10.4 模的张量积

翻斗花园爷爷
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模的张量积

在这一节中，我们研究两个模 MM 和 NN 在包含 1 的环（不一定是交换环）上的张量积。张量积的形成是一种通用构造，粗略地说，它使得人们可以形成另一个模，在该模中可以取元素 m∈Mm \in M 和 n∈Nn \in N 的“积” mn{mn}。这种一般构造涉及各种左和右模作用，为了提供动机，首先考虑一个重要的特殊情况是有益的：即“扩展标量”或“改变基”的问题。

假设环 RR 是环 SS 的子环。在本节中，我们总是假设 1R=1S{1}_{R} = {1}_{S}（这确保了 SS 是一个单位元 RR -模）。

如果 NN 是一个左 SS -模，那么由于 RR 的元素（作为 SS 的元素）根据假设作用于 NN，NN 也可以自然地被视为一个左 RR -模。 NN 的 SS -模公理包括关系

(s1+s2)n=s1n+s2n and s(n1+n2)=sn1+sn2(10.1)\left( {{s}_{1} + {s}_{2}}\right) n = {s}_{1}n + {s}_{2}n\text{ and }s\left( {{n}_{1} + {n}_{2}}\right) = s{n}_{1} + s{n}_{2} \tag{10.1}

对于所有 s,s1,s2∈Ss,{s}_{1},{s}_{2} \in S 和所有 n,n1,n2∈Nn,{n}_{1},{n}_{2} \in N，以及关系

(s1s2)n=s1(s2n) for all s1,s2∈S,and all n∈N.(10.2)\left( {{s}_{1}{s}_{2}}\right) n = {s}_{1}\left( {{s}_{2}n}\right) \text{ for all }{s}_{1},{s}_{2} \in S\text{,and all }n \in N. \tag{10.2}

后者关系的一种特殊情况是

(sr)n=s(rn) for all s∈S,r∈R and n∈N.(10.2)\left( {sr}\right) n = s\left( {rn}\right) \text{ for all }s \in S,r \in R\text{ and }n \in N. \tag{10.2}

更一般地，如果 f:R→Sf : R \rightarrow S 是从 RR 到 SS 的环同态，且 f(1R)=1Sf\left( {1}_{R}\right) = {1}_{S}（例如，如果 RR 是上述 SS 的子环，那么就是注入映射），则可以容易地看出 NN 可以被视为一个 RR -模，其中 rn=f(r)n{rn} = f\left( r\right) n 对于 r∈Rr \in R 和 n∈Nn \in N 成立。在这种情况下，SS 可以被视为环 RR 的扩展，并且由此得到的 RR -模说成是由 NN 通过从 SS 到 RR 的标量限制得到的。

现在假设 RR 是 SS 的子环，并且我们试图反转这一点，也就是说，我们从 RR -模 NN 开始，并尝试在 NN 上定义一个 SS -模结构，以便将 RR 对 NN 的作用扩展为 SS 对 NN 的作用（因此称为“从 RR 扩展标量”到 SS ）。一般来说，这是不可能的，即使在最简单的情况下：环 RR 本身是一个 RR -模，但通常不是较大环 SS 的 SS -模。例如，Z\mathbb{Z} 是一个 Z\mathbb{Z} -模，但它不能成为 Q\mathbb{Q} -模（如果可以，那么 12∘1=z\frac{1}{2} \circ 1 = z 将是 Z\mathbb{Z} 中的一个元素，具有 z+z=1z + z = 1 的性质，这是不可能的）。尽管 Z\mathbb{Z} 本身不能成为 Q\mathbb{Q} -模，但它包含在一个 Q\mathbb{Q} -模中，即 Q\mathbb{Q} 本身。换句话说，存在一个将 Z\mathbb{Z} -模 Z\mathbb{Z} 注入（也称为嵌入）到 Q\mathbb{Q} -模 Q\mathbb{Q} 的注入（同样地，环 RR 总是可以嵌入为 SS -模 SS 的 RR -子模）。这引出了一个问题，即任意的 RR -模 NN 是否可以作为某个 SS -模的 RR -子模被嵌入，或者更一般地，从 NN 到 SS -模的 RR -模同态存在哪些问题。例如，假设 NN 是一个非平凡的 finite abelian group,say N=Z/2Z,and consider possible Z-module homomorphisms\textit{finite abelian group,say }N = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\textit{and consider possible }\mathbb{Z}\textit{-module homomorphisms}（即，阿贝尔群同态）到某个 Q\mathbb{Q} -模的映射。一个 Q\mathbb{Q} -模只是一个 Q\mathbb{Q} 上的向量空间，且每个在 Q\mathbb{Q} 上的向量空间中的非零元素都有无限的（加法）阶。由于 NN 中的每个元素都有有限的阶，因此 NN 中的每个元素在这种同态下必然映射到 0。换句话说，不存在从这个 NN 到任何 Q\mathbb{Q} -模的非零 Z\mathbb{Z} -模同态，更不用说将 NN 嵌入为 Q\mathbb{Q} -模的子模了。当尝试从 Z\mathbb{Z} “扩展标量”到 Q\mathbb{Q} 时，两个 Z\mathbb{Z} -模 Z\mathbb{Z} 和 Z/2Z\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 展现出极其不同的行为：第一个模映射到某个 Q\mathbb{Q} -模中是单射的，第二个模总是映射到 Q\mathbb{Q} -模中的 0。

我们现在为一般的 RR -模 NN 构造一个 SS -模，这个 SS -模是在尝试嵌入 NN 时“最佳可能的”目标。我们还将看到，这个模决定了所有可能的 RR -模同态，将 NN 嵌入到 SS -模中，特别是决定了 NN 是否包含在某些 SS -模中（参见推论 9）。在 R=ZR = \mathbb{Z} 和 S=QS = \mathbb{Q} 的情况下，当应用于 N=ZN = \mathbb{Z} 模时，此构造将给我们 Q\mathbb{Q}，而当应用于 N=Z/2ZN = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 模时，将给我们 0（推论 9 后面的示例 2 和 3）。

如果 RR -模 NN 已经是一个 SS -模，那么从 RR 到 SS 的标量扩展当然没有任何困难，所以我们从返回到基本模公理开始构建，以检查我们是否可以定义形式为 sn{sn} 的“积”，其中 s∈Ss \in S 和 n∈Nn \in N 。这些公理从一个阿贝尔群 NN 开始，以及从 S×NS \times N 到 NN 的映射，其中对 (s,n) 对的像是表示为 sn{sn} 。因此，自然地考虑在集合 S×NS \times N 上的自由 Z\mathbb{Z} -模（即，自由的阿贝尔群），即所有形式为 (si,ni)\left( {{s}_{i},{n}_{i}}\right) 的元素的有限交换和的集合，其中 si∈S{s}_{i} \in S 和 ni∈N{n}_{i} \in N 。这是一个阿贝尔群，其中没有任何不同 (s,n) 对和 (s′,n′)\left( {{s}^{\prime },{n}^{\prime }}\right) 之间的关系，即没有“形式积” sn{sn} 之间的关系，在这个阿贝尔群中，原始模 NN 已经完全区别于来自 SS 的新“系数”。为了满足方程 (1) 中强加的 SS -模结构所需的关系以及与 RR 在 (2′) 中对 NN 的作用相容的关系，我们必须将这个阿贝尔群除以由所有形式为的元素生成的子群 HH

(s1+s2,n)−(s1,n)−(s2,n),\left( {{s}_{1} + {s}_{2},n}\right) - \left( {{s}_{1},n}\right) - \left( {{s}_{2},n}\right) ,
(s,n1+n2)−(s,n1)−(s,n2),and(10.3)\left( {s,{n}_{1} + {n}_{2}}\right) - \left( {s,{n}_{1}}\right) - \left( {s,{n}_{2}}\right) \text{,and} \tag{10.3}
(sr,n)−(s,rn),\left( {{sr},n}\right) - \left( {s,{rn}}\right) \text{,}

对于 s,s1,s2∈S,n,n1,n2∈Ns,{s}_{1},{s}_{2} \in S,n,{n}_{1},{n}_{2} \in N 和 r∈Rr \in R ，其中最后一个元素中的 rn{rn} 指的是在 NN 上已经定义的 RR -模结构。

结果得到的商群表示为 S⊗RNS{ \otimes }_{R}N（如果上下文中 RR 清晰，则简写为 S⊗NS \otimes N）并称为 SS 和 NN 关于 RR 的张量积。如果 s⊗ns \otimes n 表示在 S⊗RNS{ \otimes }_{R}N 中包含 (s,n) 的陪集，那么根据商的定义，我们强制引入以下关系

(s1+s2)⊗n=s1⊗n+s2⊗n,\left( {{s}_{1} + {s}_{2}}\right) \otimes n = {s}_{1} \otimes n + {s}_{2} \otimes n,
s⊗(n1+n2)=s⊗n1+s⊗n2,and(10.4)s \otimes \left( {{n}_{1} + {n}_{2}}\right) = s \otimes {n}_{1} + s \otimes {n}_{2}\text{,and} \tag{10.4}
sr⊗n=s⊗rn.{sr} \otimes n = s \otimes {rn}.

S⊗RNS{ \otimes }_{R}N 的元素称为张量，并且通常可以写成有限个“简单张量” s⊗ns \otimes n 的和，其中 s∈S,n∈Ns \in S,n \in N 。

我们现在证明，张量积 S⊗RNS{ \otimes }_{R}N 在定义的作用下自然是一个左 SS -模

s(∑finite si⊗ni)=∑finite (ssi)⊗ni.(10.5)s\left( {\mathop{\sum }\limits_{\text{finite }}{s}_{i} \otimes {n}_{i}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{\text{finite }}\left( {s{s}_{i}}\right) \otimes {n}_{i}. \tag{10.5}

我们首先验证这是良定义的，即不依赖于 S⊗RNS{ \otimes }_{R}N 的元素作为简单张量之和的表示。首先注意，如果 s′{s}^{\prime } 是 SS 的任意元素，那么

(s′(s1+s2),n)−(s′s1,n)−(s′s2,n)  (=(s′s1+s′s2,n)−(s′s1,n)−(s′s2,n)),\left( {{s}^{\prime }\left( {{s}_{1} + {s}_{2}}\right) ,n}\right) - \left( {{s}^{\prime }{s}_{1},n}\right) - \left( {{s}^{\prime }{s}_{2},n}\right) \;\left( { = \left( {{s}^{\prime }{s}_{1} + {s}^{\prime }{s}_{2},n}\right) - \left( {{s}^{\prime }{s}_{1},n}\right) - \left( {{s}^{\prime }{s}_{2},n}\right) }\right) ,
(s′s,n1+n2)−(s′s,n1)−(s′s,n2),and\left( {{s}^{\prime }s,{n}_{1} + {n}_{2}}\right) - \left( {{s}^{\prime }s,{n}_{1}}\right) - \left( {{s}^{\prime }s,{n}_{2}}\right) \text{,and}
(s′(sr),n)−(s′s,rn)  (=((s′s)r,n)−(s′s,rn))\left( {{s}^{\prime }\left( {sr}\right) ,n}\right) - \left( {{s}^{\prime }s,{rn}}\right) \;\left( { = \left( {\left( {{s}^{\prime }s}\right) r,n}\right) - \left( {{s}^{\prime }s,{rn}}\right) }\right)

每个都属于 (3) 中的生成集合，因此特别是每个都位于子群 HH 中。这表明将 (3) 中生成元的第一项乘以 s′{s}^{\prime } 会得到 HH 中的另一个元素（实际上是另一个生成元）。由于 HH 的任何元素都是如 (3) 中元素的和，因此对于 HH 中的任何元素 ∑(si,ni)\sum \left( {{s}_{i},{n}_{i}}\right)，也有 ∑(s′si,ni)\sum \left( {{s}^{\prime }{s}_{i},{n}_{i}}\right) 位于 HH 中。现在假设 ∑si⊗ni=∑si′⊗ni′\sum {s}_{i} \otimes {n}_{i} = \sum {s}_{i}^{\prime } \otimes {n}_{i}^{\prime } 是 S⊗RNS{ \otimes }_{R}N 中同一元素的两种表示。那么 ∑(si,ni)−∑(si′,ni′)\sum \left( {{s}_{i},{n}_{i}}\right) - \sum \left( {{s}_{i}^{\prime },{n}_{i}^{\prime }}\right) 是 HH 的一个元素，根据我们刚才看到的，对于任何 s∈Ss \in S，∑(ssi,ni)−∑(ssi′,ni′)\sum \left( {s{s}_{i},{n}_{i}}\right) - \sum \left( {s{s}_{i}^{\prime },{n}_{i}^{\prime }}\right) 也是 HH 的一个元素。但是这意味着 ∑ssi⊗ni=∑ssi′⊗ni′\sum s{s}_{i} \otimes {n}_{i} = \sum s{s}_{i}^{\prime } \otimes {n}_{i}^{\prime } 在 S⊗RNS{ \otimes }_{R}N 中，因此 (5) 中的表达式确实是良定义的。

现在利用 (4) 中的关系可以直接验证，由 (5) 定义的行动使得 S⊗RNS{ \otimes }_{R}N 成为一个左 SS -模。例如，在简单的张量 si⊗ni{s}_{i} \otimes {n}_{i} 上，

(s+s′)(si⊗ni)=((s+s′)si)⊗ni   by definition (5) \left( {s + {s}^{\prime }}\right) \left( {{s}_{i} \otimes {n}_{i}}\right) = \left( {\left( {s + {s}^{\prime }}\right) {s}_{i}}\right) \otimes {n}_{i}\;\text{ by definition (5) }
=(ssi+s′si)⊗ni= \left( {s{s}_{i} + {s}^{\prime }{s}_{i}}\right) \otimes {n}_{i}
=ssi⊗ni+s′si⊗ni= s{s}_{i} \otimes {n}_{i} + {s}^{\prime }{s}_{i} \otimes {n}_{i}
=s(si⊗ni)+s′(si⊗ni)   by definition (5) . = s\left( {{s}_{i} \otimes {n}_{i}}\right) + {s}^{\prime }\left( {{s}_{i} \otimes {n}_{i}}\right) \;\text{ by definition (5) . }

模 S⊗RNS{ \otimes }_{R}N 被称为通过从 (左) R-模 NN 扩展标量得到的 (左) SS -模。

存在一个由 ι:N→S⊗RN\iota : N \rightarrow S{ \otimes }_{R}N 定义的天然映射 n↦1⊗nn \mapsto 1 \otimes n（即，首先将 n∈Nn \in N 映射到自由阿贝尔群中的元素 (1,n)，然后过渡到商群）。由于 1⊗rn=r⊗n=r(1⊗n)1 \otimes {rn} = r \otimes n = r\left( {1 \otimes n}\right) 根据 (4) 和 (5)，可以容易地验证 ι\iota 是从 NN 到 S⊗RNS{ \otimes }_{R}N 的一个 RR -模同态。然而，因为我们已经过渡到了一个商群，所以 ι\iota 通常不是单射的。因此，虽然存在一个从原始的左 RR -模 NN 到左 SS -模 S⊗RNS{ \otimes }_{R}N 的天然 RR -模同态，但通常 S⊗RNS{ \otimes }_{R}N 不必包含（一个同构的副本）NN。另一方面，方程 (3) 中的关系是我们为了得到一个 SS -模而必须施加的最小关系，所以有理由期望张量积 S⊗RNS{ \otimes }_{R}N 是作为从 NN 的 RR -模同态的目标的“最佳可能的” SS -模。下一个定理通过表明任何其他从 NN 的 RR -模同态都可以通过这一个分解，并将此性质称为张量积 S⊗RNS{ \otimes }_{R}N 的泛性质，使这一点更加精确。一般张量积的类似结果在定理 10 中给出。

定理 8

设 RR 是 SS 的子环，NN 是一个左 RR -模，ι:N→S⊗RN\iota : N \rightarrow S{ \otimes }_{R}N 是由 ι(n)=1⊗n\iota \left( n\right) = 1 \otimes n 定义的 RR -模同态。假设 LL 是任意的左 SS -模（因此也是一个 RR -模），并且 φ:N→L\varphi : N \rightarrow L 是从 NN 到 LL 的 RR -模同态。那么存在唯一的 SS -模同态 Φ:S⊗RN→L\Phi : S{ \otimes }_{R}N \rightarrow L 使得 φ\varphi 通过 Φ\Phi 分解，即 φ=Φ∘ι\varphi = \Phi \circ \iota 并且图表

可交换。反之，如果 Φ:S⊗RN→L\Phi : S{ \otimes }_{R}N \rightarrow L 是一个 SS -模同态，那么 φ=Φ∘ι\varphi = \Phi \circ \iota 是从 NN 到 LL 的 RR -模同态。

证明：假设 φ:N→L\varphi : N \rightarrow L 是一个到 SS -模 LL 的 RR -模同态。根据自由模的泛性质（第3节的定理6），存在一个从自由 Z\mathbb{Z} -模 FF （在集合 S×NS \times N 上的生成元）到 LL 的 Z\mathbb{Z} -模同态，该同态将每个生成元 (s,n) 映射到 sφ(n){s\varphi }\left( n\right)。由于 φ\varphi 是一个 RR -模同态，方程（3）中的子群 HH 的生成元在 LL 中都映射到零。因此，这个 Z\mathbb{Z} -模同态通过 HH 分解，即存在一个从 F/H=F/H = S⊗RNS{ \otimes }_{R}N 到 LL 的良定义的 Z\mathbb{Z} -模同态 Φ\Phi ，满足 Φ(s⊗n)=sφ(n)\Phi \left( {s \otimes n}\right) = {s\varphi }\left( n\right)。此外，在简单张量上我们有

s′Φ(s⊗n)=s′(sφ(n))=(s′s)φ(n)=Φ((s′s)⊗n)=Φ(s′(s⊗n)).{s}^{\prime }\Phi \left( {s \otimes n}\right) = {s}^{\prime }\left( {{s\varphi }\left( n\right) }\right) = \left( {{s}^{\prime }s}\right) \varphi \left( n\right) = \Phi \left( {\left( {{s}^{\prime }s}\right) \otimes n}\right) = \Phi \left( {{s}^{\prime }\left( {s \otimes n}\right) }\right) .

对于任意的 s′∈S{s}^{\prime } \in S。由于 Φ\Phi 是加法的，因此可以得出 Φ\Phi 是一个 SS -模同态，这证明了定理的存在性陈述。模 S⊗RNS{ \otimes }_{R}N 作为 SS -模由形如 1⊗n1 \otimes n 的元素生成，所以任何 SS -模同态都由其在这组元素上的值唯一确定。由于 Φ(1⊗n)=φ(n)\Phi \left( {1 \otimes n}\right) = \varphi \left( n\right) ，因此可以得出 SS -模同态 Φ\Phi 由 φ\varphi 唯一确定，这证明了定理的唯一性陈述。逆命题是直接的。

定理8中 S⊗RNS{ \otimes }_{R}N 的普遍性质表明 RR -模同态从 NN 到 SS -模来源于 SS -模同态从 S⊗RNS{ \otimes }_{R}N 。特别是，这决定了何时能够将 NN 单射地映射到某个 SS -模中：

推论9

设 ι:N→S⊗RN\iota : N \rightarrow S{ \otimes }_{R}N 是定理8中的 RR -模同态。那么 N/ker⁡ιN/\ker \iota 是可以嵌入到任意 SS -模中的唯一最大商模。特别是，当且仅当 ι\iota 是单射（在这种情况下 NN 与 RR -子模 ι(N)\iota \left( N\right) 同构，后者是 SS -模 S⊗RNS{ \otimes }_{R}N 的子模）时，NN 可以嵌入为某个左 SS -模的 RR -子模。

证明：商模 N/ker⁡ιN/\ker \iota 通过 ι\iota 单射地映射到 SS -模 S⊗RNS{ \otimes }_{R}N 中。现在假设 φ\varphi 是一个 RR -模同态，它将 NN 的商模 N/ker⁡φN/\ker \varphi 单射地嵌入到 SS -模 LL 中。那么，根据定理8，ker⁡ι\ker \iota 通过 φ\varphi 映射到0，即 ker⁡ι⊆ker⁡φ\ker \iota \subseteq \ker \varphi 。因此 N/ker⁡φN/\ker \varphi 是 N/ker⁡ιN/\ker \iota 的一个商模（即通过子模 ker⁡φ/ker⁡ι\ker \varphi /\ker \iota 的商）。因此 N/ker⁡ιN/\ker \iota 是可以嵌入到任意 SS -模中的 NN 的唯一最大商模。推论的最后一部分立即得出。

示例

(1) 对于任意环 RR 和任意左 RR -模 NN ，我们有 R⊗RN≅NR{ \otimes }_{R}N \cong N （因此从 RR 到 RR ' 扩展标量不会改变模）。这可以通过在定理8中取 φ\varphi 为从 NN 到其自身的恒等映射（以及 S=RS = R ）得出 ι\iota 是同构，其逆同构由 Φ\Phi 给出。特别是，如果 AA 是任意阿贝尔群（即 Z\mathbb{Z} -模），那么 Z⊗ZA=A\mathbb{Z}{ \otimes }_{\mathbb{Z}}A = A 。

(2) 设 R=Z,S=QR = \mathbb{Z},S = \mathbb{Q} ，并设 AA 是阶数为 nn 的有限阿贝尔群。在这种情况下，通过从 Z\mathbb{Z} -模 AA 扩展标量得到的 Q\mathbb{Q} -模 Q⊗ZA\mathbb{Q}{ \otimes }_{\mathbb{Z}}A 是0。为了看到这一点，首先观察到在任何张量积 1⊗0=1⊗(0+0)=1⊗0+1⊗01 \otimes 0 = 1 \otimes \left( {0 + 0}\right) = 1 \otimes 0 + 1 \otimes 0 中，根据(4)中的第二个关系，所以

1⊗0=01 \otimes 0 = 0

现在，对于任意简单张量 q⊗aq \otimes a ，我们可以将有理数 qq 写作 (q/n)n\left( {q/n}\right) n 。然后由于 na=0{na} = 0 在 AA 中由拉格朗日定理，我们有

q⊗a=(qn⋅n)⊗a=qn⊗(na)=(q/n)⊗0=(q/n)(1⊗0)=0.q \otimes a = \left( {\frac{q}{n} \cdot n}\right) \otimes a = \frac{q}{n} \otimes \left( {na}\right) = \left( {q/n}\right) \otimes 0 = \left( {q/n}\right) \left( {1 \otimes 0}\right) = 0.

因此 Q⊗ZA=0\mathbb{Q}{ \otimes }_{\mathbb{Z}}A = 0 。特别是，映射 ι:A→S⊗RA\iota : A \rightarrow S{ \otimes }_{R}A 是零映射。根据定理8，我们再次看到任何有限阿贝尔群到有理向量空间的同态是零映射。特别是，如果 AA 是非平凡的，那么原始的 Z\mathbb{Z} -模 AA 不包含在通过扩展标量得到的 Q\mathbb{Q} -模中。

(3) 自由模的标量扩展：如果 N≅RnN \cong {R}^{n} 是秩为 nn 的 RR 上的自由模，那么 S⊗RN≅SnS{ \otimes }_{R}N \cong {S}^{n} 是秩为 nn 的 SS 上的自由模。我们将在讨论直接和的张量积时很快证明这一点（推论18）。例如，Q⊗ZZn≅Qn\mathbb{Q}{ \otimes }_{\mathbb{Z}}{\mathbb{Z}}^{n} \cong {\mathbb{Q}}^{n} 。在这种情况下，通过标量扩展得到的模包含（同构副本）原始的 RR -模 NN 。例如，Q⊗ZZn≅Qn\mathbb{Q}{ \otimes }_{\mathbb{Z}}{\mathbb{Z}}^{n} \cong {\mathbb{Q}}^{n} 和 Zn{\mathbb{Z}}^{n} 是阿贝尔群 Qn{\mathbb{Q}}^{n} 的子群。

(4) 向量空间的标量扩展：作为前一个例子的特例，设 FF 是域 KK 的子域，并且 VV 是 FF 上的 nn 维向量空间（即 V≅FnV \cong {F}^{n} ）。那么 K⊗FV≅KnK{ \otimes }_{F}V \cong {K}^{n} 是较大域 KK 上的维数相同的向量空间，并且原始的向量空间 VV 作为 FF -向量子空间包含在 K⊗FVK{ \otimes }_{F}V 中。

(5) 有限群的诱导模：设 RR 是带有单位元的交换环，GG 是有限群，HH 是 GG 的子群。与第7.2节中一样，我们可以构造群环 RG{RG} 及其子环 RH{RH} 。对于任何 RH{RH} -模 NN ，定义诱导模 RG⊗RHN{RG}{ \otimes }_{RH}N 。这样，对于每个 RH{RH} -模 NN ，我们得到一个 RG{RG} -模。我们将在第17章和第19章研究诱导模的性质及其在群论中的一些重要应用。

通常的张量积构造遵循与上述标量扩展相同的方法，但在描述它之前，我们从特殊情况中得出两个观察结果。第一个是，S⊗RNS{ \otimes }_{R}N 作为阿贝尔群的构造仅涉及方程（3）中的元素，而该方程又只要求 SS 是一个右 RR -模，NN 是一个左 RR -模。以类似的方式，我们将为任意右 RR -模 MM 和任意左 RR -模 NN 构造一个阿贝尔群 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 。第二个观察结果是，方程（5）定义的 SS -模结构仅需要 SS 上的左 SS -模结构以及一个“兼容关系”

s′(sr)=(s′s)r   for s,s′∈S,r∈R,{s}^{\prime }\left( {sr}\right) = \left( {{s}^{\prime }s}\right) r\;\text{ for }s,{s}^{\prime } \in S,r \in R,

在这种左 SS -模结构与 SS 上的右 RR -模结构之间（这需要用于推导（5）是良定义的）。我们首先考虑 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 作为阿贝尔群的一般构造，然后我们将回到这个问题，即何时这个阿贝尔群可以赋予模结构。

假设 NN 是一个左 RR -模，而 MM 是一个右 RR -模。在集合 M×NM \times N 上的自由 Z\mathbb{Z} -模的商群，由所有形式为 NN 和 RR 的元素生成的子群，是一个阿贝尔群，记作 MM ，如果环 M×NM \times N 从上下文中清晰，则简称为 Z\mathbb{Z} ，并称为张量积 的 (m,n) 叫做简单张量。我们有以下关系

(m1+m2,n)−(m1,n)−(m2,n),\left( {{m}_{1} + {m}_{2},n}\right) - \left( {{m}_{1},n}\right) - \left( {{m}_{2},n}\right) ,
(m,n1+n2)−(m,n1)−(m,n2),and(10.6)\left( {m,{n}_{1} + {n}_{2}}\right) - \left( {m,{n}_{1}}\right) - \left( {m,{n}_{2}}\right) \text{,and} \tag{10.6}
(mr,n)−(m,rn),\left( {{mr},n}\right) - \left( {m,{rn}}\right) ,

对于 m,m1,m2∈M,n,n1,n2∈Nm,{m}_{1},{m}_{2} \in M,n,{n}_{1},{n}_{2} \in N 和 r∈Rr \in R 是一个阿贝尔群，表示为 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N ，如果环 RR 从上下文中清晰，则简称为 M⊗NM \otimes N ，并称为 of M and N over R. The elements of M⊗RN are called tensors,and the coset,m⊗n,\textit{of }M\textit{ and }N\textit{ over }R\textit{. The elements of }M{ \otimes }_{R}N\textit{ are called tensors,and the coset,}m \otimes n, 的张量积 (m,n) 被称为简单张量。我们有以下关系

(m1+m2)⊗n=m1⊗n+m2⊗n,\left( {{m}_{1} + {m}_{2}}\right) \otimes n = {m}_{1} \otimes n + {m}_{2} \otimes n,
m⊗(n1+n2)=m⊗n1+m⊗n2,and(10.7)m \otimes \left( {{n}_{1} + {n}_{2}}\right) = m \otimes {n}_{1} + m \otimes {n}_{2}\text{,and} \tag{10.7}
mr⊗n=m⊗rn.{mr} \otimes n = m \otimes {rn}.

每个张量都可以写成（通常情况下非唯一）简单张量的有限和。

注意：我们在处理张量时必须小心，因为每个 m⊗nm \otimes n 都代表某个商群中的陪集，因此我们可能有 m⊗n=m′⊗n′m \otimes n = {m}^{\prime } \otimes {n}^{\prime } ，其中 m≠m′m \neq {m}^{\prime } 或 n≠n′n \neq {n}^{\prime } 。更一般地，M⊗NM \otimes N 的一个元素可以以许多不同的方式表示为简单张量的和。特别是，在定义从 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 到另一个群或模的映射时必须小心，因为一个在生成元 m⊗nm \otimes n 上用 mm 和 nn 描述的从 M⊗NM \otimes N 到的映射，除非它能证明独立于 m⊗nm \otimes n 作为陪集代表的具体选择，否则是不良定义的。

另一个需要谨慎处理的点是，当模 MM 和 NN 或环 RR 在上下文中不明确时，对元素 m⊗nm \otimes n 的引用。扩展标量的前两个例子给出了一个实例，其中 MM 是较大模 M′{M}^{\prime } 的一个子模，对于某些 m∈Mm \in M 和 n∈Nn \in N ，我们有 m⊗n=0m \otimes n = 0 在 M′⊗RN{M}^{\prime }{ \otimes }_{R}N 中，但 m⊗nm \otimes n 在 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 中非零。这是可能的，因为符号 “ m⊗nm \otimes n ” 在两个张量积中代表不同的陪集，因此可能代表不同的元素。特别是，这两个例子表明，即使 MM 是 M′{M}^{\prime } 的子模，M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 也不必是 M′⊗RN{M}^{\prime }{ \otimes }_{R}N 的子群（参见练习2）。

将 M×NM \times N 映射到 M×NM \times N 上的自由 Z\mathbb{Z} -模，然后过渡到商，定义了一个映射 ι:M×N→M⊗RN\iota : M \times N \rightarrow M{ \otimes }_{R}N ，其满足 ι(m,n)=m⊗n\iota \left( {m,n}\right) = m \otimes n 。通常情况下，这个映射不是一个群同态，但它分别在线性组合 mm 和 nn 上是加性的，并且满足 ι(mr,n)=mr⊗n=m⊗rn=ι(m,rn)\iota \left( {{mr},n}\right) = {mr} \otimes n = m \otimes {rn} = \iota \left( {m,{rn}}\right) 。这样的映射被赋予了一个名称：

定义

设 MM 为一个右 RR -模，NN 为一个左 RR -模，LL 为一个可加的阿贝尔群（按加法书写）。一个映射 φ:M×N→L\varphi : M \times N \rightarrow L 被称为关于 RR 的 RR -平衡的或中线性映射，如果

φ(m1+m2,n)=φ(m1,n)+φ(m2,n)\varphi \left( {{m}_{1} + {m}_{2},n}\right) = \varphi \left( {{m}_{1},n}\right) + \varphi \left( {{m}_{2},n}\right)
φ(m,n1+n2)=φ(m,n1)+φ(m,n2)\varphi \left( {m,{n}_{1} + {n}_{2}}\right) = \varphi \left( {m,{n}_{1}}\right) + \varphi \left( {m,{n}_{2}}\right)
φ(m,rn)=φ(mr,n)\varphi \left( {m,{rn}}\right) = \varphi \left( {{mr},n}\right)

对于所有的 m,m1,m2∈M,n,n1,n2∈Nm,{m}_{1},{m}_{2} \in M,n,{n}_{1},{n}_{2} \in N 和 r∈Rr \in R 。

使用这个术语，可以直接从（7）中的关系得出映射 ι:M×N→M⊗RN\iota : M \times N \rightarrow M{ \otimes }_{R}N 是 RR -平衡的。下一个定理证明了关于平衡映射的张量积的极其有用的通用性质。

定理 10

假设 RR 是一个带有单位元的环，MM 是一个右 RR -模，NN 是一个左 RR -模。设 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 是 MM 和 NN 在 RR 上的张量积，ι:M×N→\iota : M \times N \rightarrow M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 是上面定义的 RR -平衡映射。

(1) 如果 Φ:M⊗RN→L\Phi : M{ \otimes }_{R}N \rightarrow L 是从 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 到一个阿贝尔群 LL 的任意群同态，那么复合映射 φ=Φ∘ι\varphi = \Phi \circ \iota 是从 M×NM \times N 到 LL 的一个 RR -平衡映射。

反之，假设 LL 是一个阿贝尔群，且 φ:M×N→L\varphi : M \times N \rightarrow L 是任何 RR -平衡映射。那么存在唯一的群同态 Φ:M⊗RN→L\Phi : M{ \otimes }_{R}N \rightarrow L 使得 φ\varphi 通过 ι\iota 实现 φ=Φ∘ι\varphi = \Phi \circ \iota，如（1）中所示。

等价地，该对应 φ↔Φ\varphi \leftrightarrow \Phi 在交换图中

建立了一个双射

{R-balanced maps φ:M×N→L}↔{ group homomorphisms Φ:M⊗RN→L}.\left\{ \begin{array}{l} R\text{-balanced maps } \\ \varphi : M \times N \rightarrow L \end{array}\right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{ group homomorphisms } \\ \Phi : M{ \otimes }_{R}N \rightarrow L \end{matrix}\right\} .

证明：（1）的证明直接来源于上述 ι\iota 的性质。对于（2），映射 φ\varphi 定义了一个唯一的 Z\mathbb{Z} -模同态 φ~\widetilde{\varphi } ，从 M×NM \times N 的自由群到 LL（第3节中的定理6），使得 φ~(m,n)=φ(m,n)∈L\widetilde{\varphi }\left( {m,n}\right) = \varphi \left( {m,n}\right) \in L。由于 φ\varphi 是 RR -平衡的，φ~\widetilde{\varphi } 将方程（6）中的每个元素映射到0；例如

φ~((mr,n)−(m,rn))=φ(mr,n)−φ(m,rn)=0.\widetilde{\varphi }\left( {\left( {{mr},n}\right) - \left( {m,{rn}}\right) }\right) = \varphi \left( {{mr},n}\right) - \varphi \left( {m,{rn}}\right) = 0.

因此，φ~\widetilde{\varphi } 的核包含由这些元素生成的子群，因此 φ~\widetilde{\varphi } 在商群 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 上诱导出一个同态 Φ\Phi 到 LL。根据定义，然后我们有

Φ(m⊗n)=φ~(m,n)=φ(m,n),\Phi \left( {m \otimes n}\right) = \widetilde{\varphi }\left( {m,n}\right) = \varphi \left( {m,n}\right) ,

即 φ=Φ∘ι\varphi = \Phi \circ \iota。由于元素 m⊗nm \otimes n 生成了作为阿贝尔群的 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N，同态 Φ\Phi 由这个方程唯一确定。这完成了证明。

定理10在定义 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 上的同态时非常有用，因为它将检查在简单张量 m⊗nm \otimes n 上定义的映射是否良好定义的繁琐过程替换为检查在有序对 (m,n) 上定义的相关映射是否平衡。

定理10中的泛性质的第一个推论是对张量积 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 作为阿贝尔群的刻画：

推论 11

假设 DD 是一个阿贝尔群，且 ι′:M×N→D{\iota }^{\prime } : M \times N \rightarrow D 是一个 RR -平衡映射，使得

(i) ι′{\iota }^{\prime } 的像生成 DD 作为阿贝尔群，并且

(ii) 每个 RR -平衡映射在 M×NM \times N 上都通过 ι′{\iota }^{\prime } 如定理 10 那样分解。那么存在一个阿贝尔群之间的同构 f:M⊗RN≅Df : M{ \otimes }_{R}N \cong D 与 ι′=f∘ι{\iota }^{\prime } = f \circ \iota 。

证明：由于 ι′:M×N→D{\iota }^{\prime } : M \times N \rightarrow D 是一个平衡映射，定理 10 中的 (2) 的普遍性质意味着存在一个（唯一的）同态 f:M⊗RN→Df : M{ \otimes }_{R}N \rightarrow D 使得 ι′=f∘ι{\iota }^{\prime } = f \circ \iota 。特别地，对于每个 ι′(m,n)=f(m⊗n){\iota }^{\prime }\left( {m,n}\right) = f\left( {m \otimes n}\right) ，m∈M,n∈Nm \in M,n \in N 成立。根据对 ι′{\iota }^{\prime } 的第一个假设，这些元素生成 DD 作为阿贝尔群，因此 ff 是一个满射。现在，平衡映射 ι:M×N→M⊗RN\iota : M \times N \rightarrow M{ \otimes }_{R}N 以及对 ι′{\iota }^{\prime } 的第二个假设意味着存在一个（唯一的）同态 g:D→M⊗RNg : D \rightarrow M{ \otimes }_{R}N 使得 ι=g∘ι′\iota = g \circ {\iota }^{\prime } 。那么 m⊗n=(g∘f)(m⊗n)m \otimes n = \left( {g \circ f}\right) \left( {m \otimes n}\right) 。由于简单张量 m⊗nm \otimes n 生成 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N ，因此可以得出 g∘fg \circ f 是 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 上的恒等映射，所以 ff 是单射，因此是一个同构。这证明了推论。

我们现在回到给阿贝尔群 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 一个模块结构的问题。正如我们在特殊情况中观察到，将标量从 RR 扩展到 SS 对于 RR -模块 NN ，SS -模块结构在 S⊗RNS{ \otimes }_{R}N 上只需要一个左 SS -模块结构，以及对于 s,s′∈Ss,{s}^{\prime } \in S 和 r∈Rr \in R 的兼容关系 s′(sr)=(s′s)r{s}^{\prime }\left( {sr}\right) = \left( {{s}^{\prime }s}\right) r。在这个特殊情况下，这个关系仅仅是环 SS 中结合律的一个结果。为了在更一般的情况下获得 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 上的 SS -模块结构，我们在 MM 上强加一个类似的结构：

定义

设 RR 和 SS 是带有单位元的任意环。一个阿贝尔群 MM 被称为 (S,R)-双边模块，如果 MM 是一个左 SS -模块，一个右 RR -模块，并且对于所有的 s∈S,s \in S, r∈Rr \in R 和 m∈Mm \in M 满足 s(mr)=(sm)rs\left( {mr}\right) = \left( {sm}\right) r 。

示例

(1) 任何环 SS 对于任何子环 RR 都是 (S,R)-双边模块，因为 1R=1S{1}_{R} = {1}_{S} 乘法的结合性。更一般地，如果 f:R→Sf : R \rightarrow S 是任何环同态，且 f(1R)=1Sf\left( {1}_{R}\right) = {1}_{S} ，那么 SS 可以被视为一个右 RR -模块，其作用为 s⋅r=sf(r)s \cdot r = {sf}\left( r\right) ，相对于这个作用，SS 变成一个 (S,R)-双边模块。

(2) 设 II 是环 RR 中的一个理想（双边理想）。那么商环 R/IR/I 是一个 (R/I,R)\left( {R/I,R}\right) -双边模。这可以直接看出，也是前一个例子的特殊情况（关于典范投影同态 R→R/IR \rightarrow R/I ）。

(3) 假设 RR 是一个交换环。那么一个左（或右）RR -模 MM 总可以通过定义 mr=rm{mr} = {rm}（或 rm=mr{rm} = {mr}），对于所有的 m∈Mm \in M 和 r∈Rr \in R，使其具有右（或左）RR -模的结构，这使得 MM 成为一个(R,R)-双边模。因此，每个在交换环 RR 上的模（右模或左模）至少有一个自然的(R,R)-双边模结构。

(4) 假设 MM 是一个左 SS -模，RR 是包含在 SS 的中心内的子环（例如，如果 SS 是交换的）。那么特别是 RR 是交换的，因此 MM 可以像前一个例子那样具有一个右 RR -模结构。那么对于任何 s∈S,r∈Rs \in S,r \in R 和 m∈Mm \in M，根据 RR 的右作用的定义，我们有

(sm)r=r(sm)=(rs)m=(sr)m=s(rm)=s(mr)\left( {sm}\right) r = r\left( {sm}\right) = \left( {rs}\right) m = \left( {sr}\right) m = s\left( {rm}\right) = s\left( {mr}\right)

（注意我们在中间的等式中使用了 rr 与 ss 可交换的事实）。因此，根据对 RR 的右作用的这个定义，MM 是一个(S,R)-双边模。

由于例3中的情况经常出现，我们给这个双边模结构起了一个名字：

定义

假设 MM 是一个左（或右）RR -模，它是交换环 RR 上的。那么在 MM 上定义的 (R,R)-双边模结构，通过让左和右 RR -作用重合，即对于所有的 m∈Mm \in M 和 r∈Rr \in R，将被称为 MM 上的标准 RR -模结构。

现在假设 NN 是一个左 RR -模，MM 是一个 (S,R)-双边模。正如标量扩张的例子中一样，MM 上的 (S,R)-双边模结构意味着

s(∑finite mi⊗ni)=∑finite (smi)⊗ni(10.8)s\left( {\mathop{\sum }\limits_{\text{finite }}{m}_{i} \otimes {n}_{i}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{\text{finite }}\left( {s{m}_{i}}\right) \otimes {n}_{i} \tag{10.8}

给出了一个在 SS 下的良定义作用，使得 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 是一个左 SS -模。注意定理 10 可以用来给出一个备选证明，证明 (8) 是良定义的，用检查一个映射是 RR -平衡的来代替定义张量积关系的直接计算，如下所示。很容易看出，对于每个固定的 s∈Ss \in S，映射 (m,n)↦sm⊗n\left( {m,n}\right) \mapsto {sm} \otimes n 是从 M×NM \times N 到 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 的一个 RR -平衡映射。根据定理 10，存在一个从 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 到其自身的良定义群同态 λs{\lambda }_{s}，使得 λs(m⊗n)=sm⊗n{\lambda }_{s}\left( {m \otimes n}\right) = {sm} \otimes n。因为 (8) 右边的部分是 λs(∑mi⊗ni){\lambda }_{s}\left( {\sum {m}_{i} \otimes {n}_{i}}\right)，所以 λs{\lambda }_{s} 是良定义的，这表明这个表达式确实独立于张量 ∑mi⊗ni\sum {m}_{i} \otimes {n}_{i} 作为简单张量的和的表示。因为 λs{\lambda }_{s} 是加法的，方程 (8) 成立。

通过一个完全平行的论证，如果 MM 是一个右 RR -模并且 NN 是一个 (R,S)-双边模，那么张量积 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 具有右 SS -模的结构，其中 (∑mi⊗ni)s=∑mi⊗(nis).\left( {\sum {m}_{i} \otimes {n}_{i}}\right) s = \sum {m}_{i} \otimes \left( {{n}_{i}s}\right) .

在给出一些张量积的更多例子之前，值得强调前面讨论中经常遇到的一个特殊情况，即当 MM 和 NN 是一个交换环 RR 上的两个左模 S=RS = R（在一些关于张量积的研究中，这甚至是唯一考虑的情况）。那么之前定义的标准的 RR -模结构在 MM 上使其具有 (R,R)-双边模的结构，因此在这种情况下，张量积 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 总是具有左 RR -模的结构。

相应的映射 ι:M×N→M⊗RN\iota : M \times N \rightarrow M{ \otimes }_{R}N 将 M×NM \times N 映射到一个 RR -模，并且在每个因子中是加法的。因为 r(m⊗n)=rm⊗n=mr⊗n=m⊗rnr\left( {m \otimes n}\right) = {rm} \otimes n = {mr} \otimes n = m \otimes {rn} 它也满足

rι(m,n)=ι(rm,n)=ι(m,rn).{r\iota }\left( {m,n}\right) = \iota \left( {{rm},n}\right) = \iota \left( {m,{rn}}\right) .

这样的映射有一个名称：

定义

设 RR 是一个带有单位元的交换环，并且设 M,NM,N 和 LL 是左 RR -模。映射 φ:M×N→L\varphi : M \times N \rightarrow L 被称为 RR -双线性的，如果它在每个因子中都是 RR -线性的，即如果

φ(r1m1+r2m2,n)=r1φ(m1,n)+r2φ(m2,n),   and \varphi \left( {{r}_{1}{m}_{1} + {r}_{2}{m}_{2},n}\right) = {r}_{1}\varphi \left( {{m}_{1},n}\right) + {r}_{2}\varphi \left( {{m}_{2},n}\right) ,\;\text{ and }
φ(m,r1n1+r2n2)=r1φ(m,n1)+r2φ(m,n2)\varphi \left( {m,{r}_{1}{n}_{1} + {r}_{2}{n}_{2}}\right) = {r}_{1}\varphi \left( {m,{n}_{1}}\right) + {r}_{2}\varphi \left( {m,{n}_{2}}\right)

对于所有 m,m1,m2∈M,n,n1,n2∈Nm,{m}_{1},{m}_{2} \in M,n,{n}_{1},{n}_{2} \in N 和 r1,r2∈R{r}_{1},{r}_{2} \in R 。

使用这个术语，定理 10 给出

推论 12

假设 RR 是一个交换环。设 MM 和 NN 是两个左 RR -模，并且 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 是 MM 和 NN 关于 RR 的张量积，其中 MM 给定标准的 RR -模结构。那么 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 是一个左 RR -模，满足

r(m⊗n)=(rm)⊗n=(mr)⊗n=m⊗(rn),r\left( {m \otimes n}\right) = \left( {rm}\right) \otimes n = \left( {mr}\right) \otimes n = m \otimes \left( {rn}\right) ,

并且映射 ι:M×N→M⊗RN\iota : M \times N \rightarrow M{ \otimes }_{R}N 与 ι(m,n)=m⊗n\iota \left( {m,n}\right) = m \otimes n 是一个 RR -双线性映射。如果 LL 是任意一个左 RR -模，那么存在一个双射

{R-bilinear maps φ:M×N→L}↔{R-module homomorphisms Φ:M⊗RN→L}\left\{ \begin{matrix} R\text{-bilinear maps } \\ \varphi : M \times N \rightarrow L \end{matrix}\right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} R\text{-module homomorphisms } \\ \Phi : M{ \otimes }_{R}N \rightarrow L \end{matrix}\right\}

其中 φ\varphi 和 Φ\Phi 之间的对应关系由交换图给出

证明：我们已经证明了 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 是一个 RR -模，且 ι\iota 是双线性的。只剩下检查定理 10 中的双射对应中双线性映射与 RR -模同态的对应关系。如果 φ:M×N→L\varphi : M \times N \rightarrow L 是双线性的，那么它是一个 RR -平衡映射，因此对应的 Φ:M⊗RN\Phi : M{ \otimes }_{R}N 是一个群同态。此外，在简单张量 Φ((rm)⊗n)=φ(rm,n)=rφ(m,n)=rΦ(m⊗n)\Phi \left( {\left( {rm}\right) \otimes n}\right) = \varphi \left( {{rm},n}\right) = {r\varphi }\left( {m,n}\right) = {r\Phi }\left( {m \otimes n}\right) 上，中间的等式成立是因为 φ\varphi 在第一个变量上是 RR -线性的。由于 Φ\Phi 是加法的，这扩展到简单张量的和，从而证明 Φ\Phi 是一个 RR -模同态。反之，如果 Φ\Phi 是一个 RR -模同态，那么相应的平衡映射 φ\varphi 是双线性的，这是一个练习。

示例

(1) 在任何张量积 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 中，我们有 m⊗0=m⊗(0+0)=(m⊗0)+(m⊗0)m \otimes 0 = m \otimes \left( {0 + 0}\right) = \left( {m \otimes 0}\right) + \left( {m \otimes 0}\right) ，因此 m⊗0=0m \otimes 0 = 0 。同样 0⊗n=00 \otimes n = 0 。

(2) 我们有 Z/2Z⊗ZZ/3Z=0\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{ \otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} = 0，因为 3a=a{3a} = a 对于 a∈Z/2Za \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 使得

a⊗b=3a⊗b=a⊗3b=a⊗0=0a \otimes b = {3a} \otimes b = a \otimes {3b} = a \otimes 0 = 0

并且每个简单张量都简化为 0。特别地 1⊗1=01 \otimes 1 = 0。因此，不存在从 Z/2Z×Z/3Z\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} 到任何阿贝尔群的非零平衡（或双线性）映射。

另一方面，考虑张量积 Z/2Z⊗ZZ/2Z\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{ \otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}，它作为一个阿贝尔群由元素 0⊗0=1⊗0=0⊗1=00 \otimes 0 = 1 \otimes 0 = 0 \otimes 1 = 0 和 1⊗11 \otimes 1 生成。在这种情况下 1⊗1≠0  since,  for  example,  the  map  Z/2Z×Z/2Z→Z/2Z  defined  by  (a,b)↦ab1 \otimes 1 \neq 0\;\mathrm{{since}},\;\mathrm{{for}}\;\mathrm{{example}},\;\mathrm{{the}}\;\mathrm{{map}}\;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\;\mathrm{{defined}}\;\mathrm{{by}}\;\left( {a,b}\right) \mapsto {ab} 显然非零，并且在线性 aa 和 bb 中都是线性的。由于 2(1⊗1)=2⊗1=0⊗1=02\left( {1 \otimes 1}\right) = 2 \otimes 1 = 0 \otimes 1 = 0，元素 1⊗11 \otimes 1 的阶为 2。因此 Z/2Z⊗ZZ/2Z≅Z/2Z.\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{ \otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.

(3) 一般地，

Z/mZ⊗ZZ/nZ≅Z/dZ\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{ \otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}

其中 dd 是整数 mm 和 nn 的最大公约数。为了证明这一点，首先观察到

a⊗b=a⊗(b⋅1)=(ab)⊗1=ab(1⊗1),a \otimes b = a \otimes \left( {b \cdot 1}\right) = \left( {ab}\right) \otimes 1 = {ab}\left( {1 \otimes 1}\right) ,

由此得出 Z/mZ⊗ZZ/nZ\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{ \otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} 是一个循环群，以 1⊗11 \otimes 1 为生成元。由于 m(1⊗1)=m⊗1=0⊗1=0m\left( {1 \otimes 1}\right) = m \otimes 1 = 0 \otimes 1 = 0 并且同样 n(1⊗1)=1⊗n=0n\left( {1 \otimes 1}\right) = 1 \otimes n = 0，我们有 d(1⊗1)=0d\left( {1 \otimes 1}\right) = 0，因此循环群的阶除以 dd。映射 φ:Z/mZ×Z/nZ→\varphi : \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \rightarrow Z/dZ\mathbb{Z}/d\mathbb{Z} 定义为 φ(a  mod⁡  m,b  mod⁡  n)=ab  mod⁡  d\varphi \left( {a{\;\operatorname{mod}\;m},b{\;\operatorname{mod}\;n}}\right) = {ab}{\;\operatorname{mod}\;d} 是良定义的，因为 dd 同时整除 mm 和 nn。它显然是 Z\mathbb{Z} -双线性的。由引理 12 诱导的映射 Φ:Z/mZ⊗ZZ/nZ→Z/dZ\Phi : \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{ \otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/d\mathbb{Z} 将 1⊗11 \otimes 1 映射到元素 1∈Z/dZ1 \in \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}，这是阶为 dd 的元素。特别地 Z/mZ⊗ZZ/nZ\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{ \otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} 至少有阶 dd。因此 1⊗11 \otimes 1 是阶为 dd 的元素，Φ\Phi 给出了同构 Z/mZ⊗ZZ/nZ≅Z/dZ\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{ \otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}。

(4) 在 Q/Z⊗ZQ/Z\mathbb{Q}/\mathbb{Z}{ \otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}/\mathbb{Z} 中，一个简单张量具有形式 (a/b  mod⁡  Z)⊗(c/d  mod⁡  Z)\left( {a/b{\;\operatorname{mod}\;\mathbb{Z}}}\right) \otimes \left( {c/d{\;\operatorname{mod}\;\mathbb{Z}}}\right) 对于某些有理数 a/ba/b 和 c/dc/d。那么

(ab  mod⁡  Z)⊗(cd  mod⁡  Z)=d(abd  mod⁡  Z)⊗(cd  mod⁡  Z)\left( {\frac{a}{b}{\;\operatorname{mod}\;\mathbb{Z}}}\right) \otimes \left( {\frac{c}{d}{\;\operatorname{mod}\;\mathbb{Z}}}\right) = d\left( {\frac{a}{bd}{\;\operatorname{mod}\;\mathbb{Z}}}\right) \otimes \left( {\frac{c}{d}{\;\operatorname{mod}\;\mathbb{Z}}}\right)
=(abd  mod⁡  Z)⊗d(cd  mod⁡  Z)=(abd  mod⁡  Z)⊗0=0= \left( {\frac{a}{bd}{\;\operatorname{mod}\;\mathbb{Z}}}\right) \otimes d\left( {\frac{c}{d}{\;\operatorname{mod}\;\mathbb{Z}}}\right) = \left( {\frac{a}{bd}{\;\operatorname{mod}\;\mathbb{Z}}}\right) \otimes 0 = 0

因此

Q/Z⊗ZQ/Z=0\mathbb{Q}/\mathbb{Z}{ \otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}/\mathbb{Z} = 0

同样地，A⊗ZB=0A{ \otimes }_{\mathbb{Z}}B = 0 对于任何可除阿贝尔群 AA 和扭阿贝尔群 BB（即每个元素都有有限阶的阿贝尔群）。例如

Q⊗ZQ/Z=0\mathbb{Q}{ \otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}/\mathbb{Z} = 0

(5) 张量积的结构可能因所取的张量环的不同而有很大的差异。例如 Q⊗QQ\mathbb{Q}{ \otimes }_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q} 和 Q⊗ZQ\mathbb{Q}{ \otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q} 作为左 Q\mathbb{Q} -模是同构的（两者都是 Q\mathbb{Q} 上的1维向量空间） - 参见练习。另一方面，我们将在本节的最后看到 C⊗CC\mathbb{C}{ \otimes }_{\mathbb{C}}\mathbb{C} 和 C⊗RC\mathbb{C}{ \otimes }_{\mathbb{R}}\mathbb{C} 不是同构的 C\mathbb{C} -模（前者是 C\mathbb{C} 上的1维向量空间，而后者是 C\mathbb{C} 上的2维向量空间）。

(6) 一般的标量扩张或基变换：设 f:R→Sf : R \rightarrow S 是一个环同态，且 f(1R)=1Sf\left( {1}_{R}\right) = {1}_{S} 。那么 s⋅r=sf(r)s \cdot r = {sf}\left( r\right) 使得 SS 具有右 RR -模的结构，对于该结构，SS 是一个(S,R)-双模。然后对于任何左 RR -模 NN ，得到的张量积 S⊗RNS{ \otimes }_{R}N 是一个左 SS -模，通过将基从 RR 变换到 SS 得到。这给出了标量扩张概念的一个轻微推广（其中 RR 是 SS 的子环）。

(7) 设 f:R→Sf : R \rightarrow S 是如前例中的环同态。那么我们有 S⊗RR≅SS{ \otimes }_{R}R \cong S 作为左 SS -模，如下所示。由 (s,r)↦sr\left( {s,r}\right) \mapsto {sr} 定义的映射 φ:S×R→S\varphi : S \times R \rightarrow S（其中 sr=sf(r){sr} = {sf}\left( r\right) 由对 SS 的右 RR -作用的定义），是一个 RR -平衡映射，这一点很容易验证。例如，

φ(s1+s2,r)=(s1+s2)r=s1r+s2r=φ(s1,r)+φ(s2,r)\varphi \left( {{s}_{1} + {s}_{2},r}\right) = \left( {{s}_{1} + {s}_{2}}\right) r = {s}_{1}r + {s}_{2}r = \varphi \left( {{s}_{1},r}\right) + \varphi \left( {{s}_{2},r}\right)

并且

φ(sr,r′)=(sr)r′=s(rr′)=φ(s,rr′).\varphi \left( {{sr},{r}^{\prime }}\right) = \left( {sr}\right) {r}^{\prime } = s\left( {r{r}^{\prime }}\right) = \varphi \left( {s,r{r}^{\prime }}\right) .

由定理10，我们有一个与之相关的群同态 Φ:S⊗RR→S\Phi : S{ \otimes }_{R}R \rightarrow S ，与 Φ(s⊗r)=sr.Since⁡Φ(s′(s⊗r))=Φ(s′s⊗r)=s′sr⁡=s′Φ(s⊗r)\Phi \left( {s \otimes r}\right) = \operatorname{sr.Since}\Phi \left( {{s}^{\prime }\left( {s \otimes r}\right) }\right) = \Phi \left( {{s}^{\prime }s \otimes r}\right) = {s}^{\prime }\operatorname{sr} = {s}^{\prime }\Phi \left( {s \otimes r}\right) 相关，因此 Φ\Phi 也是一个 SS -模同态。映射 Φ′:S→S⊗RR{\Phi }^{\prime } : S \rightarrow S{ \otimes }_{R}R ，其中 s↦s⊗1s \mapsto s \otimes 1 是一个 SS -模同态，它是 Φ\Phi 的逆，因为 Φ∘Φ′(s)=Φ(s⊗1)=s\Phi \circ {\Phi }^{\prime }\left( s\right) = \Phi \left( {s \otimes 1}\right) = s 给出 ΦΦ′=1\Phi {\Phi }^{\prime } = 1 ，并且

Φ′∘Φ(s⊗r)=Φ′(sr)=sr⊗1=s⊗r{\Phi }^{\prime } \circ \Phi \left( {s \otimes r}\right) = {\Phi }^{\prime }\left( {sr}\right) = {sr} \otimes 1 = s \otimes r

表明 Φ′Φ{\Phi }^{\prime }\Phi 在简单张量上是恒等映射，因此 Φ′Φ=1{\Phi }^{\prime }\Phi = 1 。

(8) 设 RR 是一个环（不一定是交换的），设 II 是 RR 中的双边理想，设 NN 是一个左 RR -模。如前所述，R/IR/I 是一个 (R/I,R)\left( {R/I,R}\right) -双模，因此张量积 R/I⊗RNR/I{ \otimes }_{R}N 是一个左 R/IR/I -模。这是“扩展标量”的一个例子，相对于自然投影同态 R→R/IR \rightarrow R/I。

定义

IN={∑finite aini∣ai∈I,ni∈N},{IN} = \left\{ {\mathop{\sum }\limits_{\text{finite }}{a}_{i}{n}_{i} \mid {a}_{i} \in I,{n}_{i} \in N}\right\} ,

这可以容易地看出是 NN 的一个左 RR -子模（参见练习5，第1节）。然后

(R/I)⊗RN≅N/IN\left( {R/I}\right) { \otimes }_{R}N \cong N/{IN}

作为左 RR -模，如下所示。张量积作为一个阿贝尔群由简单张量 (r  mod⁡  I)⊗n=r(1⊗n)\left( {r{\;\operatorname{mod}\;I}}\right) \otimes n = r\left( {1 \otimes n}\right) 生成，对于 r∈Rr \in R 和 n∈Nn \in N （将 R/IR/I -模的张量积视为一个 RR -模，在该模上 II 作用平凡）。因此元素 1⊗n1 \otimes n 生成 (R/I)⊗RN\left( {R/I}\right) { \otimes }_{R}N 作为 R/IR/I -模。由 N→(R/I)⊗RNN \rightarrow \left( {R/I}\right) { \otimes }_{R}N 定义的映射是一个左 RR -模同态，并且，根据之前的观察，是满射。在这个映射下 aini{a}_{i}{n}_{i} 与 ai∈I{a}_{i} \in I 和 ni∈N{n}_{i} \in N 映射到 1⊗aini=1 \otimes {a}_{i}{n}_{i} = ai⊗ni=0{a}_{i} \otimes {n}_{i} = 0 ，因此 IN{IN} 包含在核中。这诱导出一个满射的 RR -模同态 f:N/IN→(R/I)⊗RNf : N/{IN} \rightarrow \left( {R/I}\right) { \otimes }_{R}N ，其核为 f(n  mod⁡  I)=1⊗nf\left( {n{\;\operatorname{mod}\;I}}\right) = 1 \otimes n 。我们通过展示其逆映射来证明 ff 是同构。由映射 (R/I)×N→N/IN\left( {R/I}\right) \times N \rightarrow N/{IN} 定义的映射，将 (r  mod⁡  I,n)\left( {r{\;\operatorname{mod}\;I},n}\right) 映射到 (rn  mod⁡  IN)\left( {{rn}{\;\operatorname{mod}\;I}N}\right) 是良定义的，并且容易验证是 RR -平衡的。由定理10可知，存在一个相关的群同态 g:(R/I)⊗N→N/INg : \left( {R/I}\right) \otimes N \rightarrow N/{IN} ，其核为 g((r  mod⁡  I)⊗n)=rn  mod⁡  INg\left( {\left( {r{\;\operatorname{mod}\;I}}\right) \otimes n}\right) = {rn}{\;\operatorname{mod}\;I}N 。如往常一样，fg=1{fg} = 1 和 gf=1{gf} = 1 ，所以 ff 是一个双射，并且 (R/I)⊗RN≅N/IN\left( {R/I}\right) { \otimes }_{R}N \cong N/{IN} ，如所声称的。

作为一个例子，设 R=ZR = \mathbb{Z} 带有理想 I=mZI = m\mathbb{Z} ，并设 NN 为 Z\mathbb{Z} -模 Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} 。那么 IN=m(Z/nZ)=(mZ+nZ)/nZ=dZ/nZ{IN} = m\left( {\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}\right) = \left( {m\mathbb{Z} + n\mathbb{Z}}\right) /n\mathbb{Z} = d\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} ，其中 dd 是 mm 和 nn 的最大公约数。那么 N/IN≅Z/dZN/{IN} \cong \mathbb{Z}/d\mathbb{Z} ，我们恢复了上面例3中的同构 Z/mZ⊗ZZ/nZ≅Z/dZ\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{ \otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}。

我们现在确定张量积的一些基本性质。注意定理10在此经常被应用于证明同态的存在性。

定理13（两个同态的“张量积”）

设 M,M′M,{M}^{\prime } 是右 RR -模，N,N′N,{N}^{\prime } 是左 RR -模，并且假设 φ:M→M′\varphi : M \rightarrow {M}^{\prime } 和 ψ:N→N′\psi : N \rightarrow {N}^{\prime } 是 RR -模同态。

(1) 存在唯一的群同态，记为 φ⊗ψ\varphi \otimes \psi，将 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 映射到 M′⊗RN′{M}^{\prime }{ \otimes }_{R}{N}^{\prime }，使得对于所有 m∈Mm \in M 和 n∈Nn \in N 满足 (φ⊗ψ)(m⊗n)=φ(m)⊗ψ(n)\left( {\varphi \otimes \psi }\right) \left( {m \otimes n}\right) = \varphi \left( m\right) \otimes \psi \left( n\right)。

(2) 如果 M,M′M,{M}^{\prime } 对于某个环 SS 也是(S,R)-双模，并且 φ\varphi 也是 SS -模同态，那么 φ⊗ψ\varphi \otimes \psi 是左 SS -模的同态。特别地，如果 RR 是交换的，那么 φ⊗ψ\varphi \otimes \psi 对于标准的 RR -模结构总是 RR -模同态。

(3) 如果 λ:M′→M′′\lambda : {M}^{\prime } \rightarrow {M}^{\prime \prime } 和 μ:N′→N′′\mu : {N}^{\prime } \rightarrow {N}^{\prime \prime } 是 RR -模同态，那么 (λ⊗μ)∘(φ⊗ψ)=(λ∘φ)⊗(μ∘ψ).\left( {\lambda \otimes \mu }\right) \circ \left( {\varphi \otimes \psi }\right) = \left( {\lambda \circ \varphi }\right) \otimes \left( {\mu \circ \psi }\right) .。

证明：从 M×NM \times N 到 M′⊗RN′{M}^{\prime }{ \otimes }_{R}{N}^{\prime } 的映射 (m,n)↦φ(m)⊗ψ(n)\left( {m,n}\right) \mapsto \varphi \left( m\right) \otimes \psi \left( n\right) 显然是 RR -平衡的，因此 (1) 直接从定理10得出。

在 (2) 中，SS 对 MM 的（左）作用定义以及假设 φ\varphi 是 SS -模同态意味着在简单张量上。

(φ⊗ψ)(s(m⊗n))=(φ⊗ψ)(sm⊗n)=φ(sm)⊗ψ(n)=sφ(m)⊗ψ(n).\left( {\varphi \otimes \psi }\right) \left( {s\left( {m \otimes n}\right) }\right) = \left( {\varphi \otimes \psi }\right) \left( {{sm} \otimes n}\right) = \varphi \left( {sm}\right) \otimes \psi \left( n\right) = {s\varphi }\left( m\right) \otimes \psi \left( n\right) .

Since φ⊗ψ\varphi \otimes \psi is additive,this extends to sums of simple tensors to show that φ⊗ψ\varphi \otimes \psi is an SS -module homomorphism. This gives (2).

The uniqueness condition in Theorem 10 implies (3), which completes the proof.

The uniqueness condition in Theorem 10 implies (3), which completes the proof.

The next result shows that we may write M⊗N⊗LM \otimes N \otimes L ,or more generally,an nn -fold tensor product M1⊗M2⊗⋯⊗Mn{M}_{1} \otimes {M}_{2} \otimes \cdots \otimes {M}_{n} ,unambiguously whenever it is defined.

The next result shows that we may write M⊗N⊗LM \otimes N \otimes L ,or more generally,an nn -fold tensor product M1⊗M2⊗⋯⊗Mn{M}_{1} \otimes {M}_{2} \otimes \cdots \otimes {M}_{n} ,unambiguously whenever it is defined.

Theorem 14. (Associativity of the Tensor Product) Suppose MM is a right RR -module, NN is an(R,T)-bimodule,and LL is a left TT -module. Then there is a unique isomorphism

Theorem 14. (Associativity of the Tensor Product) Suppose MM is a right RR -module, NN is an(R,T)-bimodule,and LL is a left TT -module. Then there is a unique isomorphism

(M⊗RN)⊗TL≅M⊗R(N⊗TL)\left( {M{ \otimes }_{R}N}\right) { \otimes }_{T}L \cong M{ \otimes }_{R}\left( {N{ \otimes }_{T}L}\right)

of abelian groups such that (m⊗n)⊗l↦m⊗(n⊗l)\left( {m \otimes n}\right) \otimes l \mapsto m \otimes \left( {n \otimes l}\right) . If MM is an(S,R)-bimodule, then this is an isomorphism of SS -modules.

of abelian groups such that (m⊗n)⊗l↦m⊗(n⊗l)\left( {m \otimes n}\right) \otimes l \mapsto m \otimes \left( {n \otimes l}\right) . If MM is an(S,R)-bimodule, then this is an isomorphism of SS -modules.

Proof: Note first that the(R,T)-bimodule structure on NN makes M⊗RNM{ \otimes }_{R}N into a right TT -module and N⊗TLN{ \otimes }_{T}L into a left RR -module,so both sides of the isomorphism are well defined. For each fixed l∈Ll \in L ,the mapping (m,n)↦m⊗(n⊗l)\left( {m,n}\right) \mapsto m \otimes \left( {n \otimes l}\right) is RR -balanced, so by Theorem 10 there is a homomorphism M⊗RN→M⊗R(N⊗TL)M{ \otimes }_{R}N \rightarrow M{ \otimes }_{R}\left( {N{ \otimes }_{T}L}\right) with m⊗n↦m⊗(n⊗l)m \otimes n \mapsto m \otimes \left( {n \otimes l}\right) . This shows that the map from (M⊗RN)×L\left( {M{ \otimes }_{R}N}\right) \times L to M⊗R(N⊗TL)M{ \otimes }_{R}\left( {N{ \otimes }_{T}L}\right) given by (m⊗n,l)↦m⊗(n⊗l)\left( {m \otimes n,l}\right) \mapsto m \otimes \left( {n \otimes l}\right) is well defined. Since it is easily seen to be TT - balanced, another application of Theorem 10 implies that it induces a homomorphism (M⊗RN)⊗TL→M⊗R(N⊗TL)\left( {M{ \otimes }_{R}N}\right) { \otimes }_{T}L \rightarrow M{ \otimes }_{R}\left( {N{ \otimes }_{T}L}\right) such that (m⊗n)⊗l↦m⊗(n⊗l)\left( {m \otimes n}\right) \otimes l \mapsto m \otimes \left( {n \otimes l}\right) . In a similar way we can construct a homomorphism in the opposite direction that is inverse to this one. This proves the group isomorphism.

Proof: Note first that the(R,T)-bimodule structure on NN makes M⊗RNM{ \otimes }_{R}N into a right TT -module and N⊗TLN{ \otimes }_{T}L into a left RR -module,so both sides of the isomorphism are well defined. For each fixed l∈Ll \in L ,the mapping (m,n)↦m⊗(n⊗l)\left( {m,n}\right) \mapsto m \otimes \left( {n \otimes l}\right) is RR -balanced, so by Theorem 10 there is a homomorphism M⊗RN→M⊗R(N⊗TL)M{ \otimes }_{R}N \rightarrow M{ \otimes }_{R}\left( {N{ \otimes }_{T}L}\right) with m⊗n↦m⊗(n⊗l)m \otimes n \mapsto m \otimes \left( {n \otimes l}\right) . This shows that the map from (M⊗RN)×L\left( {M{ \otimes }_{R}N}\right) \times L to M⊗R(N⊗TL)M{ \otimes }_{R}\left( {N{ \otimes }_{T}L}\right) given by (m⊗n,l)↦m⊗(n⊗l)\left( {m \otimes n,l}\right) \mapsto m \otimes \left( {n \otimes l}\right) is well defined. Since it is easily seen to be TT - balanced, another application of Theorem 10 implies that it induces a homomorphism (M⊗RN)⊗TL→M⊗R(N⊗TL)\left( {M{ \otimes }_{R}N}\right) { \otimes }_{T}L \rightarrow M{ \otimes }_{R}\left( {N{ \otimes }_{T}L}\right) such that (m⊗n)⊗l↦m⊗(n⊗l)\left( {m \otimes n}\right) \otimes l \mapsto m \otimes \left( {n \otimes l}\right) . In a similar way we can construct a homomorphism in the opposite direction that is inverse to this one. This proves the group isomorphism.

Assume in addition MM is an(S,R)-bimodule. Then for s∈Ss \in S and t∈Tt \in T we have

假设在此外 MM 是一个(S,R)-双模。那么对于 s∈Ss \in S 和 t∈Tt \in T 我们有

s((m⊗n)t)=s(m⊗nt)=sm⊗nt=(sm⊗n)t=(s(m⊗n))t\begin{matrix} s\left( {\left( {m \otimes n}\right) t}\right) = s\left( {m \otimes {nt}}\right) = {sm} \otimes {nt} = \left( {{sm} \otimes n}\right) t = \left( {s\left( {m \otimes n}\right) }\right) t \end{matrix}

so that M⊗RNM{ \otimes }_{R}N is an(S,T)-bimodule. Hence (M⊗RN)⊗TL\left( {M{ \otimes }_{R}N}\right) { \otimes }_{T}L is a left SS -module. Since N⊗TLN{ \otimes }_{T}L is a left RR -module,also M⊗R(N⊗TL)M{ \otimes }_{R}\left( {N{ \otimes }_{T}L}\right) is a left SS -module. The group isomorphism just established is easily seen to be a homomorphism of left SS -modules by the same arguments used in previous proofs: it is additive and is SS -linear on simple tensors since s((m⊗n)⊗l)=s(m⊗n)⊗l=(sm⊗n)⊗ls\left( {\left( {m \otimes n}\right) \otimes l}\right) = s\left( {m \otimes n}\right) \otimes l = \left( {{sm} \otimes n}\right) \otimes l maps to the element sm⊗(n⊗l)=s(m⊗(n⊗l)){sm} \otimes \left( {n \otimes l}\right) = s\left( {m \otimes \left( {n \otimes l}\right) }\right) . The proof is complete.

使得 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 是一个(S,T)-双模。因此 (M⊗RN)⊗TL\left( {M{ \otimes }_{R}N}\right) { \otimes }_{T}L 是一个左 SS -模。由于 N⊗TLN{ \otimes }_{T}L 是一个左 RR -模，同样 M⊗R(N⊗TL)M{ \otimes }_{R}\left( {N{ \otimes }_{T}L}\right) 也是一个左 SS -模。刚刚建立的群同构容易看出是一个左 SS -模的同态，使用之前证明中相同的论据：它是加法的，并且在简单张量上是 SS -线性的，因为 s((m⊗n)⊗l)=s(m⊗n)⊗l=(sm⊗n)⊗ls\left( {\left( {m \otimes n}\right) \otimes l}\right) = s\left( {m \otimes n}\right) \otimes l = \left( {{sm} \otimes n}\right) \otimes l 映射到元素 sm⊗(n⊗l)=s(m⊗(n⊗l)){sm} \otimes \left( {n \otimes l}\right) = s\left( {m \otimes \left( {n \otimes l}\right) }\right) 。证明完毕。

推论 15。假设 RR 是交换的，并且 M,NM,N 和 LL 是左 RR -模。那么

(M⊗N)⊗L≅M⊗(N⊗L)\left( {M \otimes N}\right) \otimes L \cong M \otimes \left( {N \otimes L}\right)

作为 RR -模，对于 M,NM,N 和 LL 上的标准 RR -模结构。

对于双线性映射的概念有一个自然的推广：

定义

设 RR 是一个带有单位元的交换环，并且设 M1,M2,…,Mn{M}_{1},{M}_{2},\ldots ,{M}_{n} 和 LL 是 RR -模，带有标准的 RR -模结构。一个映射 φ:M1×⋯×Mn→L\varphi : {M}_{1} \times \cdots \times {M}_{n} \rightarrow L 被称为在 RR 上 nn -多线性（或者如果 nn 和 RR 的上下文清楚，则简单地称为多线性），如果它在每个组成部分都是一个 RR -模同态，当其他组成部分的条目保持不变时，即对于每个 ii

φ(m1,…,mi−1,rmi+r′mi′,mi+1,…,mn)\varphi \left( {{m}_{1},\ldots ,{m}_{i - 1},r{m}_{i} + {r}^{\prime }{m}_{i}^{\prime },{m}_{i + 1},\ldots ,{m}_{n}}\right)
=rφ(m1,…,mi,…,mn)+r′φ(m1,…,mi′,…,mn)= {r\varphi }\left( {{m}_{1},\ldots ,{m}_{i},\ldots ,{m}_{n}}\right) + {r}^{\prime }\varphi \left( {{m}_{1},\ldots ,{m}_{i}^{\prime },\ldots ,{m}_{n}}\right)

对于所有 mi,mi′∈Mi{m}_{i},{m}_{i}^{\prime } \in {M}_{i} 和 r,r′∈Rr,{r}^{\prime } \in R 。当 n=2n = 2（分别地，3）时，人们说 φ\varphi 是双线性（分别地，三线性）而不是2-多线性（或3-多线性）。

人们可以从基本原理出发构造 nn -重张量积 M1⊗M2⊗⋯⊗Mn{M}_{1} \otimes {M}_{2} \otimes \cdots \otimes {M}_{n} 并证明其与从 M1×⋯×Mn{M}_{1} \times \cdots \times {M}_{n} 到 LL 的多线性映射相关的类似通用性质。然而，根据之前的定理和推论，一个 nn -重张量积可以通过重复一对模块的张量积明确地得到，因为任何将 M1⊗⋯⊗Mn{M}_{1} \otimes \cdots \otimes {M}_{n} 括入一对模块张量积的括号都会给出一个同构的 RR -模块。定理10和推论12中一对模块张量积的通用性质接着意味着多线性映射唯一地分解通过 RR -模块 M1⊗⋯⊗Mn{M}_{1} \otimes \cdots \otimes {M}_{n} ，即，这个张量积是关于多线性函数的通用对象：

推论16

设 RR 为一个交换环，并且设 M1,…,Mn,L{M}_{1},\ldots ,{M}_{n},L 为 RR -模块。设 M1⊗M2⊗⋯⊗Mn{M}_{1} \otimes {M}_{2} \otimes \cdots \otimes {M}_{n} 表示这些模块张量积的任意括号，并且设

ι:M1×⋯×Mn→M1⊗⋯⊗Mn\iota : {M}_{1} \times \cdots \times {M}_{n} \rightarrow {M}_{1} \otimes \cdots \otimes {M}_{n}

为由 ι(m1,…,mn)=m1⊗⋯⊗mn\iota \left( {{m}_{1},\ldots ,{m}_{n}}\right) = {m}_{1} \otimes \cdots \otimes {m}_{n} 定义的映射。那么

(1) 对于每个 RR -模块同态 Φ:M1⊗⋯⊗Mn→L\Phi : {M}_{1} \otimes \cdots \otimes {M}_{n} \rightarrow L ，映射 φ=Φ∘ι\varphi = \Phi \circ \iota 是从 M1×⋯×Mn{M}_{1} \times \cdots \times {M}_{n} 到 LL 的 nn -多线性映射，并且

(2) 如果 φ:M1×⋯×Mn→L\varphi : {M}_{1} \times \cdots \times {M}_{n} \rightarrow L 是一个 nn -多线性映射，那么存在一个唯一的 RR -模块同态 Φ:M1⊗⋯⊗Mn→L\Phi : {M}_{1} \otimes \cdots \otimes {M}_{n} \rightarrow L 使得 φ=Φ∘ι\varphi = \Phi \circ \iota 。

因此存在一个双射

{n-multilinear maps φ:M1×⋯×Mn→L}↔{R-module homomorphisms Φ:M1⊗⋯⊗Mn→L}\left\{ \begin{matrix} n\text{-multilinear maps } \\ \varphi : {M}_{1} \times \cdots \times {M}_{n} \rightarrow L \end{matrix}\right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} R\text{-module homomorphisms } \\ \Phi : {M}_{1} \otimes \cdots \otimes {M}_{n} \rightarrow L \end{matrix}\right\}

对于这个双射，以下图表可交换：

我们已经看到了一些例子，其中 M1⊗RN{M}_{1}{ \otimes }_{R}N 不包含在 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 中，即使 M1{M}_{1} 是 MM 的一个 RR 子模。下一个结果特别表明，如果 M1{M}_{1} 是 MM 的一个 RR 子模直和项，那么（一个同构副本的）M1⊗RN{M}_{1}{ \otimes }_{R}N 包含在 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 中。

定理 17.（直和的张量积）

设 M,M′M,{M}^{\prime } 是右 RR 模，N,N′N,{N}^{\prime } 是左 RR 模。那么存在唯一的群同构

(M⊕M′)⊗RN≅(M⊗RN)⊕(M′⊗RN)\left( {M \oplus {M}^{\prime }}\right) { \otimes }_{R}N \cong \left( {M{ \otimes }_{R}N}\right) \oplus \left( {{M}^{\prime }{ \otimes }_{R}N}\right)
M⊗R(N⊕N′)≅(M⊗RN)⊕(M⊗RN′)M{ \otimes }_{R}\left( {N \oplus {N}^{\prime }}\right) \cong \left( {M{ \otimes }_{R}N}\right) \oplus \left( {M{ \otimes }_{R}{N}^{\prime }}\right)

such  that  (m,m′)⊗n↦(m⊗n,m′⊗n)  and  m⊗(n,n′)↦(m⊗n,m⊗n′)  respectively.\mathrm{{such}}\;\mathrm{{that}}\;\left( {m,{m}^{\prime }}\right) \otimes n \mapsto \left( {m \otimes n,{m}^{\prime } \otimes n}\right) \;\mathrm{{and}}\;m \otimes \left( {n,{n}^{\prime }}\right) \mapsto \left( {m \otimes n,m \otimes {n}^{\prime }}\right) \;\mathrm{{respectively}}. 如果 M,M′M,{M}^{\prime } 也是 (S,R)-双边模，那么这些是左 SS 模的同构。特别地，如果 RR 是交换的，那么这些是 RR 模的同构。

证明：由 ((m,m′),n)↦\left( {\left( {m,{m}^{\prime }}\right) ,n}\right) \mapsto (m⊗n,m′⊗n)\left( {m \otimes n,{m}^{\prime } \otimes n}\right) 定义的 map⁡(M⊕M′)×N→(M⊗RN)⊕(M′⊗RN)\operatorname{map}\left( {M \oplus {M}^{\prime }}\right) \times N \rightarrow \left( {M{ \otimes }_{R}N}\right) \oplus \left( {{M}^{\prime }{ \otimes }_{R}N}\right) 是良定义的，因为 mm 和 m′{m}^{\prime } 在 M⊕M′M \oplus {M}^{\prime } 中的定义是唯一的。映射显然是 RR -平衡的，因此从 (M⊕M′)⊗N\left( {M \oplus {M}^{\prime }}\right) \otimes N 到 (M⊗RN)⊕(M′⊗RN)\left( {M{ \otimes }_{R}N}\right) \oplus \left( {{M}^{\prime }{ \otimes }_{R}N}\right) 引导出一个同态 ff。

f((m,m′)⊗n)=(m⊗n,m′⊗n).f\left( {\left( {m,{m}^{\prime }}\right) \otimes n}\right) = \left( {m \otimes n,{m}^{\prime } \otimes n}\right) .

在另一个方向上，RR -平衡映射 M×N→(M⊕M′)⊗RNM \times N \rightarrow \left( {M \oplus {M}^{\prime }}\right) { \otimes }_{R}N 和 M′×N→{M}^{\prime } \times N \rightarrow (M⊕M′)⊗RN  given  by  (m,n)↦(m,0)⊗n  and  (m′,n)↦(0,m′)⊗n,respectively,\left( {M \oplus {M}^{\prime }}\right) { \otimes }_{R}N\;\mathrm{{given}}\;\mathrm{{by}}\;\left( {m,n}\right) \mapsto \left( {m,0}\right) \otimes n\;\mathrm{{and}}\;\left( {{m}^{\prime },n}\right) \mapsto \left( {0,{m}^{\prime }}\right) \otimes n,\mathrm{{respectively}}, 定义了从 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 和 M′⊗RN{M}^{\prime }{ \otimes }_{R}N 到 (M⊕M′)⊗RN\left( {M \oplus {M}^{\prime }}\right) { \otimes }_{R}N 的同态。这些反过来又给出了从直和 (M⊗RN)⊕(M′⊗RN)\left( {M{ \otimes }_{R}N}\right) \oplus \left( {{M}^{\prime }{ \otimes }_{R}N}\right) 到 (M⊕M′)⊗RN\left( {M \oplus {M}^{\prime }}\right) { \otimes }_{R}N 的同态 gg。

g((m⊗n1,m′⊗n2))=(m,0)⊗n1+(0,m′)⊗n2.g\left( \left( {m \otimes {n}_{1},{m}^{\prime } \otimes {n}_{2}}\right) \right) = \left( {m,0}\right) \otimes {n}_{1} + \left( {0,{m}^{\prime }}\right) \otimes {n}_{2}.

一个简单的检查表明 ff 和 gg 是逆同态，当 MM 和 M′{M}^{\prime } 是 (S,R)-双边模时，它们是 SS -模同构。这完成了证明。

前一个定理显然可以通过归纳扩展到任何有限直和的 RR -模。对于任意的直和，相应的结果也是成立的。例如

M⊗(⊕i∈INi)≅⊕i∈I(M⊗Ni)M \otimes \left( {{ \oplus }_{i \in I}{N}_{i}}\right) \cong { \oplus }_{i \in I}\left( {M \otimes {N}_{i}}\right)

其中 II 是任意的指标集（参见练习）。这个结果指的是张量积与直和交换。

推论 18。（自由模的标量扩展）通过从 RR 到 SS 的标量扩展得到的自由 RR -模 N≅RnN \cong {R}^{n} 所得到的模是自由 SS -模 Sn{S}^{n}，即，

S⊗RRn≅SnS{ \otimes }_{R}{R}^{n} \cong {S}^{n}

作为左 SS -模。

证明：这直接从定理 17 和在之前的例 7 中证明的同构 S⊗RR≅S{ \otimes }_{R}R \cong SS 得出。

推论 19

设 RR 是一个交换环，并且设 M≅RsM \cong {R}^{s} 和 N≅RtN \cong {R}^{t} 是带有基 m1,…,ms{m}_{1},\ldots ,{m}_{s} 和 n1,…,nt{n}_{1},\ldots ,{n}_{t} 的自由 RR -模。那么 M⊗RNM{ \otimes }_{R}N 是一个秩为 st{st} 的自由 RR -模，其基为 mi⊗nj,1≤i≤s{m}_{i} \otimes {n}_{j},1 \leq i \leq s 和 1≤j≤t1 \leq j \leq t，即，

Rs⊗RRt≅Rst.{R}^{s}{ \otimes }_{R}{R}^{t} \cong {R}^{st}.

注释：更一般地，两个在交换环上任意秩的自由模的张量积是自由的（参见练习）。

证明：这很容易从定理 17 和跟在推论 9 之后的第一个例子得出。

命题 20. 假设 RR 是一个交换环，M,NM,N 是左 RR -模，考虑其标准的 RR -模结构。那么存在唯一的 RR -模同构

M⊗RN≅N⊗RMM{ \otimes }_{R}N \cong N{ \otimes }_{R}M

将 m⊗nm \otimes n 映射到 n⊗mn \otimes m。

证明：由 (m,n)↦n⊗m\left( {m,n}\right) \mapsto n \otimes m 定义的映射 M×N→N⊗MM \times N \rightarrow N \otimes M 是 RR -平衡的。因此它诱导出一个唯一的同态 ff 从 M⊗NM \otimes N 到 N⊗MN \otimes M，满足 f(m⊗n)=f\left( {m \otimes n}\right) = n⊗mn \otimes m。类似地，我们有一个唯一的同态 gg 从 N⊗MN \otimes M 到 M⊗NM \otimes N，满足 g(n⊗m)=m⊗ng\left( {n \otimes m}\right) = m \otimes n，给出 ff 的逆，且这两个映射都容易看出是 RR -模同构。

注释：当 M=NM = N 时，一般来说 a⊗b=b⊗aa \otimes b = b \otimes a 对于 a,b∈Ma,b \in M 并不成立。我们将在第 11.6 节研究“对称张量”。

我们通过展示 RR -代数的张量积再次成为一个 RR -代数来结束本节。

命题 21

设 RR 是一个交换环，AA 和 BB 是 RR -代数。那么乘法 (a⊗b)(a′⊗b′)=aa′⊗bb′\left( {a \otimes b}\right) \left( {{a}^{\prime } \otimes {b}^{\prime }}\right) = a{a}^{\prime } \otimes b{b}^{\prime } 是良定义的，使得 A⊗RBA{ \otimes }_{R}B 成为一个 RR -代数。

证明：首先注意到 RR -代数的定义表明...

r(a⊗b)=ra⊗b=ar⊗b=a⊗rb=a⊗br=(a⊗b)rr\left( {a \otimes b}\right) = {ra} \otimes b = {ar} \otimes b = a \otimes {rb} = a \otimes {br} = \left( {a \otimes b}\right) r

对于每一个 r∈R,a∈Ar \in R,a \in A 和 b∈Bb \in B 。为了证明 A⊗BA \otimes B 是一个 RR -代数，主要任务，如往常一样，是证明指定的乘法是良定义的。进行下去的一种方法是两次应用引理16，如下所示。由 f(a,b,a′,b′)=aa′⊗bb′f\left( {a,b,{a}^{\prime },{b}^{\prime }}\right) = a{a}^{\prime } \otimes b{b}^{\prime } 定义的映射 φ:A×B×A×B→A⊗B\varphi : A \times B \times A \times B \rightarrow A \otimes B 在 RR 上是双线性的。例如，

f(a,r1b1+r2b2,a′,b′)=aa′⊗(r1b1+r2b2)b′f\left( {a,{r}_{1}{b}_{1} + {r}_{2}{b}_{2},{a}^{\prime },{b}^{\prime }}\right) = a{a}^{\prime } \otimes \left( {{r}_{1}{b}_{1} + {r}_{2}{b}_{2}}\right) {b}^{\prime }
=aa′⊗r1b1b′+aa′⊗r2b2b′= a{a}^{\prime } \otimes {r}_{1}{b}_{1}{b}^{\prime } + a{a}^{\prime } \otimes {r}_{2}{b}_{2}{b}^{\prime }
=r1f(a,b1,a′,b′)+r2f(a,b2,a′,b′).= {r}_{1}f\left( {a,{b}_{1},{a}^{\prime },{b}^{\prime }}\right) + {r}_{2}f\left( {a,{b}_{2},{a}^{\prime },{b}^{\prime }}\right) .

由引理16，存在一个相应的 RR -模同态 Φ\Phi 从 A⊗B⊗A \otimes B \otimes A⊗BA \otimes B 到 A⊗BA \otimes B ，满足 Φ(a⊗b⊗a′⊗b′)=aa′⊗bb′\Phi \left( {a \otimes b \otimes {a}^{\prime } \otimes {b}^{\prime }}\right) = a{a}^{\prime } \otimes b{b}^{\prime } 。将 A⊗B⊗A⊗BA \otimes B \otimes A \otimes B 视为 (A⊗B)⊗(A⊗B)\left( {A \otimes B}\right) \otimes \left( {A \otimes B}\right) ，我们可以再次应用引理16，以获得一个良定义的 RR -双线性映射 φ′{\varphi }^{\prime } 从 (A⊗B)×(A⊗B)\left( {A \otimes B}\right) \times \left( {A \otimes B}\right) 到 A⊗BA \otimes B ，满足 φ′(a⊗b,a′⊗b′)=aa′⊗bb′.{\varphi }^{\prime }\left( {a \otimes b,{a}^{\prime } \otimes {b}^{\prime }}\right) = a{a}^{\prime } \otimes b{b}^{\prime }. 。这表明乘法确实是良定义的（同时也满足分配律）。现在，验证 A⊗BA \otimes B 在此乘法下是一个 RR -代数，是一个简单的问题（留给练习）。

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