \varphi \left( x\right) = {2\varphi }\left( x\right) 等。因此

Z\mathbb{Z} -模同态与阿贝尔群同态相同

(5) 设 RR 是一个环，II 是 RR 的双边理想，假设 MM 和 NN 是被 II 湮灭的 RR -模（即，对于所有 a∈I,n∈Na \in I,n \in N 和 m∈Mm \in M，有 am=0{am} = 0 和 an=0{an} = 0）。那么，从 NN 到 MM 的任何 RR -模同态自动成为 (R/I)\left( {R/I}\right) -模的同态（参见第1节的例5）。特别地，如果 AA 是一个加法阿贝尔群，且对于某个素数 p,px=0p,{px} = 0，对于所有 x∈Ax \in A，那么从 AA 到其自身的任何群同态都是一个 Z/pZ\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} -模同态，即，是一个定义在域 Fp{\mathbb{F}}_{p} 上的线性变换。特别地，AA 的所有（群）自同构的群是 AA 到其自身的可逆线性变换的群：GL(A){GL}\left( A\right)。

命题2

设 M,NM,N 和 LL 是 RR -模。

(1) 一个映射 φ:M→N\varphi : M \rightarrow N 是 RR -模同态当且仅当对于所有 x,y∈Mx,y \in M 和所有 r∈R.r \in R.，有 φ(rx+y)=rφ(x)+φ(y)\varphi \left( {{rx} + y}\right) = {r\varphi }\left( x\right) + \varphi \left( y\right)。

(2) Let⁡φ,ψ\operatorname{Let}\varphi ,\psi 是 Hom⁡R(M,N){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {M,N}\right) 的元素。定义 φ+ψ\varphi + \psi 如下：

(φ+ψ)(m)=φ(m)+ψ(m)   for all m∈M.\left( {\varphi + \psi }\right) \left( m\right) = \varphi \left( m\right) + \psi \left( m\right) \;\text{ for all }m \in M.

然后 φ+ψ∈Hom⁡R(M,N)\varphi + \psi \in {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {M,N}\right) 和这个操作 Hom⁡R(M,N){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {M,N}\right) 使 RR 成为一个阿贝尔群。如果 RR 是一个交换环，那么对于 r∈Rr \in R，定义 rφ{r\varphi } 如下：

(rφ)(m)=r(φ(m))   for all m∈M.\left( {r\varphi }\right) \left( m\right) = r\left( {\varphi \left( m\right) }\right) \;\text{ for all }m \in M.

然后 rφ∈Hom⁡R(M,N){r\varphi } \in {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {M,N}\right) 和这个交换环 RR 的作用使阿贝尔群 Hom⁡R(M,N){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {M,N}\right) 成为一个 RR -模。

(3) 如果 φ∈Hom⁡R(L,M)\varphi \in {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {L,M}\right) 和 ψ∈Hom⁡R(M,N)\psi \in {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {M,N}\right) ，那么 ψ∘φ∈Hom⁡R(L,N)\psi \circ \varphi \in {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {L,N}\right) 。

(4) 如上所述，加法保持不变，乘法定义为函数复合，Hom⁡R(M,M){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {M,M}\right) 是带有单位元的环。当 RR 是交换的时候，Hom⁡R(M,M){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {M,M}\right) 是一个 RR -代数。

证明：(1) 当然，如果 φ\varphi 是一个 RR -模同态。反之，如果 φ(rx+y)=rφ(x)+φ(y)\varphi \left( {{rx} + y}\right) = {r\varphi }\left( x\right) + \varphi \left( y\right) ，取 r=1r = 1 可以看出 φ\varphi 是加性的，取 y=0y = 0 可以看出 φ\varphi 与 RR 在 MM 上的作用可交换（即，是齐次的）。

(2) 通过这些定义，可以验证所有的阿贝尔群和 RR -模公理都成立 - 具体细节留作练习。我们注意到 RR 的交换性被用来证明 rφ{r\varphi } 满足 RR -模同态的第二条公理，即，

(r1φ)(r2m)=r1φ(r2m)   (by definition of r1φ ) \left( {{r}_{1}\varphi }\right) \left( {{r}_{2}m}\right) = {r}_{1}\varphi \left( {{r}_{2}m}\right) \;\text{ (by definition of }{r}_{1}\varphi \text{ ) }
=r1r2(φ(m))   (since φ is a homomorphism) = {r}_{1}{r}_{2}\left( {\varphi \left( m\right) }\right) \;\text{ (since }\varphi \text{ is a homomorphism) }
=r2r1φ(m)   (since R is commutative) = {r}_{2}{r}_{1}\varphi \left( m\right) \;\text{ (since }R\text{ is commutative) }
=r2(r1φ)(m)   (by definition of r1φ ). = {r}_{2}\left( {{r}_{1}\varphi }\right) \left( m\right) \;\text{ (by definition of }{r}_{1}\varphi \text{ ). }

公理的验证最终依赖于假设 NN 是一个 RR -模。域 MM 实际上可以是任何集合 - 它不必是一个 RR -模或阿贝尔群。

(3) 设 φ\varphi 和 ψ\psi 如给定的，并且 r∈R,x,y∈Lr \in R,x,y \in L 。那么

(ψ∘φ)(rx+y)=ψ(φ(rx+y))\left( {\psi \circ \varphi }\right) \left( {{rx} + y}\right) = \psi \left( {\varphi \left( {{rx} + y}\right) }\right)
=ψ(rφ(x)+φ(y))= \psi \left( {{r\varphi }\left( x\right) + \varphi \left( y\right) }\right)

（应用 (1) 到 φ\varphi ）

=rψ(φ(x))+ψ(φ(y))= {r\psi }\left( {\varphi \left( x\right) }\right) + \psi \left( {\varphi \left( y\right) }\right)

（应用 (1) 到 ψ\psi ）

=r(ψ∘φ)(x)+(ψ∘φ)(y)= r\left( {\psi \circ \varphi }\right) \left( x\right) + \left( {\psi \circ \varphi }\right) \left( y\right)

因此，根据 (1)，ψ∘φ\psi \circ \varphi 是一个 RR -模同态。

(4) 注意，由于 Hom⁡R(M,M){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {M,M}\right) 的元素的定义域和值域相同，因此函数复合是定义好的。根据 (3)，它是 Hom⁡R(M,M){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {M,M}\right) 上的二元运算。像往常一样，函数复合是结合的。其余的环公理直接验证 - 细节留作练习。恒等函数 II（像往常一样，I(x)=xI\left( x\right) = x 对于所有 x∈Mx \in M）被看作是 Hom⁡R(M,M){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {M,M}\right) 的乘法单位元。如果 RR 是交换的，那么 (2) 显示环 Hom⁡R(M,M){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {M,M}\right) 是一个左 RR -模，并且为所有 φ∈Hom⁡R(M,M)\varphi \in {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {M,M}\right) 和 r∈Rr \in R 定义 φr=rφ{\varphi r} = {r\varphi } 使得 Hom⁡R(M,M){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {M,M}\right) 成为一个 RR -代数。

定义

环 Hom⁡R(M,M){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {M,M}\right) 被称为 MM 的自同态环，通常表示为 EndR(M){\mathrm{{End}}}_{R}\left( M\right)，或者当环 RR 在上下文中明确时，仅表示为 End(M)\mathrm{{End}}\left( M\right)。End⁡(M)\operatorname{End}\left( M\right) 的元素被称为自同态。

当 RR 是交换的时，存在一个从 RR 到 End⁡(M)\operatorname{End}\left( M\right) 的自然映射，由 r↦rIr \mapsto {rI} 给出，其中后者的 MM 的自同构仅仅是 MM 上的 rr 的乘法（参见练习7）。RR 的像包含在 End⁡(M)\operatorname{End}\left( M\right) 的中心中，因此如果 RR 有单位元，End(M) 是一个 RR -代数。从 RR 到 End⁡R(M){\operatorname{End}}_{R}\left( M\right) 的环同态（参见练习7）可能不是单射的，因为对于某些 rr ，我们可能有 rm=0{rm} = 0 对于所有 m∈Mm \in M（例如，R=Z,M=Z/2ZR = \mathbb{Z},M = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} ，和 r=2r = 2）。然而，当 RR 是一个域时，这个映射是单射的（一般来说，没有单位元在这个映射的核中），并且 End⁡R(M){\operatorname{End}}_{R}\left( M\right) 中的 RR 的副本被称为（子环的）标量变换。

接下来我们证明，每个 NN 模的子模块 RR 在以下意义上是“正规”的：我们总能构成商模块 M/NM/N ，且自然投射 π:M→M/N\pi : M \rightarrow M/N 是一个 RR 模同态，其核为 NN 。这一事实的证明，以及更一般地，模块同构定理的后续证明，可以很容易地从群的相应事实推出。之所以如此，是因为模块首先是一个阿贝尔群，因此每个子模块都是自动成为正规子群，任何模块同态特别是阿贝尔群的同态，我们已经在第3章考虑过这些。为了将阿贝尔群的结果扩展到模块的相应结果，还需要证明 RR 的作用与这些群商和同态是兼容的。例如，上述映射 π\pi 在第3章中被证明是一个群同态，但是必须证明阿贝尔群 M/NM/N 是一个 RR 模（即，具有 RR 的作用），并且对于 π\pi ，必须验证模块同态定义中的性质（b）。

命题3

设 RR 是一个环，MM 是一个 RR 模，NN 是 MM 的一个子模块。通过定义 RR 的元素的作用，可以将（加法，阿贝尔）商群 M/NM/N 构造成一个 RR 模。

r(x+N)=(rx)+N,   for all r∈R,x+N∈M/N.r\left( {x + N}\right) = \left( {rx}\right) + N,\;\text{ for all }r \in R,x + N \in M/N.

由 π(x)=x+N\pi \left( x\right) = x + N 定义的 自然投射映射 π:M→M/N\pi : M \rightarrow M/N 是一个 RR 模同态，其核为 NN 。

证明：由于 MM 在加法下是一个阿贝尔群，商群 M/NM/N 是定义良好的，且是一个阿贝尔群。为了看出环元素 rr 对陪集 x+Nx + N 的作用是良定义的，假设 x+N=y+Nx + N = y + N ，即 x−y∈Nx - y \in N 。由于 NN 是一个（左）RR -子模，r(x−y)∈Nr\left( {x - y}\right) \in N 。因此 rx−ry∈N{rx} - {ry} \in N 且 rx+N=ry+N{rx} + N = {ry} + N ，如所期望。现在由于 M/NM/N 中的运算与 MM 中的运算“兼容”，RR -模的公理可以像对商群所做的那样容易地验证。例如，公理2(b)成立如下：对于所有 r1,r2∈R{r}_{1},{r}_{2} \in R 和 x+N∈M/Nx + N \in M/N ，根据环元素对 M/NM/N 中元素作用的定义

(r1r2)(x+N)=(r1r2x)+N\left( {{r}_{1}{r}_{2}}\right) \left( {x + N}\right) = \left( {{r}_{1}{r}_{2}x}\right) + N
=r1(r2x+N)= {r}_{1}\left( {{r}_{2}x + N}\right)
=r1(r2(x+N)).= {r}_{1}\left( {{r}_{2}\left( {x + N}\right) }\right) \text{.}

其他公理也可以类似地验证——具体细节留作练习。最后，上述的自然投影映射 π\pi ，特别是阿贝尔群 MM 到阿贝尔群 M/NM/N 的自然投影，因此是一个以 NN 为核的群同态。任何模同态的核与其作为阿贝尔群结构同态时的核相同。只剩下需要证明 π\pi 是一个模同态，即 π(rm)=rπ(m)\pi \left( {rm}\right) = {r\pi }\left( m\right) 。但是

π(rm)=rm+N\pi \left( {rm}\right) = {rm} + N

=r(m+N)  = r\left( {m + N}\right) \;（根据 RR 对 M/NM/N 作用的定义）

=rπ(m).= {r\pi }\left( m\right) \text{.}

这完成了证明。

对于群给出的所有同构定理也适用于 RR -模。证明过程与上述命题3类似，都是先调用群的相应定理，然后证明群同态也是 RR -模同态。为了陈述第二同构定理，我们需要以下内容。

定义

设 A,BA,B 是 RR -模 MM 的子模。 AA 和 BB 的和是集合

A+B={a+b∣a∈A,b∈B}.A + B = \{ a + b \mid a \in A,b \in B\} .

可以轻易验证两个子模 AA 和 BB 的和是一个子模，并且是包含 AA 和 BB 的最小子模。

定理4.（同构定理）

(1)（模的第一同构定理）设 M,NM,N 是 RR -模，φ:M→N\varphi : M \rightarrow N 是一个 RR -模同态。那么 ker⁡φ\ker \varphi 是 MM 的子模且 M/ker⁡φ≅φ(M)M/\ker \varphi \cong \varphi \left( M\right) 。

(2)（模的第二同构定理）设 A,BA,B 是 RR -模 MM 的子模。那么 (A+B)/B≅A/(A∩B)\left( {A + B}\right) /B \cong A/\left( {A \cap B}\right) 。

(3)（模的第三同构定理）设 MM 是一个 RR -模，AA 和 BB 是 MM 的子模且 A⊆BA \subseteq B 。那么 (M/A)/(B/A)≅M/B\left( {M/A}\right) /\left( {B/A}\right) \cong M/B 。

(4) （第四或格同构定理）设 NN 是 RR -模 MM 的子模。存在 MM 中包含 NN 的子模与 M/NM/N 的子模之间的一一对应。这种对应关系由 A↔A/NA \leftrightarrow A/N 给出，对于所有 A⊇NA \supseteq N 。这种对应关系与取和与交集的过程相交换（即，是 M/NM/N 的子模格与包含 NN 的 MM 的子模格之间的格同构）。

证明：练习。

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