10.5 正合序列 —— 投射模、内射模和平坦模

翻斗花园爷爷
105 阅读3分钟

正合序列 —— 投射模、内射模和平坦模

研究代数对象 BB（例如，群、环或模块）结构的基本结果之一是第一同构定理，该定理将 BB 的子对象（分别是正规子群、理想或子模块）与 BB 的可能同态像联系起来。我们已经看到了许多应用这个定理的例子，通过理解其“较小”的组成部分来理解 BB 的结构——例如通过确定二面体群 D8{D}_{8} 的中心以及由中心得到的商来分析其结构。

在这些示例中的大多数，我们首先从一个给定的 BB 开始，然后通过构建同态 φ\varphi（通常隐含地由 ker⁡φ⊆B\ker \varphi \subseteq B 的指定给出）并检查 ker⁡φ\ker \varphi 以及由此产生的商 B/ker⁡φB/\ker \varphi ，来确定它的一些基本性质。我们现在更详细地考虑相反的情况，即我们是否可以先指定“较小的组成部分”。更准确地说，我们考虑是否，给定两个模 AA 和 CC ，存在一个包含（AA 的同构副本）的模 BB ，使得由此产生的商模 B/AB/A 与 CC 同构——在这种情况下，BB 被称为由 AA 扩展 CC 。然后自然地会问，对于给定的 AA 和 CC ，存在多少个这样的 BB ，以及 BB 的性质在多大程度上由 AA 和 CC 的相应性质决定。当然，在群和环的背景下也存在类似的问题。这是扩展问题，首先在3.4节中讨论了群的情况；在本节中，我们将主要关注环 RR 上的左模，必要时注意一些其他结构（特别是非交换群）所需的修改。与上一节一样，本节中所有环都包含一个单位元。

我们首先介绍一个非常方便的记号。说 AA 同构于 BB 的一个子模，就是说存在一个单射同态 ψ:A→B\psi : A \rightarrow B （因此 A≅ψ(A)⊆BA \cong \psi \left( A\right) \subseteq B ）。说 CC 同构于由此得到的商模，就是说存在一个满射同态 φ:B→C\varphi : B \rightarrow C ，且 ker⁡φ=ψ(A)\ker \varphi = \psi \left( A\right) 。特别是这给我们一对同态：

A→ψB→φCA\overset{\psi }{ \rightarrow }B\overset{\varphi }{ \rightarrow }C

其像为 ψ=ker⁡φ\psi = \ker \varphi 。具有这种性质的一对同态被赋予了一个名称：

定义

（1）如果像 α=ker⁡β\alpha = \ker \beta ，那么说这对同态 X→αY→βZX\overset{\alpha }{ \rightarrow }Y\overset{\beta }{ \rightarrow }Z 是在 YY 处精确的。

（2）如果序列 ⋯→Xn−1→Xn→Xn+1→⋯\cdots \rightarrow {X}_{n - 1} \rightarrow {X}_{n} \rightarrow {X}_{n + 1} \rightarrow \cdots 的同态在每对同态之间的 Xn{X}_{n} 处都是精确的，那么说这个序列是一个精确序列。

使用这个术语，上面的一对同态 A→ψB→φCA\overset{\psi }{ \rightarrow }B\overset{\varphi }{ \rightarrow }C 在 BB 处是精确的。我们还可以使用这个术语来表达这样一个事实：对于这些映射 ψ\psi 是单射且 φ\varphi 是满射：

命题 22

设 A,BA,B 和 CC 是某个环 RR 上的 RR -模。那么

（1）序列 0→A→ψB0 \rightarrow A\overset{\psi }{ \rightarrow }B 在 AA 处是精确的当且仅当 ψ\psi 是单射。

（2）序列 B→φC→0B\overset{\varphi }{ \rightarrow }C \rightarrow 0 在 CC 处是精确的当且仅当 φ\varphi 是满射。

证明：唯一确定的同态 0→A0 \rightarrow A 在 A\mathbf{A} 中的像为0。当且仅当 ψ\psi 是单射时，这将是 ψ\psi 的核。类似地，唯一确定的零同态 C→0C \rightarrow 0 的核是 CC 的所有元素，当且仅当 φ\varphi 是满射时，这是 φ\varphi 的像。

推论 23

序列 0→A→ψB→φC→00 \rightarrow A\overset{\psi }{ \rightarrow }B\overset{\varphi }{ \rightarrow }C \rightarrow 0 是精确的当且仅当 ψ\psi 是单射，φ\varphi 是满射，且像 ψ=ker⁡φ\psi = \ker \varphi，即 BB 是由 CC 通过 AA 的扩张。

定义

称精确序列 0→A→ψB→φC→00 \rightarrow A\overset{\psi }{ \rightarrow }B\overset{\varphi }{ \rightarrow }C \rightarrow 0 为短精确序列。

在这个记号下，扩张问题可以简洁地表述如下：给定模 AA 和 CC，确定所有短精确序列。

0→A→ψB→φC→0(10.9)0 \rightarrow A\overset{\psi }{ \rightarrow }B\overset{\varphi }{ \rightarrow }C \rightarrow 0 \tag{10.9}

我们将在下面看到，精确序列的记号对于分析 AA 和 CC 的性质如何确定 BB 的相应性质极为方便。如果 A,BA,B 和 CC 是乘法群，序列（9）将写作

1→A→ψB→φC→1(10.9’)1 \rightarrow A\overset{\psi }{ \rightarrow }B\overset{\varphi }{ \rightarrow }C \rightarrow 1 \tag{10.9'}

其中 1 表示平凡群。命题 22 和推论 23 在明显的记号变化下都是有效的。

注意，任何精确序列都可以写成一系列短精确序列，因为说 X→αY→βZX\overset{\alpha }{ \rightarrow }Y\overset{\beta }{ \rightarrow }Z 在 YY 处是精确的，等价于说序列 0→α(X)→Y→Y/ker⁡β→00 \rightarrow \alpha \left( X\right) \rightarrow Y \rightarrow Y/\ker \beta \rightarrow 0 是一个短精确序列。

示例

（1）给定模 AA 和 CC，我们总是可以形成它们的直和 B=A⊕CB = A \oplus C 和序列

0→A→ιA⊕C→πC→00 \rightarrow A\overset{\iota }{ \rightarrow }A \oplus C\overset{\pi }{ \rightarrow }C \rightarrow 0

其中 ι(a)=(a,0)\iota \left( a\right) = \left( {a,0}\right) 和 π(a,c)=c\pi \left( {a,c}\right) = c 是一个短正合序列。特别地，这意味着总是至少存在一个 CC 由 AA 的扩张。

（2）作为前一个例子的特例，考虑两个 Z\mathbb{Z} -模 A=ZA = \mathbb{Z} 和 C=Z/nZC = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} ：

0→Z→ιZ⊕(Z/nZ)→φZ/nZ→00 \rightarrow \mathbb{Z}\overset{\iota }{ \rightarrow }\mathbb{Z} \oplus \left( {\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}\right) \overset{\varphi }{ \rightarrow }\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \rightarrow 0

给出了 Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} 由 Z\mathbb{Z} 的一个扩张。

Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} 由 Z\mathbb{Z} 的另一个扩张由以下短正合序列给出

0→Z→nZ→πZ/nZ→00 \rightarrow \mathbb{Z}\overset{n}{ \rightarrow }\mathbb{Z}\overset{\pi }{ \rightarrow }\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \rightarrow 0

其中 nn 表示乘以 nn 的映射 x↦nxx \mapsto {nx}，而 π\pi 表示自然投影。注意，前两个正合序列中间的模并不同构，尽管相应的 " AA " 和 " CC " 项是同构的。因此，存在（至少）两种“本质上不同”或“不等价”的 Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} 由 Z\mathbb{Z} 扩张的方式。

（3）如果 φ:B→C\varphi : B \rightarrow C 是任意的同态，我们可以形成一个正合序列：

0→ker⁡φ→ιB→φ image φ→00 \rightarrow \ker \varphi \overset{\iota }{ \rightarrow }B\overset{\varphi }{ \rightarrow }\text{ image }\varphi \rightarrow 0

其中 ι\iota 是包含映射。特别地，如果 φ\varphi 是满射，序列 φ:B→C\varphi : B \rightarrow C 可以扩展为一个包含 A=ker⁡φA = \ker \varphi 的短正合序列。

（4）前一个例子的一个特别重要的实例是当 MM 是一个 RR -模且 SS 是 MM 的一组生成元时。设 F(S)F\left( S\right) 是由 SS 生成的自由 RR -模。那么

0→K→ιF(S)→φM→00 \rightarrow K\overset{\iota }{ \rightarrow }F\left( S\right) \overset{\varphi }{ \rightarrow }M \rightarrow 0

是一个短正合序列，其中 φ\varphi 是唯一的一个在 SS 上是恒等映射的 RR -模同态（参见定理6）和 K=ker⁡φK = \ker \varphi 。

更一般地，当 MM 是任何群（可能是非交换的）时，上述短正合序列（如果 MM 以乘法形式书写，两端为1）描述了 MM 的一个表示，其中 KK 是由定义 MM 的关系生成的 F(S)F\left( S\right) 的正规子群（参见第6.3节）。

（5）有两种“不等价”的扩张 GG ，将克莱因四元群通过阶为二的循环群 Z2{Z}_{2} 进行扩张。

1→Z2→ιD8→φZ2×Z2→1,and1 \rightarrow {Z}_{2}\overset{\iota }{ \rightarrow }{D}_{8}\overset{\varphi }{ \rightarrow }{Z}_{2} \times {Z}_{2} \rightarrow 1\text{,and}
1→Z2→ιQ8→φZ2×Z2→11 \rightarrow {Z}_{2}\overset{\iota }{ \rightarrow }{Q}_{8}\overset{\varphi }{ \rightarrow }{Z}_{2} \times {Z}_{2} \rightarrow 1

在每种情况下 ι\iota 都将 Z2{Z}_{2} 单射到 GG 的中心（记住 D8{D}_{8} 和 Q8{Q}_{8} 的中心都是二阶的），而 φ\varphi 是 GG 到 G/Z(G)G/Z\left( G\right) 的自然投影。

另外两种不等价的扩张 GG 是当 GG 是阿贝尔群 Z2×Z2×Z2{Z}_{2} \times {Z}_{2} \times {Z}_{2} 或 Z2×Z4{Z}_{2} \times {Z}_{4} 时的克莱因四元群通过 Z2{Z}_{2} 的扩张，具体取决于适当的映射 ι\iota 和 φ\varphi 。

上面的例子2和5表明，对于固定的 AA 和 CC ，一般来说可能存在多个 CC 通过 AA 的扩张。为了区分不同的扩张，我们定义了两个精确序列之间的同态（和同构）的概念。首先回想一下，如果一个包含各种同态的图被称为可交换的，那么如果任何具有相同起点和终点的同态的组合都是相等的，即由在图中的同态路径定义的复合映射仅取决于起点和终点，而不是路径的选择。

定义

设 0→A→B→C→00 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0 和 0→A′→B′→C′→00 \rightarrow {A}^{\prime } \rightarrow {B}^{\prime } \rightarrow {C}^{\prime } \rightarrow 0 是两个模的短正合序列。

(1) 短正合序列的同态是一个由模块同态组成的三元组 α,β,γ\alpha ,\beta ,\gamma，使得以下图表可交换：

如果 α,  β,  γ\alpha ,\;\beta ,\;\gamma 都是同构，那么同态是短正合序列的同构，此时扩展 BB 和 B′{B}^{\prime } 被称为同构扩展。

(2) 如果 A=A′,C=C′A = {A}^{\prime },C = {C}^{\prime }，并且它们之间如(1)中所述存在同构，且该同构在 AA 和 CC 上是恒等映射（即，α\alpha 和 γ\gamma 是恒等映射），那么这两个正合序列被称为等价。在这种情况下，相应的扩展 BB 和 B′{B}^{\prime } 被称为等价扩展。

如果 BB 和 B′{B}^{\prime } 是同构的扩张，那么特别是 BB 和 B′{B}^{\prime } 作为 RR -模是同构的，但还有更多的性质：在 BB 和 B′{B}^{\prime } 之间存在一个 RR -模同构，它限制在 AA 到 A′{A}^{\prime } 上的同构，并且在商 CC 和 C′{C}^{\prime } 上诱导出同构。对于一个给定的 AA 和 CC，两个扩张 BB 和 B′{B}^{\prime } 通过 AA 对 CC 的等价条件更为严格：必须存在一个 RR -模同构在 BB 和 B′{B}^{\prime } 之间，它限制在 AA 上是恒等映射，并且在 CC 上诱导出恒等映射。同构扩张的概念衡量了 CC 通过 AA 的不同扩张的数量，允许 CC 和 AA 通过同构进行改变。等价扩张的概念衡量了当 AA 和 CC 被严格固定时，CC 通过 AA 的不同扩张的数量。

在乘法群 (9′)\left( {9}^{\prime }\right) 的短正合序列之间的同态和同构定义是类似的。

很容易验证短正合序列的同态的复合也是一个同态。同样，如果三元组 α,β,γ\alpha ,\beta ,\gamma 是一个同构（或等价），那么 α−1,β−1,γ−1{\alpha }^{-1},{\beta }^{-1},{\gamma }^{-1} 在相反方向上是一个同构（或相应的等价）。因此，“同构”（或等价）是任何短正合序列集合上的等价关系。

示例

(1) 设 mm 和 nn 为大于1的整数。假设 nn 能整除 mm 并令 k=m/nk = m/n 。定义一个从 Z\mathbb{Z} -模的精确序列到前一个示例集中的示例2的映射：

其中 α\alpha 和 β\beta 是自然投影，γ\gamma 是恒等映射，ι\iota 将 a  mod⁡  ka{\;\operatorname{mod}\;k} 映射到 na mod m,{na}\ \mathrm{{mod}}\ m,并且π′\pi'是Z/mZ\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}到其商的自然投影。(Z/mZ)/(nZ/mZ)\left( {\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}}\right) /\left( {n\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}}\right)（它与 Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} 同构）。容易验证这是一个短精确序列的同态。

(2) 如果再次设 0→Z→nZ→πZ/nZ→00 \rightarrow \mathbb{Z}\overset{n}{ \rightarrow }\mathbb{Z}\overset{\pi }{ \rightarrow }\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \rightarrow 0 是之前定义的 Z\mathbb{Z} -模的短精确序列，将每个模映射到自身，通过 x↦−xx \mapsto - x 。这三个同态给出了该精确序列与自身的同构。这个同构不是序列的等价，因为它在第一个 Z\mathbb{Z} 上不是恒等映射。

(3) 遵循推论23后的示例1和示例2中的短精确序列不是同构的——扩张模不是同构的 ℤ-模（阿贝尔群）。同样，尽管同一组中的示例5中的两个序列的端项 " AA " 和 " CC " 相同，但这两个扩张 D8{D}_{8} 和 Q8{Q}_{8} 也不是同构的（因此也不等价）。

(4) 考虑映射

其中 ψ\psi 单射到直和的第一个分量，φ\varphi 将直和投影到其第二个分量上。同时 ψ′{\psi }^{\prime } 将 Z/2Z\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 嵌入直和的第二个分量，φ′{\varphi }^{\prime } 将直和投影到其第一个分量上。如果 β\beta 通过交换两个因子将直和 Z/2Z⊕Z/2Z\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 映射到自身，那么这个图可看出是可交换的，从而给出两个精确序列之间的等价性，但并非单位同构。

(5) 我们展示两个同构但不等价 Z\mathbb{Z} -模扩张。对于 i=1,2i = 1,2 定义

0→Z/2Z→ψZ/4Z⊕Z/2Z→φiZ/2Z⊕Z/2Z→00 \rightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\overset{\psi }{ \rightarrow }\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\overset{{\varphi }_{i}}{ \rightarrow }\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \rightarrow 0

其中在两个序列中的 ψ:1↦(2,0)\psi : 1 \mapsto \left( {2,0}\right) 由 φ1(a  mod⁡  4,b  mod⁡  2)={\varphi }_{1}\left( {a{\;\operatorname{mod}\;4},b{\;\operatorname{mod}\;2}}\right) = (a  mod⁡  2,b  mod⁡  2)\left( {a{\;\operatorname{mod}\;2},b{\;\operatorname{mod}\;2}}\right) 和 φ2(a  mod⁡  4,b  mod⁡  2)=(b  mod⁡  2,a  mod⁡  2){\varphi }_{2}\left( {a{\;\operatorname{mod}\;4},b{\;\operatorname{mod}\;2}}\right) = \left( {b{\;\operatorname{mod}\;2},a{\;\operatorname{mod}\;2}}\right) 定义。容易看出，得到的两个序列都是短精确序列。

这两个精确序列之间的一个明显同构由三个映射 id,id, γ\gamma 组成，其中 γ:Z/2Z⊕Z/2Z→Z/2Z⊕Z/2Z\gamma : \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 是交换两个直分量的映射 γ((c,d))=(d,c)\gamma \left( \left( {c,d}\right) \right) = \left( {d,c}\right)。

我们现在验证这两个同构序列不等价，如下。由于 φ1(0,1)=(0,1){\varphi }_{1}\left( {0,1}\right) = \left( {0,1}\right) ，任何从第一个序列到第二个序列的等价，id, β\beta ,id，都必须将 (0,1)∈Z/4Z⊕Z/2Z\left( {0,1}\right) \in \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 映射到 Z/4Z⊕Z/2Z,\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, 中的 (1,0) 或 (3,0)，因为这两个元素是唯一可能通过 φ2{\varphi }_{2} 映射到 (0,1) 的元素。然而，这是不可能的，因为同构 β\beta 不能将一个阶为2的元素发送到一个阶为4的元素。

换句话说，涉及相同扩展模块 BB 的等价是 BB 的自同构，它们在 ψ(A)\psi \left( A\right) 和 B/ψ(A)B/\psi \left( A\right) 上限制为恒等映射。任何 B=Z/4Z⊕Z/2ZB = \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 的自同构都必须固定陪集 (0,1)+ψ(A)\left( {0,1}\right) + \psi \left( A\right)，因为这是唯一包含阶为2的元素的异于单位元的陪集。因此，将这个陪集映射到 CC 中不同元素的映射给出了不等价的扩展。特别是，还存在涉及相同模块 A=Z/2ZA = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 、B=Z/4Z⊕Z/2ZB = \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 和 C=Z/2Z⊕Z/2ZC = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 的第三种不等价扩展，它将陪集 (0,1)+ψ(A)\left( {0,1}\right) + \psi \left( A\right) 映射到元素 (1,1)∈Z/2Z⊕Z/2Z.\left( {1,1}\right) \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.。

通过类似的推理，存在三种不等价但同构的群扩展，将 Z2×Z2{Z}_{2} \times {Z}_{2} 通过 Z2{Z}_{2} 扩展为 B≅D8B \cong {D}_{8}（参见练习）。

短精确序列同态中的同态 α,β,γ\alpha ,\beta ,\gamma 不是独立的。下一个结果给出了这三个同态之间的一些关系。

命题24.（短五引理）

设 α,β,γ\alpha ,\beta ,\gamma 是短精确序列的同态。

(1) 如果 α\alpha 和 γ\gamma 是单射，那么 β\beta 也是单射。

(2) 如果 α\alpha 和 γ\gamma 是满射，那么 β\beta 也是满射。

(3) 如果 α\alpha 和 γ\gamma 是同构，那么 β\beta 也是同构（此时两个序列是同构的）。

注意：这些结果也适用于（可能是非阿贝尔的）群的短精确序列（正如证明所展示的）。

证明：我们将证明 (1)，将 (2) 的证明留作练习（并且 (3) 直接从 (1) 和 (2) 推出）。假设 α\alpha 和 γ\gamma 是单射，并且假设 b∈Bb \in B 且 β(b)=0\beta \left( b\right) = 0 。令 ψ:A→B\psi : A \rightarrow B 和 φ:B→C\varphi : B \rightarrow C 表示第一个短正合序列中的同态。由于 β(b)=0\beta \left( b\right) = 0 ，特别是 β(b)\beta \left( b\right) 在商 C′{C}^{\prime } 中的像也是 0。由于图的可交换性，这意味着 γ(φ(b))=0\gamma \left( {\varphi \left( b\right) }\right) = 0 ，并且由于假设 γ\gamma 是单射，我们得到 φ(b)=0\varphi \left( b\right) = 0 ，即 bb 在 φ\varphi 的核中。由于第一个序列的正合性，这意味着 bb 在 ψ\psi 的像中，即存在某个 a∈Aa \in A 使得 b=ψ(a)b = \psi \left( a\right) 。然后，再次由于图的可交换性，α(a)\alpha \left( a\right) 在 B′{B}^{\prime } 中的像与 β(ψ(a))=β(b)=0\beta \left( {\psi \left( a\right) }\right) = \beta \left( b\right) = 0 相同。但是，根据假设，α\alpha 和从 A′{A}^{\prime } 到 B′{B}^{\prime } 的映射是单射，因此 a=0a = 0 。最后，b=ψ(a)=ψ(0)=0b = \psi \left( a\right) = \psi \left( 0\right) = 0 ，我们看到 β\beta 确实是单射。

我们已经看到，总是至少存在一个模块 CC 通过 AA 的扩展，即直接和 B=A⊕CB = A \oplus C 。在这种情况下，模块 BB 包含一个同构于 CC 的子模块（即 C′=0⊕C{C}^{\prime } = 0 \oplus C ）以及子模块 AA ，这个子模块对 AA 的补集将 BB “分裂”成直接和。在群的情况下，存在一个子群补 C′{C}^{\prime } 对于 BB 中的正规子群意味着 BB 是一个半直积（参见第5章的第5节）。模块上下文中 BB 是直接和的事实反映了在这种情况下基础群结构是阿贝尔群；对于阿贝尔群，半直积是直积。在任一情况下，相应的短正合序列都说成是“分裂”的：

定义

（1）设 RR 是一个环，0→A→ψB→φC→00 \rightarrow A\overset{\psi }{ \rightarrow }B\overset{\varphi }{ \rightarrow }C \rightarrow 0 是 RR -模块的短正合序列。如果存在一个 RR -模块对 ψ(A)\psi \left( A\right) 在 BB 中的补集，则称该序列是分裂的。在这种情况下，同构地，B=A⊕CB = A \oplus C（更准确地说，B=ψ(A)⊕C′B = \psi \left( A\right) \oplus {C}^{\prime } 对于某个子模块 C′{C}^{\prime } ，并且 C′{C}^{\prime } 通过 φ:φ(C′)≅C)\varphi : \varphi \left( {C}^{\prime }\right) \cong C) 同构映射到 CC ）。

(2) 如果 1→A→ψB→φC→11 \rightarrow A\overset{\psi }{ \rightarrow }B\overset{\varphi }{ \rightarrow }C \rightarrow 1 是一个群的短正合序列，那么当存在一个子群 ψ(A)\psi \left( A\right) 在 BB 中的补时，该序列被称为分裂的。在这种情况下，同构意义下，B=A⋊CB = A \rtimes C （更准确地说，对于某个子群 C′{C}^{\prime } ，并且 C′{C}^{\prime } 通过 φ:φ(C′)≅C)\varphi : \varphi \left( {C}^{\prime }\right) \cong C) 同构映射到 CC ）。BB 的扩张被称为由 CC 通过 AA 分裂扩张。

一个扩张是否分裂的问题，就是 ψ(A)\psi \left( A\right) 在 BB 中是否存在一个补，这个补同构（通过 φ\varphi ）于 CC ，因此分裂扩张的概念可以等价地用同态的语言来表述：

命题 25

如果存在一个 RR -模同态 μ:C→B\mu : C \rightarrow B 使得 φ∘μ\varphi \circ \mu 是在 CC 上的恒等映射，那么 RR -模的短正合序列 0→A→ψB→φC→00 \rightarrow A\overset{\psi }{ \rightarrow }B\overset{\varphi }{ \rightarrow }C \rightarrow 0 是分裂的。类似地，如果存在一个群同态 μ:C→B\mu : C \rightarrow B 使得 φ∘μ\varphi \circ \mu 是在 CC 上的恒等映射，那么群的短正合序列 1→A→ψB→φC→11 \rightarrow A\overset{\psi }{ \rightarrow }B\overset{\varphi }{ \rightarrow }C \rightarrow 1 是分裂的。

证明：这直接来自于定义：如果给定 μ\mu ，则定义 C′=μ(C)⊆{C}^{\prime } = \mu \left( C\right) \subseteq BB ，如果给定 C′{C}^{\prime } ，则定义 μ=φ−1:C≅C′⊆B\mu = {\varphi }^{-1} : C \cong {C}^{\prime } \subseteq B 。

定义

使用命题 25 中的记法，任何使得 φ∘μ=\varphi \circ \mu = id 的集合映射 μ:C→B\mu : C \rightarrow B 被称为 φ\varphi 的截面。如果 μ\mu 是命题 25 中的同态，那么 μ\mu 被称为该序列的分裂同态。

注意，φ\varphi 的一个截面不过是在 BB 中对商 B/ker⁡φ≅CB/\ker \varphi \cong C 选择陪集代表的一个选择。如果这个陪集代表的集合形成一个子模（分别地，子群）在 BB 中，那么这个子模（分别地，子群）为 ψ(A)\psi \left( A\right) 在 BB 中提供了一个补子集，此时这个子模（分别地，子群）是一个（分裂的）同态。

示例

(1) 分裂的短正合序列 0→A→tA⊕C→πC→00 \rightarrow A\overset{t}{ \rightarrow }A \oplus C\overset{\pi }{ \rightarrow }C \rightarrow 0 有一个明显的分裂同态 μ(c)=(0,c)\mu \left( c\right) = \left( {0,c}\right)。

(2) 由 Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} 通过 Z\mathbb{Z} 的扩张 0→Z→ιZ⊕(Z/nZ)→φZ/nZ→00 \rightarrow \mathbb{Z}\overset{\iota }{ \rightarrow }\mathbb{Z} \oplus \left( {\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}\right) \overset{\varphi }{ \rightarrow }\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \rightarrow 0 是分裂的（具有分裂同态 μ\mu 将 Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} 同构映射到直和的第二个因子）。另一方面，Z\mathbb{Z} -模的精确序列 0→Z→nZ→π0 \rightarrow \mathbb{Z}\overset{n}{ \rightarrow }\mathbb{Z}\overset{\pi }{ \rightarrow } Z/nZ→0\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \rightarrow 0 不是分裂的，因为没有将 Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} 映射到 Z.\mathbb{Z}. 的非零同态。

(3) D8{D}_{8} 和 Q8{Q}_{8} 都不是 Z2×Z2{Z}_{2} \times {Z}_{2} 通过 Z2{Z}_{2} 的分裂扩张，因为在这些群中都没有一个子群可以作为中心的补子群（第2.5节给出了这些群的子群结构）。

(4) 群 D8{D}_{8} 是 Z2{Z}_{2} 通过 Z4{Z}_{4} 的分裂扩张，即存在一个分裂的短正合序列。

1→Z4→ιD8→πZ2→11 \rightarrow {Z}_{4}\overset{\iota }{ \rightarrow }{D}_{8}\overset{\pi }{ \rightarrow }{Z}_{2} \rightarrow 1

即，

1→⟨r⟩→ιD8→π⟨sˉ⟩→1,1 \rightarrow \langle r\rangle \overset{\iota }{ \rightarrow }{D}_{8}\overset{\pi }{ \rightarrow }\langle \bar{s}\rangle \rightarrow 1,

使用我们通常的生成集合来构造 D8{D}_{8} 。在这里 ι\iota 是包含映射，π:rasb↦sˉb\pi : {r}^{a}{s}^{b} \mapsto {\bar{s}}^{b} 是到商的投影 D8/⟨r⟩≅Z2{D}_{8}/\langle r\rangle \cong {Z}_{2} 。分裂同态 μ\mu 将 ⟨sˉ⟩\langle \bar{s}\rangle 同构地映射到补集 ⟨s⟩\langle s\rangle 对于 ⟨r⟩\langle r\rangle 在 D8{D}_{8} 中。等价地，D8{D}_{8} 是正规子群 ⟨r⟩\langle r\rangle（与 Z4{Z}_{4} 同构）与 ⟨s⟩\langle s\rangle（与 Z2{Z}_{2} 同构）的半直积。

另一方面，虽然 Q8{Q}_{8} 也是 Z2{Z}_{2} 通过 Z4{Z}_{4} 的一个扩张（例如，⟨i⟩≅Z4\langle i\rangle \cong {Z}_{4} 的商与 Z2{Z}_{2} 同构），但 Q8{Q}_{8} 不是 Z2{Z}_{2} 通过 Z4{Z}_{4} 的分裂扩张：Q8{Q}_{8} 中没有阶为4的循环子群在 Q8{Q}_{8} 中有一个补集。

第5.5节包含了许多群分裂扩张的例子。

命题25表明，CC 通过 AA 的扩张 BB 是分裂扩张当且仅当存在一个分裂同态 μ\mu 对于从 BB 到商 CC 的投影映射 φ:B→C\varphi : B \rightarrow C 。下一个命题特别表明，对于模块来说，这等价于序列另一端的 ψ\psi 存在一个分裂同态。

命题 26

设 0→A→ψB→φC→00 \rightarrow A\overset{\psi }{ \rightarrow }B\overset{\varphi }{ \rightarrow }C \rightarrow 0 是一个模的短正合序列（分别地，1→A→ψB→φC→11 \rightarrow A\overset{\psi }{ \rightarrow }B\overset{\varphi }{ \rightarrow }C \rightarrow 1 是一个群的短正合序列）。那么 B=B = ψ(A)⊕C′\psi \left( A\right) \oplus {C}^{\prime } 对于某些 C′{C}^{\prime } 模的子模 BB 满足 φ(C′)≅C\varphi \left( {C}^{\prime }\right) \cong C（分别地，B=ψ(A)×C′B = \psi \left( A\right) \times {C}^{\prime } 对于某些 C′{C}^{\prime } 模的子群 BB 满足 φ(C′)≅C\varphi \left( {C}^{\prime }\right) \cong C），当且仅当存在同态 λ:B→A\lambda : B \rightarrow A 使得 λ∘ψ\lambda \circ \psi 是 AA 上的恒等映射。

证明：这类似于命题 25 的证明。如果给定 λ\lambda，定义 C′={C}^{\prime } = ker⁡λ⊆B\ker \lambda \subseteq B；如果给定 C′{C}^{\prime }，通过 λ((ψ(a),c′)=a\lambda \left( \left( {\psi \left( a\right) ,{c}^{\prime }}\right) \right. = a 定义 λ:B=ψ(A)⊕C′→A\lambda : B = \psi \left( A\right) \oplus {C}^{\prime } \rightarrow A。注意在这种情况下 C′=ker⁡λ{C}^{\prime } = \ker \lambda 在 BB 中是正规子群，因此 C′{C}^{\prime } 是 ψ(A)\psi \left( A\right) 在 BB 中的正规补，这反过来意味着 BB 是 ψ(A)\psi \left( A\right) 和 C′{C}^{\prime } 的直和（参见第 5.4 节定理 9）。

命题 26 显示，对于一般的群扩张，序列左端的分裂同态 λ\lambda 的存在性强于扩张可分裂的条件：在这种情况下扩张群是直积，而不仅仅是半直积。这两个概念在模的背景下等价的事实再次反映了基础群的阿贝尔性质，其中半直积总是直积。

模与 Hom⁡R(D,__){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,\_ \_ }\right)

设 RR 是一个带有单位元的环，并假设 RR -模 MM 是 NN 通过 LL 的扩张，具有

0→L→ψM→φN→00 \rightarrow L\overset{\psi }{ \rightarrow }M\overset{\varphi }{ \rightarrow }N \rightarrow 0

RR -模的相应短正合序列。很自然地会问，LL和NN的性质是否意味着扩张模MM也有相关性质。我们首先要考虑的情况是，从某个固定的RR -模DD到LL或NN的RR -模同态是否意味着也存在从DD到MM的RR -模同态。

给定从DD到LL的同态，求从DD到MM的同态的问题很容易解决：如果f∈HomR(D,L)f\in\mathrm{Hom}_R(D,L)是从DD到LL的一个RR -模同态，那么复合映射f′=ψ∘ff'=\psi\circ f是从DD到MM的一个RR -模同态。这些映射之间的关系可以用交换图形象地表示出来。 换句话说，与ψ\psi复合诱导出一个映射。

ψ′:Hom⁡R(D,L)→Hom⁡R(D,M){\psi }^{\prime } : {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,L}\right) \rightarrow {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,M}\right)
f↦f′=ψ∘ff \mapsto {f}^{\prime } = \psi \circ f

回想一下，根据命题 2，HomR(D,L)\mathrm{Hom}_R(D,L)和HomR(D,M)\mathrm{Hom}_R(D,M)都是阿贝尔群。

命题 27。

设DD、LL和MM是RR -模，设ψ:L→M\psi:L\rightarrow M是一个RR -模同态。那么这个映射

ψ′:Hom⁡R(D,L)→Hom⁡R(D,M){\psi }^{\prime } : {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,L}\right) \rightarrow {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,M}\right)
f↦f′=ψ∘ff \mapsto {f}^{\prime } = \psi \circ f

是阿贝尔群的同态。如果ψ\psi是单射，那么ψ′\psi'也是单射，即

if0→L→ψMis exact,\text{if}0 \rightarrow L\overset{\psi }{ \rightarrow }M\text{is exact,}
then0→Hom⁡R(D,L)→ψ′Hom⁡R(D,M)is also exact.\text{then}0 \rightarrow {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,L}\right) \overset{{\psi }^{\prime }}{ \rightarrow }{\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,M}\right) \text{is also exact.}

证明：ψ′{\psi }^{\prime } 是同态是显然的。如果 ψ\psi 是单射，那么从 DD 到 LL 的不同同态 ff 和 gg 将导致从 DD 到 MM 的不同同态 ψ∘f\psi \circ f 和 ψ∘g\psi \circ g，这就意味着 ψ′{\psi }^{\prime } 也是单射。

当从子模块 LL 的同态得到 MM 的同态是直接的时候，对于商 NN 的同态的情况则不那么明显。更准确地说，给定一个 RR -模同态 f:D→Nf : D \rightarrow N，问题是是否存在一个 RR -模同态 F:D→MF : D \rightarrow M，它能够扩展或提升 ff 到 MM，即使得以下图表成立：

如前所述，与同态 φ\varphi 的复合诱导出一个阿贝尔群的同态

φ′:Hom⁡R(D,M)→Hom⁡R(D,N){\varphi }^{\prime } : {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,M}\right) \rightarrow {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,N}\right)
F↦F′=φ∘FF \mapsto {F}^{\prime } = \varphi \circ F

在 φ′{\varphi }^{\prime } 的术语中，如果 ff 在 φ′{\varphi }^{\prime } 的像中（即，ff 是提升 FF 的像），那么同态 ff 到 NN 可以提升到 MM 的同态当且仅当 ff 是 φ′{\varphi }^{\prime } 的像。

一般而言，可能无法将同态 ff 从 DD 到 NN 提升为从 DD 到 MM 的同态。例如，考虑前一组示例中的非分裂精确序列 0→Z→2Z→πZ/2Z→00 \rightarrow \mathbb{Z}\overset{2}{ \rightarrow }\mathbb{Z}\overset{\pi }{ \rightarrow }\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \rightarrow 0。设 D=Z/2ZD = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}，并且让 ff 成为从 DD 到 NN 的恒等映射。任何从 DD 到 M=ZM = \mathbb{Z} 的同态 FF 必须将 DD 映射到 0（因为 Z\mathbb{Z} 没有阶为 2 的元素），因此 π∘F\pi \circ F 将 DD 映射到 NN 中的 0，特别是 π∘F≠f\pi \circ F \neq f。用映射 φ′{\varphi }^{\prime } 的话来说，这表明

ifM→φN→0is exact,\text{if}M\overset{\varphi }{ \rightarrow }N \rightarrow 0\text{is exact,}

那么 Hom⁡R(D,M)→φ′Hom⁡R(D,N)→0{\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,M}\right) \overset{{\varphi }^{\prime }}{ \rightarrow }{\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,N}\right) \rightarrow 0 不一定是精确的。

这些关于同态到 LL 和 NN 与同态到 MM 的结果可以被整洁地总结为以下定理的一部分。

定理 28

设 D,L,MD,L,M 和 NN 是 RR -模。如果

0→L→ψM→φN→0 is exact,0 \rightarrow L\overset{\psi }{ \rightarrow }M\overset{\varphi }{ \rightarrow }N \rightarrow 0\text{ is exact,}

那么，相关的序列

0→Hom⁡R(D,L)→ψ′Hom⁡R(D,M)→φ′Hom⁡R(D,N)is exact.(10.10)0 \rightarrow {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,L}\right) \overset{{\psi }^{\prime }}{ \rightarrow }{\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,M}\right) \overset{{\varphi }^{\prime }}{ \rightarrow }{\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,N}\right) \text{is exact.} \tag{10.10}

一个同态 f:D→Nf : D \rightarrow N 可以提升为一个同态 F:D→MF : D \rightarrow M，当且仅当 f∈Hom⁡R(D,N)f \in {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,N}\right) 在 φ′{\varphi }^{\prime } 的像中。一般而言，φ′:Hom⁡R(D,M)→Hom⁡R(D,N){\varphi }^{\prime } : {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,M}\right) \rightarrow {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,N}\right) 不一定是满射；映射 φ′{\varphi }^{\prime } 是满射当且仅当从 DD 到 NN 的每个同态都可以提升为从 DD 到 MM 的同态，在这种情况下，序列（10）可以扩展为短精确序列。

序列（10）对于所有 RR -模 DD 是精确的，当且仅当序列

0→L→ψM→φN is exact. 0 \rightarrow L\overset{\psi }{ \rightarrow }M\overset{\varphi }{ \rightarrow }N\text{ is exact. }

证明：在第一个陈述中唯一尚未证明的项目是（10）在 Hom⁡R(D,M){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,M}\right) 处的精确性，即 ker⁡φ′=\ker {\varphi }^{\prime } = 像 ψ′{\psi }^{\prime } 。假设 F:D→MF : D \rightarrow M 是 Hom⁡R(D,M){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,M}\right) 中的一个元素，位于 φ′{\varphi }^{\prime } 的核中，即具有 φ∘F=0\varphi \circ F = 0 作为从 DD 到 NN 的同态。如果 d∈Dd \in D 是 DD 中的任意元素，这意味着 φ(F(d))=0\varphi \left( {F\left( d\right) }\right) = 0 和 F(d)∈ker⁡φF\left( d\right) \in \ker \varphi 。由于定义扩展的序列的精确性，我们有 ker⁡φ=\ker \varphi = 像 ψ\psi ，因此存在某个元素 l∈Ll \in L 使得 F(d)=ψ(l)F\left( d\right) = \psi \left( l\right) 。由于 ψ\psi 是单射，元素 ll 是唯一的，因此这给出了一个由 F′(d)=l{F}^{\prime }\left( d\right) = l 给出的良定映射 F′:D→L{F}^{\prime } : D \rightarrow L 。验证 F′{F}^{\prime } 是同态是简单的，即 F′∈Hom⁡R(D,L){F}^{\prime } \in {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,L}\right) 。由于 ψ∘F′(d)=ψ(l)=F(d)\psi \circ {F}^{\prime }\left( d\right) = \psi \left( l\right) = F\left( d\right) ，我们有 F=ψ′(F′)F = {\psi }^{\prime }\left( {F}^{\prime }\right) ，这表明 FF 在 ψ′{\psi }^{\prime } 的像中，证明了 ker⁡φ′⊆image⁡ψ′\ker {\varphi }^{\prime } \subseteq \operatorname{image}{\psi }^{\prime } 。反之，如果 FF 在 ψ′{\psi }^{\prime } 的像中，那么对于某个 F′∈Hom⁡R(D,L){F}^{\prime } \in {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,L}\right) ，我们有 F=ψ′(F′)F = {\psi }^{\prime }\left( {F}^{\prime }\right) ，因此对于任何 d∈Dd \in D ，φ(F(d))=φ(ψ(F′(d)))\varphi \left( {F\left( d\right) }\right) = \varphi \left( {\psi \left( {{F}^{\prime }\left( d\right) }\right) }\right) 。由于 ker⁡φ=\ker \varphi = 像 ψ\psi ，我们有 φ∘ψ=0\varphi \circ \psi = 0 ，因此对于任何 d∈Dd \in D ，φ(F(d))=0\varphi \left( {F\left( d\right) }\right) = 0 成立，即 φ′(F)=0{\varphi }^{\prime }\left( F\right) = 0 。因此 FF 在 φ′{\varphi }^{\prime } 的核中，证明了反向包含：像 ψ′⊆ker⁡φ′{\psi }^{\prime } \subseteq \ker {\varphi }^{\prime } 。

对于定理中的最后一个陈述，首先注意 φ\varphi 的满射性对于证明 (10) 是精确的并不是必需的，因此“如果”部分已经得到了证明。对于逆命题，假设对于所有 RR -模 D，序列 (10) 都是精确的。一般来说，Hom⁡R(R,X)≅X{\operatorname{Hom}}_{R}\left( {R,X}\right) \cong X 对于任何左 RR -模 XX ，同构是通过将一个同态映射到它在元素 1∈R1 \in R 上的值来给出的（参见练习 10(b)）。在 (10) 中取 D=RD = R ，序列 0→L→ψM→φN0 \rightarrow L\overset{\psi }{ \rightarrow }M\overset{\varphi }{ \rightarrow }N 的精确性很容易得出。

由定理 28，序列

0→Hom⁡R(D,L)→ψ′Hom⁡R(D,M)→φ′Hom⁡R(D,N)→0(10.11)0 \rightarrow {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,L}\right) \overset{{\psi }^{\prime }}{ \rightarrow }{\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,M}\right) \overset{{\varphi }^{\prime }}{ \rightarrow }{\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,N}\right) \rightarrow 0 \tag{10.11}

通常不是一个短精确序列，因为同态 φ′{\varphi }^{\prime } 不一定是满射的。这个序列是否精确的问题精确地衡量了从 DD 到 MM 的同态被从 DD 到 LL 和 DD 到 NN 的同态对唯一确定的程度。更准确地说，这个序列是精确的当且仅当存在一个双射 F↔(g,f)F \leftrightarrow \left( {g,f}\right) ，它将同态 F:D→MF : D \rightarrow M 映射到同态对 g:D→Lg : D \rightarrow L 和 f:D→Nf : D \rightarrow N ，由 F∣ψ(L)=ψ′(g){\left. F\right| }_{\psi \left( L\right) } = {\psi }^{\prime }\left( g\right) 和 f=φ′(F)f = {\varphi }^{\prime }\left( F\right) 给出。

序列 (11) 精确的一种情况是原始序列 0→L→M→N→00 \rightarrow L \rightarrow M \rightarrow N \rightarrow 0 是一个分裂精确序列，即当 M=L⊕NM = L \oplus N 。在这种情况下，序列 (11) 也是一个分裂精确序列，如下命题的第一部分所示。

命题 29

设 D,LD,L 和 NN 是 RR -模。那么

(1) Hom⁡R(D,L⊕N)≅Hom⁡R(D,L)⊕Hom⁡R(D,N){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,L \oplus N}\right) \cong {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,L}\right) \oplus {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,N}\right) ，

(2) Hom⁡R(L⊕N,D)≅Hom⁡R(L,D)⊕Hom⁡R(N,D){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {L \oplus N,D}\right) \cong {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {L,D}\right) \oplus {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {N,D}\right) 。

证明：设 π1:L⊕N→L{\pi }_{1} : L \oplus N \rightarrow L 为从 L⊕NL \oplus N 到 LL 的自然投影，同样设 π2{\pi }_{2} 为到 NN 的自然投影。如果 f∈Hom⁡R(D,L⊕N)f \in {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,L \oplus N}\right) ，那么复合映射 π1∘f{\pi }_{1} \circ f 和 π2∘f{\pi }_{2} \circ f 分别给出 Hom⁡R(D,L){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,L}\right) 和 Hom⁡R(D,N){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,N}\right) 中的元素。这定义了一个从 Hom⁡R(D,L⊕N){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,L \oplus N}\right) 到 Hom⁡R(D,L)⊕Hom⁡R(D,N){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,L}\right) \oplus {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,N}\right) 的映射，可以很容易地看出它是一个同态。反之，给定 f1∈Hom⁡R(D,L){f}_{1} \in {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,L}\right) 和 f2∈Hom⁡R(D,N){f}_{2} \in {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,N}\right) ，通过 f(d)=(f1(d),f2(d)).f\left( d\right) = \left( {{f}_{1}\left( d\right) ,{f}_{2}\left( d\right) }\right) . 定义映射 f∈Hom⁡R(D,L⊕N)f \in {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,L \oplus N}\right) 。这定义了一个从 HomR(D,L)⊕HomR(D,N){\mathrm{{Hom}}}_{R}\left( {D,L}\right) \oplus {\mathrm{{Hom}}}_{R}\left( {D,N}\right) 到 HomR(D,L⊕N){\mathrm{{Hom}}}_{R}\left( {D,L \oplus N}\right) 的映射，可以很容易地验证它是一个上述映射的同态逆，从而证明了 (1) 中的同构。命题 (2) 的证明类似，留作练习。

命题 29 的结果通过归纳法立即推广到任何有限直和的 RR -模。这些结果被称作 Hom 与 任一个变量中的有限直和（与定理 17 比较以获得相应结果）。交换（对于张量积）。对于无限直和，情况更为复杂。如果将 L⊕NL \oplus N 替换为任意直和，并且右侧的直和替换为直积，则部分 (1) 仍然成立（练习 13 显示直积是必要的）。如果两边的直和都替换为直积，则部分 (2) 也成立。

这个命题表明，如果序列

0→L→ψM→φN→00 \rightarrow L\overset{\psi }{ \rightarrow }M\overset{\varphi }{ \rightarrow }N \rightarrow 0

是一个分裂的短正合序列的 RR -模，那么

0→Hom⁡R(D,L)→ψ′Hom⁡R(D,M)→φ′Hom⁡R(D,N)→00 \rightarrow {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,L}\right) \overset{{\psi }^{\prime }}{ \rightarrow }{\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,M}\right) \overset{{\varphi }^{\prime }}{ \rightarrow }{\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,N}\right) \rightarrow 0

这也是一个对每个 RR -模 DD 的分裂短正合序列。练习14表明一个逆命题成立：如果对每个 RR -模 DD ，0→Hom⁡R(D,L)→ψ′Hom⁡R(D,M)→φ′0 \rightarrow {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,L}\right) \overset{{\psi }^{\prime }}{ \rightarrow }{\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,M}\right) \overset{{\varphi }^{\prime }}{ \rightarrow } Hom⁡R(D,N)→0{\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,N}\right) \rightarrow 0 是正合的，那么 0→L→ψM→φN→00 \rightarrow L\overset{\psi }{ \rightarrow }M\overset{\varphi }{ \rightarrow }N \rightarrow 0 是一个分裂短正合序列（这进而意味着如果原同态序列对每个 DD 是正合的，那么实际上它对每个 DD 也是分裂正合的）。

命题29确定了一种情况，在这种情况下序列（11）在模 L,ML,M 和 NN 的意义上是正合的。下一个结果采取了稍微不同的视角，而是表征了具有如下性质的模 DD ：定理28中的序列（10）总是可以扩展为一个短正合序列：

命题30

设 PP 是一个 RR -模。以下条件是等价的：（1）对于任何 RR -模 L,ML,M 和 NN ，如果

0→L→ψM→φN→00 \rightarrow L\overset{\psi }{ \rightarrow }M\overset{\varphi }{ \rightarrow }N \rightarrow 0

是一个短正合序列，那么

0→Hom⁡R(P,L)→ψ′Hom⁡R(P,M)→φ′Hom⁡R(P,N)→00 \rightarrow {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {P,L}\right) \overset{{\psi }^{\prime }}{ \rightarrow }{\operatorname{Hom}}_{R}\left( {P,M}\right) \overset{{\varphi }^{\prime }}{ \rightarrow }{\operatorname{Hom}}_{R}\left( {P,N}\right) \rightarrow 0

也是一个短正合序列。

（2）对于任何 RR -模 MM 和 NN ，如果 M→φN→0M\overset{\varphi }{ \rightarrow }N \rightarrow 0 是正合的，那么从 PP 到 NN 的每个 RR -模同态都可以提升为到 MM 的 RR -模同态，即给定 f∈Hom⁡R(P,N)f \in {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {P,N}\right) ，存在一个提升 F∈Hom⁡R(P,M)F \in {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {P,M}\right) 使得以下图表可交换：

（3）如果 PP 是 RR -模 MM 的商模，那么 PP 与 MM 的一个直和项同构，即每个短正合序列 0→L→M→P→00 \rightarrow L \rightarrow M \rightarrow P \rightarrow 0 都是分裂的。

(4) PP 是一个自由 RR -模的直接和项。

证明： (1) 和 (2) 的等价性是对定理 28 中结果的重新表述。现在假设 (2) 成立，并且让 0→L→ψM→φP→00 \rightarrow L\overset{\psi }{ \rightarrow }M\overset{\varphi }{ \rightarrow }P \rightarrow 0 是精确的。由 (2)，从 PP 到 PP 的恒等映射提升为一个同态 μ\mu，使得以下图表可交换：

然后 φ∘μ=1\varphi \circ \mu = 1 ，因此 μ\mu 是序列的分裂同态，这证明了 (3)。每个模 PP 都是一个自由模的商（例如，元素集合 PP 上的自由模），所以总存在一个精确序列 0→ker⁡φ→F→φP→00 \rightarrow \ker \varphi \rightarrow \mathcal{F}\overset{\varphi }{ \rightarrow }P \rightarrow 0，其中 F\mathcal{F} 是一个自由 RR -模（参见例 4，紧随推论 23）。如果 (3) 成立，那么这个序列可分裂，所以 F\mathcal{F} 与 ker⁡φ\ker \varphi 和 PP 的直和同构，这证明了 (4)。

最后，为了证明（4）蕴含（2），假设 PP 是某个集合 SS 上的自由 RR -模的直接和项，比如说 F(S)=P⊕K\mathcal{F}\left( S\right) = P \oplus K ，并且给定一个同态 ff 从 PP 到 NN ，如（2）中所示。令 π\pi 表示从 F(S)\mathcal{F}\left( S\right) 到 PP 的自然投影，因此 f∘πf \circ \pi 是从 F(S)\mathcal{F}\left( S\right) 到 NN 的同态。对于任何 s∈Ss \in S 定义 ns=f∘π(s)∈N{n}_{s} = f \circ \pi \left( s\right) \in N ，并让 ms∈M{m}_{s} \in M 是 MM 中的任意元素，满足 φ(ms)=ns\varphi \left( {m}_{s}\right) = {n}_{s} （因为 φ\varphi 是满射）。根据自由模的泛性质（第3节的定理6），存在唯一的 RR -模同态 F′{F}^{\prime } 从 F(S)\mathcal{F}\left( S\right) 到 MM ，满足 F′(s)=ms{F}^{\prime }\left( s\right) = {m}_{s} 。图示如下：

根据同态 F′{F}^{\prime } 的定义，我们有 φ∘F′(s)=φ(ms)=ns=f∘π(s)\varphi \circ {F}^{\prime }\left( s\right) = \varphi \left( {m}_{s}\right) = {n}_{s} = f \circ \pi \left( s\right) ，由此得出 φ∘F′=f∘π\varphi \circ {F}^{\prime } = f \circ \pi 在 F(S)\mathcal{F}\left( S\right) 上成立，即上面的图是可交换的。现在通过 F(d)=F′((d,0))F\left( d\right) = {F}^{\prime }\left( \left( {d,0}\right) \right) 定义一个映射 F:P→MF : P \rightarrow M 。由于 FF 是注入 P→F(S)P \rightarrow \mathcal{F}\left( S\right) 和同态 F′{F}^{\prime } 的复合，因此 FF 是一个 RR -模同态。那么

φ∘F(d)=φ∘F′((d,0))=f∘π((d,0))=f(d)\varphi \circ F\left( d\right) = \varphi \circ {F}^{\prime }\left( \left( {d,0}\right) \right) = f \circ \pi \left( \left( {d,0}\right) \right) = f\left( d\right)

即 φ∘F=f\varphi \circ F = f ，因此该图

是可交换的，这证明了（4）蕴含（2），并完成了证明。

定义

一个 RR -模 PP 被称为投射的，如果它满足命题30中的任何等价条件。

命题30的第三条陈述可以重新表述为：任何投射到 MM 的模块 PP 都有一个（同构副本的）PP 作为直和项，这解释了术语的使用。

以下结果直接来自命题30（及其证明）：

推论31

自由模块是投射的。一个有限生成的模块是投射的当且仅当它是有限生成自由模块的直和项。每个模块都是投射模块的商。

如果 DD 是固定的，那么对于任何 RR -模块 XX，我们都有一个相关的阿贝尔群 Hom⁡R(D,X){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,X}\right)。进一步，一个 RR -模块同态 α:X→Y\alpha : X \rightarrow Y 诱导出一个阿贝尔群同态 α′:Hom⁡R(D,X)→Hom⁡R(D,Y){\alpha }^{\prime } : {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,X}\right) \rightarrow {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,Y}\right)，定义为 α′(f)=α∘f{\alpha }^{\prime }\left( f\right) = \alpha \circ f。换句话说，映射 Hom⁡R(D,_){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,\_ }\right) 是从 RR -模块范畴到阿贝尔群范畴的协变函子（参见附录II）。定理28表明，将这个函子应用于精确序列的项

0→L→ψM→φN→00 \rightarrow L\overset{\psi }{ \rightarrow }M\overset{\varphi }{ \rightarrow }N \rightarrow 0

产生一个精确序列

0→Hom⁡R(D,L)→ψ′Hom⁡R(D,M)→φ′Hom⁡R(D,N).0 \rightarrow {\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,L}\right) \overset{{\psi }^{\prime }}{ \rightarrow }{\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,M}\right) \overset{{\varphi }^{\prime }}{ \rightarrow }{\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,N}\right) .

这是指 Hom⁡R(D, ){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,\text{ }}\right) 是一个左精确函子。根据命题30，如果 DD 是投射的，那么函子 Hom⁡R(D,_){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,\_ }\right) 是精确的，即总是将短精确序列映射到短精确序列。我们总结为

推论32

如果 DD 是一个 RR -模块，那么从 RR -模块范畴到阿贝尔群范畴的函子 Hom⁡R(D,){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D\text{,}}\right) 是左精确的。当且仅当 DD 是一个投射的 RR -模块时，它是精确的。

注意，如果 Hom⁡R(D,_){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,\_ }\right) 将短正合序列映射到短正合序列，那么它也会将任意长度的精确序列映射到精确序列，因为任何精确序列都可以分解为一系列短正合序列。

如我们所见，函子 Hom⁡R(D,_){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,\_ }\right) 在一般情况下不是右精确的。衡量诸如 Hom⁡R(D,_){\operatorname{Hom}}_{R}\left( {D,\_ }\right) 这样的函子未能精确的程度，导致了第17章中考虑的“同调代数”的概念。

示例

(1) 我们将在11.1节中看到，如果 R=FR = F 是一个域，那么每个 FF -模都是投射的（尽管我们只证明了有限生成模的情况）。

(2) 由推论31，Z\mathbb{Z} 是一个投射 Z\mathbb{Z} -模。这可以直接看出如下：假设 ff 是从 Z\mathbb{Z} 到 NN 的映射，且 M→φN→0M\overset{\varphi }{ \rightarrow }N \rightarrow 0 是精确的。同态 ff 由值 n=f(1)n = f\left( 1\right) 唯一确定。然后 ff 可以通过首先定义 F(1)=mF\left( 1\right) = m ，其中 mm 是由 φ\varphi 映射到 nn 的 MM 中的任意元素，并通过加性将 FF 扩展到整个 Z\mathbb{Z} 上，提升为一个同态 F:Z→MF : \mathbb{Z} \rightarrow M。

根据命题30的第一个陈述，由于 Z\mathbb{Z} 是投射的，如果

0→L→ψM→φN→00 \rightarrow L\overset{\psi }{ \rightarrow }M\overset{\varphi }{ \rightarrow }N \rightarrow 0

是一个 Z\mathbb{Z} -模的精确序列，那么

0→Hom⁡Z(Z,L)→ψ′Hom⁡Z(Z,M)→φ′Hom⁡Z(Z,N)→00 \rightarrow {\operatorname{Hom}}_{\mathbb{Z}}\left( {\mathbb{Z},L}\right) \overset{{\psi }^{\prime }}{ \rightarrow }{\operatorname{Hom}}_{\mathbb{Z}}\left( {\mathbb{Z},M}\right) \overset{{\varphi }^{\prime }}{ \rightarrow }{\operatorname{Hom}}_{\mathbb{Z}}\left( {\mathbb{Z},N}\right) \rightarrow 0

也是一个精确序列。这也可以直接使用 Hom⁡Z(Z,M)≅M{\operatorname{Hom}}_{\mathbb{Z}}\left( {\mathbb{Z},M}\right) \cong M 的阿贝尔群的同构来看到，这表明上述两个精确序列实质上是相同的。

(3) 自由 Z\mathbb{Z} -模块没有有限阶的非零元素，因此没有非零有限阿贝尔群可以同构于自由模块的子模块。根据推论31，可以得出结论，没有非零有限阿贝尔群是投射 Z\mathbb{Z} -模块。

(4) 作为前一个例子的一个特例，我们看到对于 n≥2n \geq 2 ，Z\mathbb{Z} -模块 Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} 不是投射的。根据定理28，必须有可能找到一个短正合序列，在应用了函子 HomZ(Z/nZ,…){\mathrm{{Hom}}}_{\mathbb{Z}}\left( {\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\ldots }\right) 之后，在右侧不再正合。这样一个序列就是例2中的正合序列，该序列在推论23之后：

0→Z→nZ→πZ/nZ→00 \rightarrow \mathbb{Z}\overset{n}{ \rightarrow }\mathbb{Z}\overset{\pi }{ \rightarrow }\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \rightarrow 0

对于 n≥2n \geq 2 。首先注意到 Hom⁡Z(Z/nZ,Z)=0{\operatorname{Hom}}_{\mathbb{Z}}\left( {\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\mathbb{Z}}\right) = 0 ，因为没有从 Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} 到 Z\mathbb{Z} 的非零 Z\mathbb{Z} -模块同态。同样容易看出 HomZ(Z/nZ,Z/nZ)≅{\mathrm{{Hom}}}_{\mathbb{Z}}\left( {\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}\right) \cong Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} ，如下所示。每个同态 ff 由 f(1)=a∈f\left( 1\right) = a \in Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} 唯一确定，并且对于任何 a∈Z/nZa \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} ，都存在一个唯一的同态 fa{f}_{a} ，使得 fa(1)=a{f}_{a}\left( 1\right) = a ；映射   fa↦a\;{f}_{a} \mapsto a 容易验证是从 HomZ(Z/nZ,Z/nZ){\text{Hom}}_{\mathbb{Z}}\left( {\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}\right) 到 Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} 的同构。

将 Hom⁡Z(Z/nZ,⊥){\operatorname{Hom}}_{\mathbb{Z}}\left( {\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \bot }\right) 应用于上述短正合序列，因此得到序列

0→0→n′0→π′Z/nZ→00 \rightarrow 0\overset{{n}^{\prime }}{ \rightarrow }0\overset{{\pi }^{\prime }}{ \rightarrow }\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \rightarrow 0

该序列在其唯一的非零项处不正合。

(5) 由于 Q/Z\mathbb{Q}/\mathbb{Z} 是一个扭 Z\mathbb{Z} -模块，它不是自由 Z\mathbb{Z} -模块的子模块，因此不是投射的。还应注意，正合序列 0→Z→Q→πQ/Z→00 \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q}\overset{\pi }{ \rightarrow }\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \rightarrow 0 不会分解，因为 Q\mathbb{Q} 不包含与 Q/Z\mathbb{Q}/\mathbb{Z} 同构的子模块。

(6) Z\mathbb{Z} -模块 Q\mathbb{Q} 不是投射的（参见练习）。

(7) 我们将在第12章看到，一个有限生成的 Z\mathbb{Z} -模块是投射的当且仅当它是自由的。

(8) 设 RR 是在分量加法和乘法下形成的交换环 Z/2Z×Z/2Z\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}。如果 P1{P}_{1} 和 P2{P}_{2} 分别是由 (1,0) 和 (0,1) 生成的主理想，那么 R=P1⊕P2R = {P}_{1} \oplus {P}_{2}，因此根据命题30，P1{P}_{1} 和 P2{P}_{2} 都是 RR -投射模块。由于任何自由模块的阶数都是4的倍数，P1{P}_{1} 和 P2{P}_{2} 都不是自由的。

(9) 两个投射模块的直接和仍然是投射的（参见练习3）。

(10) 我们将在第VI部分看到，如果 FF 是任何域且 n∈Z+n \in {\mathbb{Z}}^{ + }，那么所有 n×nn \times n 矩阵的环 R=Mn(F)R = {M}_{n}\left( F\right)，其元素来自 FF，具有每个 RR -模块都是投射的性质。我们还将看到，如果 GG 是一个有限群，其阶数为 nn，且 n≠0n \neq 0 在域 FF 中，那么群环 FG{FG} 也具有每个模块都是投射的性质。

avatar
文章
阅读
粉丝