主理想整环（P.I.D.s）
定义
一个主理想整环（P.I.D.）是一个每个理想都是主理想的整环。
命题1证明了每个欧几里得整环都是一个主理想整环，因此关于主理想整环的每个结果都自动适用于欧几里得整环。
示例
（1）如命题1之后所述，整数Z \mathbb{Z} Z Z [ x ] \mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack Z [ x ]
（2）命题1之后的示例2表明二次整数环Z [ − 5 ] \mathbb{Z}\left\lbrack \sqrt{-5}\right\rbrack Z [ − 5 ] ( 3 , 1 + − 5 ) \left( {3,1 + \sqrt{-5}}\right) ( 3 , 1 + − 5 )
两个非主理想的乘积 I J {IJ} I J ( 3 , 1 + − 5 ) \left( {3,1 + \sqrt{-5}}\right) ( 3 , 1 + − 5 ) ( 3 , 1 − − 5 ) \left( {3,1 - \sqrt{-5}}\right) ( 3 , 1 − − 5 ) ( 3 , 1 + − 5 ) ( 3 , 1 − − 5 ) = ( 3 ) \left( {3,1 + \sqrt{-5}}\right) \left( {3,1 - \sqrt{-5}}\right) = \left( 3\right) ( 3 , 1 + − 5 ) ( 3 , 1 − − 5 ) = ( 3 )
并不是每个主理想整环都是欧几里得整环。我们将在下面证明二次整数环 Z [ ( 1 + − 19 ) / 2 ] \mathbb{Z}\left\lbrack {\left( {1 + \sqrt{-{19}}}\right) /2}\right\rbrack Z [ ( 1 + − 19 ) /2 ]
从理想论的观点来看，主理想整环是超出域（其中理想只是平凡的理想：(0) 和 (1)）的自然环类来研究。许多欧几里得整环所享有的性质也被主理想整环所满足。然而，欧几里得整环相对于主理想整环的一个显著优点是，尽管在这两种设置中都存在最大公约数，但在欧几里得整环中有一个计算它们的算法。因此（正如我们特别在第 12 章中将要看到的），依赖于最大公约数存在的结果通常可以在更大的主理想整环类中证明，尽管使用欧几里得算法（如果有的话）对这些结果的例子（即这些结果的具体应用）进行计算更为有效。
我们收集了前一部分证明的关于最大公约数的某些事实。
命题 6
设 R R R a a a b b b R R R d d d a a a b b b
(1)d d d a a a b b b
(2) d d d R R R a a a b b b R R R x x x y y y
d = a x + b y d = {ax} + {by} d = a x + b y (3) d d d R R R
证明：这仅仅是命题2和命题3。
回顾一下，极大理想总是素理想，但反过来在一般情况下并不成立。然而，我们在第7.4节中观察到，Z \mathbb{Z} Z
命题7
在主理想整环中的每个非零素理想都是极大理想。
证明：设(p)是主理想整环 R R R I = ( m ) I = \left( m\right) I = ( m ) I = ( p ) I = \left( p\right) I = ( p ) I = R I = R I = R p ∈ ( m ) p \in \left( m\right) p ∈ ( m ) r ∈ R r \in R r ∈ R p = r m p = {rm} p = r m r m ∈ ( p ) {rm} \in \left( p\right) r m ∈ ( p ) r r r m m m m ∈ ( p ) m \in \left( p\right) m ∈ ( p ) ( p ) = ( m ) = I \left( p\right) = \left( m\right) = I ( p ) = ( m ) = I r ∈ ( p ) r \in \left( p\right) r ∈ ( p ) r = p s r = {ps} r = p s p = r m = p s m p = {rm} = {psm} p = r m = p s m s m = 1 {sm} = 1 s m = 1 R R R m m m I = R I = R I = R
正如我们已经提到的，如果F F F F [ x ] F\left\lbrack x\right\rbrack F [ x ] I I I R R R Z \mathbb{Z} Z R [ x ] R\left\lbrack x\right\rbrack R [ x ] ( I ， x ) (I， x) ( I ， x ) Z [ x ] \mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack Z [ x ] ( 2 ， x ) (2，x) ( 2 ， x ) I I I
推论8
如果R R R R [ x ] R\left\lbrack x\right\rbrack R [ x ] R R R
证明：假设R [ x ] R\left\lbrack x\right\rbrack R [ x ] R R R R [ x ] R\left\lbrack x\right\rbrack R [ x ] R R R R R R R [ x ] R\left\lbrack x\right\rbrack R [ x ] ( x ) (x) ( x ) R [ x ] R\left\lbrack x\right\rbrack R [ x ] R [ x ] / ( x ) R\left\lbrack x\right\rbrack /\left( x\right) R [ x ] / ( x ) R R R ( x ) (x) ( x ) R R R
本节的最后一个结果将用于证明并非每个P. I.D.是欧几里得域，并将主理想性质与欧几里得条件的另一个弱化联系起来。
定义
定义 N N N N N N a , b ∈ R a,b \in R a , b ∈ R a a a b b b b b b R R R a a a s , t ∈ R s,t \in R s , t ∈ R 0 < N ( s a − t b ) < N ( b ) 0 < N\left( {{sa} - {tb}}\right) < N\left( b\right) 0 < N ( s a − t b ) < N ( b )
注意，如果对于任意的 s = 1 s = 1 s = 1 R R R N N N
命题 9
整数域 R R R R R R
证明：设 I I I R R R b b b I I I N ( b ) N\left( b\right) N ( b ) a a a I I I I I I N N N b b b a ∈ ( b ) a \in \left( b\right) a ∈ ( b ) I = ( b ) I = \left( b\right) I = ( b )
示例
设 R = Z [ ( 1 + − 19 ) / 2 ] \;R = \mathbb{Z}\left\lbrack {\left( {1 + \sqrt{-{19}}}\right) /2}\right\rbrack R = Z [ ( 1 + − 19 ) /2 ] R R R N ( a + b ( 1 + − 19 ) / 2 ) = a 2 + a b + 5 b 2 N\left( {a + b\left( {1 + \sqrt{-{19}}}\right) /2}\right) = {a}^{2} + {ab} + 5{b}^{2} N ( a + b ( 1 + − 19 ) /2 ) = a 2 + ab + 5 b 2 R R R
假设 α , β \alpha ,\beta α , β R R R α / β ∉ R \alpha /\beta \notin R α / β ∈ / R s , t ∈ R s,t \in R s , t ∈ R 0 < N ( s α − t β ) < N ( β ) 0 < N\left( {{s\alpha } - {t\beta }}\right) < N\left( \beta \right) 0 < N ( s α − tβ ) < N ( β )
0 < N ( α β s − t ) < 1 (*) 0 < N\left( {\frac{\alpha }{\beta }s - t}\right) < 1 \tag{*} 0 < N ( β α s − t ) < 1 ( * ) 将 α β = a + b − 19 c ∈ Q [ − 19 ] \dfrac{\alpha }{\beta } = \dfrac{a + b\sqrt{-{19}}}{c} \in \mathbb{Q}\left\lbrack \sqrt{-{19}}\right\rbrack β α = c a + b − 19 ∈ Q [ − 19 ] a , b , c a,b,c a , b , c c > 1 c > 1 c > 1 β \beta β α \alpha α a , b , c a,b,c a , b , c x , y , z x,y,z x , y , z a x + b y + c z = 1 {ax} + {by} + {cz} = 1 a x + b y + cz = 1 q q q r r r a y − 19 b x = c q + r {ay} - {19bx} = {cq} + r a y − 19 b x = c q + r ∣ r ∣ ≤ c / 2 \left| r\right| \leq c/2 ∣ r ∣ ≤ c /2 s = y + x − 19 s = y + x\sqrt{-{19}} s = y + x − 19 t = q − z − 19 t = q - z\sqrt{-{19}} t = q − z − 19
0 < N ( α β s − t ) = ( a y − 19 b x − c q ) 2 + 19 ( a x + b y + c z ) 2 c 2 ≤ 1 4 + 19 c 2 0 < N\left( {\frac{\alpha }{\beta }s - t}\right) = \frac{{\left( ay - {19}bx - cq\right) }^{2} + {19}{\left( ax + by + cz\right) }^{2}}{{c}^{2}} \leq \frac{1}{4} + \frac{19}{{c}^{2}} 0 < N ( β α s − t ) = c 2 ( a y − 19 b x − c q ) 2 + 19 ( a x + b y + cz ) 2 ≤ 4 1 + c 2 19 因此 ( ∗ ) \left( *\right) ( ∗ ) s s s t t t c ≥ 5 c \geq 5 c ≥ 5
假设 c = 2 c = 2 c = 2 a , b a,b a , b α / β ∈ R \alpha /\beta \in R α / β ∈ R s = 1 s = 1 s = 1 t = ( a − 1 ) + b − 19 2 t = \frac{\left( {a - 1}\right) + b\sqrt{-{19}}}{2} t = 2 ( a − 1 ) + b − 19 R R R ( ∗ ) \left( *\right) ( ∗ )
假设 c = 3 c = 3 c = 3 a 2 + 19 b 2 {a}^{2} + {19}{b}^{2} a 2 + 19 b 2 a 2 + b 2 {a}^{2} + {b}^{2} a 2 + b 2 a a a b b b a , b , c a,b,c a , b , c a 2 + 19 b 2 = 3 q + r {a}^{2} + {19}{b}^{2} = {3q} + r a 2 + 19 b 2 = 3 q + r r = 1 r = 1 r = 1 s = a − b − 19 , t = q s = a - b\sqrt{-{19}},t = q s = a − b − 19 , t = q R R R
最后，假设 c = 4 c = 4 c = 4 a a a b b b a , b a,b a , b a 2 + 19 b 2 {a}^{2} + {19}{b}^{2} a 2 + 19 b 2 a 2 + 19 b 2 = 4 q + r {a}^{2} + {19}{b}^{2} = {4q} + r a 2 + 19 b 2 = 4 q + r q , r ∈ Z q,r \in \mathbb{Z} q , r ∈ Z 0 < r < 4 0 < r < 4 0 < r < 4 s = a − b − 19 s = a - b\sqrt{-{19}} s = a − b − 19 t = q t = q t = q )。如果 a a a b b b a 2 + 19 b 2 ≡ 1 + 3 mod 8 {a}^{2} + {19}{b}^{2} \equiv 1 + 3{\;\operatorname{mod}\;8} a 2 + 19 b 2 ≡ 1 + 3 mod 8 a 2 + 19 b 2 = 8 q + 4 {a}^{2} + {19}{b}^{2} = {8q} + 4 a 2 + 19 b 2 = 8 q + 4 q ∈ Z q \in \mathbb{Z} q ∈ Z s = a − b − 19 2 s = \frac{a - b\sqrt{-{19}}}{2} s = 2 a − b − 19 t = q t = q t = q R R R )。
