9.1 多项式环的定义与性质9.1 DEFINITIONS AND BASIC PROPERTIES 9.1 定义与基本

定义与基本性质

在不定元 $x$ 上，系数来自 $R$ 的多项式环 $R\left\lbrack x\right\rbrack$ 是所有形式和 ${a}_{n}{x}^{n} + {a}_{n - 1}{x}^{n - 1} + \cdots + {a}_{1}x + {a}_{0}$ 的集合，其中 $n \geq 0$ 且每个 ${a}_{i} \in R$ 。如果 ${a}_{n} \neq 0$ ，那么多项式的次数是 $n,{a}_{n}{x}^{n}$ 是首项， ${a}_{n}$ 是首项系数（零多项式的首项系数定义为0）。如果 ${a}_{n} = 1$ ，多项式是单次的。多项式的加法是“逐项”进行的：

\mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}{a}_{i}{x}^{i} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}{b}_{i}{x}^{i} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}\left( {{a}_{i} + {b}_{i}}\right) {x}^{i}

(在这里 ${a}_{n}$ 或 ${b}_{n}$ 可以为零，以便定义不同次数多项式的加法)。乘法首先定义 $\left( {a{x}^{i}}\right) \left( {b{x}^{j}}\right) = {ab}{x}^{i + j}$ ，然后通过分配律扩展到所有多项式，通常情况下

\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}{a}_{i}{x}^{i}}\right) \times \left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{m}{b}_{i}{x}^{i}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n + m}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{k}{a}_{i}{b}_{k - i}}\right) {x}^{k}.

这样 $R\left\lbrack x\right\rbrack$ 是一个带有单位元（来自 $R$ 的单位元 1）的交换环，在其中我们将 $R$ 与常系数多项式的子环等同起来。

我们已经注意到，如果 $R$ 是一个整环，那么多项式乘积的首项是各因子首项的乘积。以下是在 7.2 节中提出的命题 4，我们在这里记录下来以供完整性。

命题 1

设 $R$ 是一个整环。那么

(1) 如果 $p\left( x\right) ,q\left( x\right)$ 都是非零的，则次数 $p\left( x\right) q\left( x\right) =$ 次数 $p\left( x\right) +$ 次数 $q\left( x\right)$ 。

(2) $R\left\lbrack x\right\rbrack$ 的单位元仅是 $R$ 的单位元。

(3) $R\left\lbrack x\right\rbrack$ 是一个整环。

还要记住，如果 $R$ 是一个整环，那么 $R\left\lbrack x\right\rbrack$ 的商域由所有 $\frac{p\left( x\right) }{q\left( x\right) }$ 的商组成，其中 $q\left( x\right)$ 不是零多项式（并称为带有 $R$ 中系数的 $x$ 的有理函数域）。

下一个结果描述了 $R$ 的理想与 $R\left\lbrack x\right\rbrack$ 的理想之间的关系。

命题 2

设 $I$ 是环 $R$ 的一个理想，并且让 $\left( I\right) = I\left\lbrack x\right\rbrack$ 表示由 $I$ 生成的 $R\left\lbrack x\right\rbrack$ 的理想（系数在 $I$ 中的多项式集合）。那么

R\left\lbrack x\right\rbrack /\left( I\right) \cong \left( {R/I}\right) \left\lbrack x\right\rbrack .

特别地，如果 $I$ 是 $R$ 的一个素理想，那么 (I) 是 $R\left\lbrack x\right\rbrack$ 的一个素理想。

证明：有一个自然映射 $\varphi : R\left\lbrack x\right\rbrack \rightarrow \left( {R/I}\right) \left\lbrack x\right\rbrack$ 通过减少多项式模 $I$ 的每个系数来给出。这两个环中加法和乘法的定义表明 $\varphi$ 是环同态。内核正是多项式的集合，每个系数都是 $I$ 的一个元素，也就是说 $\ker \varphi = I\left\lbrack x\right\rbrack = \left( I\right)$ ，证明了命题的第一部分。最后一个陈述来自命题1，因为如果 $I$ 是 $R$ 中的素理想，那么 $R/I$ 是整数域，因此 $\left( {R/I}\right) \left\lbrack x\right\rbrack$ 也是整数域。这表明如果 $I$ 是 $R$ 的素理想，那么（I）是 $R\left\lbrack x\right\rbrack$ 的素理想。

请注意，如果 $I$ 是 $R$ 的最大理想，那么 $(I)$ 是 $R\left\lbrack x\right\rbrack$ 的最大理想，这是不正确的。但是，如果 $I$ 在 $R$ 中是最大的，那么由 $I$ 和 $x$ 生成的 $R\left\lbrack x\right\rbrack$ 的理想在 $R\left\lbrack x\right\rbrack$ 中是最大的。

我们现在给出一个提案2的“约简同态”的例子，它将在以后的许多场合中有用（“约简同态”也在第7.3节末尾讨论过，参考了约简整数 ${\operatorname{mod} n}$ ）。

示例

设 $R=\mathbb{Z}$ 并考虑 $\mathbb{Z}$ 的理想 $n\mathbb{Z}$ 。然后可以写出上面的同构

\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack /n\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack

自然投影映射 $\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack$ 到 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack$ 通过将系数模 $n$ 约化是一个环同态。如果 $n$ 是合数，那么商环不是整环。然而，如果 $n$ 是一个素数 $p$ ，那么 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 是一个域，因此 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack$ 是一个整环（实际上，是一个欧几里得环，我们很快就会看到）。我们还看到，系数可被 $p$ 整除的多项式集合在 $\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack$ 中是一个素理想。

我们以对多项式环中多个变量的自然推广的描述来结束这一节。

定义

变量 ${x}_{1},{x}_{2},\ldots ,{x}_{n}$ 上的多项式环，系数在 $R$ 中，记作 $R\left\lbrack {{x}_{1}.{x}_{2},\ldots ,{x}_{n}}\right\rbrack$ ，是归纳定义的。

R\left\lbrack {{x}_{1},{x}_{2},\ldots ,{x}_{n}}\right\rbrack = R\left\lbrack {{x}_{1},{x}_{2},\ldots ,{x}_{n - 1}}\right\rbrack \left\lbrack {x}_{n}\right\rbrack

这个定义意味着我们可以将 $n$ 个变量、系数在 $R$ 中的多项式简单地看作是（比如说 ${x}_{n}$ ）一个变量中的多项式，但现在其系数本身是 $n - 1$ 个变量的多项式。在稍微具体一些的表述中， ${x}_{1},{x}_{2},\ldots ,{x}_{n}$ 中系数在 $R$ 中的非零多项式是非零单项式的有限和，即形如

a{x}_{1}^{{d}_{1}}{x}_{2}^{{d}_{2}}\ldots {x}_{n}^{{d}_{n}}

的元素的有限和，其中 $a \in R$ （项的系数）和 ${d}_{i}$ 是非负整数。首项系数为1的单项式 ${x}_{1}^{{d}_{1}}{x}_{2}^{{d}_{2}}\ldots {x}_{n}^{{d}_{n}}$ 被简单地称为单项式，是项 $a{x}_{1}^{{d}_{1}}{x}_{2}^{{d}_{2}}\ldots {x}_{n}^{{d}_{n}}$ 的单项式部分。 ${d}_{i}$ 被称为该单项式中 ${x}_{i}$ 的次数，而和

d = {d}_{1} + {d}_{2} + \cdots + {d}_{n}

项的次数称为多项式的次数。 $n$ -元组 $\left( {{d}_{1},{d}_{2},\ldots ,{d}_{n}}\right)$ 是项的多次数。非零多项式的次数是它任何单项式次数中的最大值。如果一个多项式的所有项都有相同的次数，那么这个多项式被称为齐次多项式或形式。如果 $f$ 是一个在 $n$ 变量中的非零多项式，那么 $f$ 中所有次数为 $k$ 的单项式的和被称为 $f$ 的次数为 $k$ 的齐次分量。如果 $f$ 的次数为 $d$ ，那么 $f$ 可以唯一地写成和 ${f}_{0} + {f}_{1} + \cdots + {f}_{d}$ ，其中 ${f}_{k}$ 是 $f$ 的次数为 $k$ 的齐次分量，对于 $0 \leq k \leq d$ （其中某些 ${f}_{k}$ 可以为零）。

最后，为了在任意数量的变量上定义一个系数在 $R$ 中的多项式环，我们取上述类型（但变量不限于仅 ${x}_{1},\ldots ,{x}_{n}$ ）的单项式项的有限和，并具有自然的加法和乘法。或者，我们可以将这个环定义为所有在有限个变量上的多项式环的并集。

Example

示例

在两个变量 $x$ 和 $y$ 上的整数系数多项式环 $\mathbb{Z}\left\lbrack {x,y}\right\rbrack$ 由所有形式为 $a{x}^{i}{y}^{j}$ （次数为 $i + j$ ）的单项式项的有限和组成。例如，

p\left( {x,y}\right) = 2{x}^{3} + {xy} - {y}^{2}

和

q\left( {x,y}\right) = - {3xy} + 2{y}^{2} + {x}^{2}{y}^{3}

都是 $\mathbb{Z}\left\lbrack {x,y}\right\rbrack$ 的元素，它们的次数分别为3和5。我们有

p\left( {x,y}\right) + q\left( {x,y}\right) = 2{x}^{3} - {2xy} + {y}^{2} + {x}^{2}{y}^{3}

和

\begin{matrix} p\left( {x,y}\right) q\left( {x,y}\right) = - 6{x}^{4}y + 4{x}^{3}{y}^{2} + 2{x}^{5}{y}^{3} - 3{x}^{2}{y}^{2} + {5x}{y}^{3} + {x}^{3}{y}^{4} - 2{y}^{4} - {x}^{2}{y}^{5}, \end{matrix}

一个8次多项式。要查看这个最后的多项式，比如说，作为一个在 $y$ 中具有 $\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack$ 系数的多项式，如在多个变量多项式环的定义中，我们将多项式写成如下形式

\left( {-6{x}^{4}}\right) y + \left( {4{x}^{3} - 3{x}^{2}}\right) {y}^{2} + \left( {2{x}^{5} + {5x}}\right) {y}^{3} + \left( {{x}^{3} - 2}\right) {y}^{4} - \left( {x}^{2}\right) {y}^{5}.

非零的齐次组成部分 $f = f\left( {x,y}\right) = p\left( {x,y}\right) q\left( {x,y}\right)$ 是多项式 $\;{f}_{4}\; = \; - 3{x}^{2}{y}^{2} + {5x}{y}^{3} - 2{y}^{4}\;\left( {\text{degree}\;4}\right) ,\;{f}_{5}\; = \; - 6{x}^{4}y + 4{x}^{3}{y}^{2}\;\left( {\text{degree}\;5}\right) ,$ ${f}_{7} = {x}^{3}{y}^{4} - {x}^{2}{y}^{5}$ （7次）和 ${f}_{8} = 2{x}^{5}{y}^{3}$ （8次）。

命题1中的每个陈述对于具有任意数量变量的多项式环都是真的。这在变量数量有限时通过对归纳，并在变量任意多的情况下通过对多项式环的定义中的并集成立。