9.2 定义在域上的多项式环1

定义在域上的多项式环 I

我们现在更仔细地考虑系数环是一个域 $F$ 的情况。我们可以通过定义 $N\left( {p\left( x\right) }\right) =$ $p\left( x\right)$ 的度数（其中我们设定 $N\left( 0\right) = 0$ ）在 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 上定义一个范数。从初等代数我们知道，我们可以用一个有理系数的多项式除以另一个（非零的）有理系数多项式，得到一个商和一个余数。这在任何域上也是成立的。

定理3

设 $F$ 是一个域。多项式环 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 是一个欧几里得域。具体来说，如果 $a\left( x\right)$ 和 $b\left( x\right)$ 是 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 中的两个多项式，且 $b\left( x\right)$ 非零，那么存在唯一的 $q\left( x\right)$ 和 $r\left( x\right)$ 在 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 中，使得

证明：如果 $a\left( x\right)$ 是零多项式，那么取 $q\left( x\right) = r\left( x\right) = 0$ 。因此我们可以假设 $a\left( x\right) \neq 0$ 并通过归纳法证明 $q\left( x\right)$ 和 $r\left( x\right)$ 的存在性，归纳的依据是 $n =$ 的度数 $a\left( x\right)$ 。设 $b\left( x\right)$ 的度数为 $m$ 。如果 $n < m$ ，那么取 $q\left( x\right) = 0$ 和 $r\left( x\right) = a\left( x\right)$ 。否则 $n \geq m$ 。写为

并且

那么多项式 ${a}^{\prime }\left( x\right) = a\left( x\right) - \frac{{a}_{n}}{{b}_{m}}{x}^{n - m}b\left( x\right)$ 的度数小于 $n$（我们已经安排从 $a\left( x\right)$ 中减去首项）。注意这个多项式是定义良好的，因为系数是从一个域中取的，且 ${b}_{m} \neq 0$ 。因此，通过归纳，存在多项式 ${q}^{\prime }\left( x\right)$ 和 $r\left( x\right)$ 使得

然后，令 $q\left( x\right) = {q}^{\prime }\left( x\right) + \frac{{a}_{n}}{{b}_{m}}{x}^{n - m}$ ，我们有

完成归纳步骤。

关于唯一性，假设 ${q}_{1}\left( x\right)$ 和 ${r}_{1}\left( x\right)$ 也满足定理的条件。那么 $a\left( x\right) - q\left( x\right) b\left( x\right)$ 和 $a\left( x\right) - {q}_{1}\left( x\right) b\left( x\right)$ 的次数都小于 $m =$ 的次数 $b\left( x\right)$。这两个多项式的差，即 $b\left( x\right) \left( {q\left( x\right) - {q}_{1}\left( x\right) }\right)$ 的次数也小于 $m$。但是两个非零多项式的乘积的次数是它们次数的和（因为 $F$ 是一个整环），因此 $q\left( x\right) - {q}_{1}\left( x\right)$ 必须为 0，即 $q\left( x\right) = {q}_{1}\left( x\right)$。这意味着 $r\left( x\right) = {r}_{1}\left( x\right)$，完成了证明。

推论 4

如果 $F$ 是一个域，那么 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 是一个主理想整环和一个唯一分解整环。

证明：这是直接从上一章的结果得出的。

也可以从第 8.2 节的推论 8 回顾，如果 $R$ 是任何满足 $R\left\lbrack x\right\rbrack$ 是主理想整环（或欧几里得整环）的交换环，那么 $R$ 必须是一个域。然而，在下一节我们将看到，当 $R$ 本身是一个唯一分解整环时，$R\left\lbrack x\right\rbrack$ 也是一个唯一分解整环。

示例

（1）根据以上的评论，环 $\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack$ 不是一个主理想整环。正如我们已经看到的（第 7.4 节开头的例子 3），理想 (2,x) 在这个环中不是主理想。

(2) $\mathbb{Q}\left\lbrack x\right\rbrack$ 是一个主理想整环，因为系数位于域 $\mathbb{Q}$ 中。由 2 和 $x$ 生成的理想在 $\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack$ 的子环中不是主理想。然而，在 $\mathbb{Q}\left\lbrack x\right\rbrack$ 中生成的理想是主理想；实际上它是整个环（因此以 1 作为生成元），因为 2 在 $\mathbb{Q}\left\lbrack x\right\rbrack$ 中是一个单位。

(3) 如果 $p$ 是一个素数，那么通过将 $\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack$ 对素理想 (p) 取模得到的环 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack$ 是一个主理想整环，因为系数位于域 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 中。这个例子表明，一个不是主理想整环的环的商环可能是一个主理想整环。在这个例子中追踪理想(2,x)时，注意到如果 $p = 2$ ，那么理想(2,x)在商环 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack$ 中简化为理想(x)，这是一个适当的（极大）理想。如果 $p \neq 2$ ，那么 2 在商环中是一个单位，因此理想(2,x)简化为整个环 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack$ 。

(4) $\mathbb{Q}\left\lbrack {x,y}\right\rbrack$，带有有理系数的两个变量的多项式环，不是一个主理想整环，因为这个环是 $\mathbb{Q}\left\lbrack x\right\rbrack \left\lbrack y\right\rbrack$ 并且 $\mathbb{Q}\left\lbrack x\right\rbrack$ 不是一个域（任何正次数的元素都不是可逆的）。验证这个环中的理想(x,y)不是一个主理想是一个练习。我们很快将看到 $\mathbb{Q}\left\lbrack {x,y}\right\rbrack$ 是一个唯一分解整环。

我们注意到在除法算法中应用的商和余数 $a\left( x\right) ,b\left( x\right) \in F\left\lbrack x\right\rbrack$ 在以下意义上独立于字段扩展。假设字段 $F$ 包含在字段 $E$ 中，并且对于某些 $Q\left( x\right)$ ，$R\left( x\right)$ 满足 $E\left\lbrack x\right\rbrack$ 中定理3的条件。设 $a\left( x\right) = q\left( x\right) b\left( x\right) + r\left( x\right)$ 为某些 $q\left( x\right) ,r\left( x\right) \in F\left\lbrack x\right\rbrack$ ，在环 $E\left\lbrack x\right\rbrack$ 中应用定理3的唯一性条件，推断出 $Q\left( x\right) = q\left( x\right)$ 和 $R\left( x\right) = r\left( x\right)$ 。特别地，如果且仅如果 $b\left( x\right)$ 在环 $E\left\lbrack x\right\rbrack$ 中整除 $a\left( x\right)$ ，那么 $b\left( x\right)$ 在 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 中也整除 $a\left( x\right)$ 。另外，$a\left( x\right)$ 和 $b\left( x\right)$ 的最大公约数（可以通过欧几里得算法得到）在指定其为单项式以使其唯一之后是相同的，无论这些元素是在 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 中还是在 $E\left\lbrack x\right\rbrack$ 中观察。