10.3 模的生成，直和与自由模

翻斗花园爷爷
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模的生成，直和与自由模

令 RR 为一个带有单位元的环。如前几节所述，“模”一词将指“左模”。我们首先将两个子模的和的概念扩展到任意有限个子模的和，并定义由一个子集生成的子模。

定义

令 MM 为一个 RR -模，令 N1,…,Nn{N}_{1},\ldots ,{N}_{n} 为 MM 的子模。

(1) N1,…,Nn{N}_{1},\ldots ,{N}_{n} 的和是所有来自集合 Ni{N}_{i} 的元素的有限和的集合：{a1+a2+⋯+an∣ai∈Ni for all i}\left\{ {{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n} \mid {a}_{i} \in {N}_{i}\text{ for all }i}\right\}。将这个和记作 N1+⋯+Nn{N}_{1} + \cdots + {N}_{n}。

(2) 对于任意 MM 的子集 AA，令

RA={r1a1+r2a2+⋯+rmam∣r1,…,rm∈R,a1,…,am∈A,m∈Z+}{RA} = \left\{ {{r}_{1}{a}_{1} + {r}_{2}{a}_{2} + \cdots + {r}_{m}{a}_{m} \mid {r}_{1},\ldots ,{r}_{m} \in R,{a}_{1},\ldots ,{a}_{m} \in A,m \in {\mathbb{Z}}^{ + }}\right\}

（按照惯例，如果 A=∅A = \varnothing 则 RA={0}{RA} = \{ 0\}）。如果 AA 是有限集 {a1,a2,…,an}\left\{ {{a}_{1},{a}_{2},\ldots ,{a}_{n}}\right\}，我们将写作 Ra1+Ra2+⋯+RanR{a}_{1} + R{a}_{2} + \cdots + R{a}_{n} 以表示 RA{RA}。称 RA{RA} 为由 AA 生成的 MM 的子模。如果 NN 是 MM 的子模（可能是 N=MN = M），并且 N=RAN = {RA}，对于某些 MM 的子集 AA，我们称 AA 为 NN 的生成集或生成元集合，并且我们说 NN 是由 AA 生成的。

(3) 如果存在 MM 的某个有限子集 AA，使得 N=RAN = {RA}，即如果 NN 是由某个有限子集生成的，那么 NN 是 MM 的子模（可能是 N=MN = M）是有限生成的。

(4) 如果存在一个元素 a∈Ma \in M，使得 N=RaN = {Ra}，即如果 NN 是由一个元素生成的，那么 NN 是 MM 的子模（可能是 N=MN = M）是循环的：

N=Ra={ra∣r∈R}.N = {Ra} = \{ {ra} \mid r \in R\} .

注意，这些定义并不要求环 RR 包含 1，然而这个条件确保 AA 包含在 RA{RA} 中。使用子模准则很容易看出，对于任何 AA 的子集 M,RAM,{RA} 确实是 MM 的子模，并且是包含 AA 的 MM 的最小子模（即，任何包含 AA 的 MM 的子模也包含 RA{RA}）。特别是，对于 M,N1+⋯+NnM,{N}_{1} + \cdots + {N}_{n} 的子模 N1,…,Nn{N}_{1},\ldots ,{N}_{n} ，它只是由集合 N1∪⋯∪Nn{N}_{1} \cup \cdots \cup {N}_{n} 生成的子模，并且是包含 Ni{N}_{i} 的 MM 的最小子模，对于所有的 ii 。如果 N1,…,Nn{N}_{1},\ldots ,{N}_{n} 分别由集合 A1,…,An{A}_{1},\ldots ,{A}_{n} 生成，那么 N1+⋯+Nn{N}_{1} + \cdots + {N}_{n} 由 A1∪⋯∪An{A}_{1} \cup \cdots \cup {A}_{n} 生成。注意，循环模自然是有限生成的。

一个 RR -模 MM 的子模 NN 可能有许多不同的生成集合（例如，集合 NN 本身总是生成 NN）。如果 NN 是有限生成的，那么存在一个最小的非负整数 dd，使得 NN 由 dd 个元素生成（并且不会更少）。任何由 dd 个元素组成的生成集合都将被称为 NN 的一个极小生成集合（一般而言，它不是唯一的）。如果 NN 不是有限生成的，它可能没有极小生成集合。

通过取 RR -模块 MM 的子集 AA 并形成所有有限个“RR -线性组合”的元素，生成 RR -模块的子模块将是我们的主要方法（这个概念可能在向量空间理论中很熟悉，那里将其称为取 AA 的生成空间）。使得群的类似过程变得困难的主要障碍是群操作的不可交换性。然而，对于阿贝尔群 GG ，控制由 AA 生成的子群 ⟨A⟩\langle A\rangle 要简单得多，其中 AA 是 GG 的一个子集（有关此内容的完整讨论，请参见第2.4节）。对于 RR -模块的情况类似于阿贝尔群（即使 RR 是一个非交换环），因为我们可以总是在 AA 的元素中收集“相似项”，即，像 r1a1+r2a2+s1a1{r}_{1}{a}_{1} + {r}_{2}{a}_{2} + {s}_{1}{a}_{1} 这样的项总是可以简化为 (r1+s1)a1+r2a2.\left( {{r}_{1} + {s}_{1}}\right) {a}_{1} + {r}_{2}{a}_{2}.。这再次反映了模块背后的阿贝尔群结构。

示例

(1) 设 R=ZR = \mathbb{Z} 并且设 MM 为任意的 RR -模，即任意的阿贝尔群。如果 a∈Ma \in M ，那么 Za\mathbb{Z}a 就是 MM 中由 aa 生成的循环子群： ⟨a⟩\langle a\rangle （比较上面的定义4与循环群的定义）。更一般地，当且仅当 MM 作为群由集合 AA 生成时，MM 作为 Z\mathbb{Z} -模由集合 AA 生成（也就是说，在此情况下环元素的作用不会产生不能通过 AA 的加法和减法得到的元素）。对于 Z\mathbb{Z} -模的有限生成的定义与第5章中阿贝尔群的有限生成定义相同。

(2) 设 RR 是一个带有单位元的环，并且设 MM 是 (左) RR -模 RR 本身。注意 RR 是有限生成的，实际上还是循环的 RR -模，因为 R=R1R = {R1}（即，我们可以取 A={1}A = \{ 1\}）。回忆一下，RR 的子模恰好是 RR 的左理想，所以，说 II 是左 RR -模 RR 的循环子模，等价于说 II 是 RR 的主理想（通常，“主理想”这个术语是在交换环的背景下使用的）。同样，说 II 是 RR 的有限生成子模，等价于说 II 是有限生成理想。当 RR 是一个交换环时，我们通常写作 AR{AR} 或 aR{aR} 来表示由 AA 或 aa 分别生成的子模（理想），就像我们之前在写 Z\mathbb{Z} 时写成 nZn\mathbb{Z} 一样。在这种情况下 AR=RA{AR} = {RA} 和 aR=Ra{aR} = {Ra}（逐元来说）。因此，一个主理想整环是一个带有单位元的（交换）整环 RR，其中每个 RR -子模都是循环的。

子模不一定是有限生成的：取 MM 为循环 RR -模 RR 本身，其中 RR 是具有某些域中的系数的无限多个变量的多项式环 x1,x2,x3,…{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3},\ldots 。由 {x1,x2,…}\left\{ {{x}_{1},{x}_{2},\ldots }\right\} 生成的子模（即双边理想）不能由任何有限集生成（注意必须证明这个理想的任何有限子集都不能生成它）。

(3) 设 RR 是一个带有单位元的环，并且设 MM 是如第一部分描述的 RR 上的秩为 nn 的自由模。对于每个 i∈{1,2,…,n}i \in \{ 1,2,\ldots ,n\}，令 ei=(0,0,…,0,1,0,…,0){e}_{i} = \left( {0,0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0}\right)，其中 1 出现在位置 ii。由于

(s1,s2,…,sn)=∑i=1nsiei\left( {{s}_{1},{s}_{2},\ldots ,{s}_{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{s}_{i}{e}_{i}

显然 MM 由 {e1,…,en}\left\{ {{e}_{1},\ldots ,{e}_{n}}\right\} 生成。如果 RR 是交换的，那么这是一个极小生成集（参见练习 2 和 27）。

(4) 设 FF 是一个域，xx 是一个未定元，VV 是 FF 上的一个向量空间，TT 是从 VV 到 VV 的线性变换。通过 TT 使 VV 成为一个 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack -模。那么 VV 是一个循环 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack -模（以 vv 为生成元）当且仅当 V={p(x)v∣V = \{ p\left( x\right) v \mid p(x)∈F[x]}p\left( x\right) \in F\left\lbrack x\right\rbrack \}，也就是说，当且仅当 VV 的每个元素都可以写为 FF -线性组合的集合 {Tn(v)∣n≥0}\left\{ {{T}^{n}\left( v\right) \mid n \geq 0}\right\} 中的元素。这也等价于说 {v,T(v),T2(v),…}\left\{ {v,T\left( v\right) ,{T}^{2}\left( v\right) ,\ldots }\right\} 作为 FF 上的向量空间的生成元。

例如，如果 TT 是从 VV 到 VV 的恒等线性变换或者零线性变换，那么对于任意的 v∈Vv \in V 和任意的 p(x)∈F[x]p\left( x\right) \in F\left\lbrack x\right\rbrack ，我们都有 p(x)v=αvp\left( x\right) v = {\alpha v} 对于某个 α∈F\alpha \in F 成立。因此，如果 VV 的维度为 >1,V> 1,V ，则它不能是一个循环 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack -模。

再举一个例子，假设 VV 是仿射 nn -空间，而 TT 是在第1节中描述的“移位算子”。设 ei{e}_{i} 为 ith {i}^{\text{th }} 基向量（如通常一样编号），使得 TT 由 Tk(en)=en−k{T}^{k}\left( {e}_{n}\right) = {e}_{n - k} 对于 1≤k<n1 \leq k < n 定义。因此，VV 由元素 en,T(en),…,Tn−1(en){e}_{n},T\left( {e}_{n}\right) ,\ldots ,{T}^{n - 1}\left( {e}_{n}\right) 生成，即 VV 是一个由生成元 en{e}_{n} 生成的循环 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack -模。然而，对于 n>1,Vn > 1,V ，它不是一个循环 FF -模（即，不是 FF 上的1维向量空间）。

定义

设 M1,…,Mk{M}_{1},\ldots ,{M}_{k} 为一组 RR -模。由 kk -元组 (m1,m2,…,mk)\left( {{m}_{1},{m}_{2},\ldots ,{m}_{k}}\right) 组成的集合，其中 mi∈Mi{m}_{i} \in {M}_{i} ，其加法和 RR 的作用按分量定义，称为 M1,…,Mk{M}_{1},\ldots ,{M}_{k} 的直积，记作 M1×⋯×Mk{M}_{1} \times \cdots \times {M}_{k} 。

显然，一组 RR -模的直积仍然是一个 RR -模。M1,…,Mk{M}_{1},\ldots ,{M}_{k} 的直积也被称为 M1,…,Mk{M}_{1},\ldots ,{M}_{k} 的（外）直和，记作 M1⊕⋯⊕Mk{M}_{1} \oplus \cdots \oplus {M}_{k} 。在练习20中定义了无限多个模的直积和直和（通常情况下它们是不同的）。

下一个命题指出一个模何时与它的一些子模的直接乘积同构，并且是第5.4节定理9模的类似物（它确定一个群何时是它的两个子群的直接乘积）。

命题5

设N1、N2、…、Nk{N}_{1}、{N}_{2}、\ldots、{N}_{k}为RR-模块MM的子模块。那么以下是等价的：

（1）映射π:N1×N2×⋯×Nk→N1+N2+⋯+Nk\pi : {N}_{1} \times {N}_{2} \times \cdots \times {N}_{k} \rightarrow {N}_{1} + {N}_{2} + \cdots + {N}_{k}由

π(a1,a2,…,ak)=a1+a2+⋯+ak\pi \left( {{a}_{1},{a}_{2},\ldots ,{a}_{k}}\right) = {a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{k}

是同构（RR-模块）： N1+N2+⋯+Nk≅N1×N2×⋯×Nk{N}_{1} + {N}_{2} + \cdots + {N}_{k} \cong {N}_{1} \times {N}_{2} \times \cdots \times {N}_{k} .

（2）Nj∩(N1+N2+⋯+Nj−1+Nj+1+⋯+Nk)=0{N}_{j}\cap\left( {{N}_{1} + {N}_{2} + \cdots + {N}_{j - 1} + {N}_{j + 1} + \cdots + {N}_{k}}\right) = 0对于所有j∈{1,2，…，k}j\in\{1,2，\ldots， k\}。

（3）每个x∈N1+⋯+Nkx\in{N}_{1}+\cdots+{N}_{k}可以唯一地写成a1+a2+⋯+ak{a}_{1}+{a}_{2}+\cdots+{a}_{k}加上ai∈Ni{a}_{i}\in{N}_{i}。

证明：为了证明（1）意味着（2），假设对于某个jj，（2）无法持有并让aj∈(N1+⋯+Nj−1+Nj+1+⋯+Nk)∩Nj{a}_{j} \in \left( {{N}_{1} + \cdots + {N}_{j - 1} + {N}_{j + 1} + \cdots + {N}_{k}}\right) \cap {N}_{j}，aj≠0{a}_{j}\neq 0。然后

aj=a1+⋯+aj−1+aj+1+⋯+ak{a}_{j} = {a}_{1} + \cdots + {a}_{j - 1} + {a}_{j + 1} + \cdots + {a}_{k}

对于一些ai∈Ni{a}_{i}\in{N}_{i}和(a1,…,aj−1,−aj,aj+1,…,ak)\left( {{a}_{1},\ldots ,{a}_{j - 1}, - {a}_{j},{a}_{j + 1},\ldots ,{a}_{k}}\right)将是kerπ\pi的非零元素，这是一个矛盾。

现在假设（2）成立。如果对于某些模元素ai，bi {a}_{i}，{b}_{i}\ 在NiN_{i}我们有

a1+a2+⋯+ak=b1+b2+⋯+bk{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{k} = {b}_{1} + {b}_{2} + \cdots + {b}_{k}

那么对于每jj

aj−bj=(b1−a1)+⋯+(bj−1−aj−1)+(bj+1−aj+1)+⋯+(bk−ak).{a}_{j} - {b}_{j} = \left( {{b}_{1} - {a}_{1}}\right) + \cdots + \left( {{b}_{j - 1} - {a}_{j - 1}}\right) + \left( {{b}_{j + 1} - {a}_{j + 1}}\right) + \cdots + \left( {{b}_{k} - {a}_{k}}\right) .

左手边在Nj{N}_{j}，右手边属于N1+⋯+Nj−1+Nj+1+⋯+Nk{N}_{1}+\cdots+{N}_{j-1}+{N}_{j+1}+\cdots+{N}_{k}。因此

aj−bj∈Nj∩(N1+⋯+Nj−1+Nj+1+⋯+Nk)=0.{a}_{j} - {b}_{j} \in {N}_{j} \cap \left( {{N}_{1} + \cdots + {N}_{j - 1} + {N}_{j + 1} + \cdots + {N}_{k}}\right) = 0.

这显示aj=bj{a}_{j}={b}_{j}表示所有jj，因此（2）表示（3）。

最后，看到（3）暗示（1）首先观察映射π\pi显然是一个满射的RR-模同态。然后（3）简单地暗示π\pi是内射的，因此是一个同构，完成了证明。

如果一个 RR -模 M=N1+N2+⋯+NkM = {N}_{1} + {N}_{2} + \cdots + {N}_{k} 是满足上述命题等价条件的子模 N1,N2,…,Nk{N}_{1},{N}_{2},\ldots ,{N}_{k} 的和，那么 MM 被称为是 N1,N2,…,Nk{N}_{1},{N}_{2},\ldots ,{N}_{k} 的（内部）直和，记作

M=N1⊕N2⊕⋯⊕NkM = {N}_{1} \oplus {N}_{2} \oplus \cdots \oplus {N}_{k}

根据命题，这等价于断言 MM 的每个元素 mm 都可以唯一地表示为元素 m=n1+n2+⋯+nkm = {n}_{1} + {n}_{2} + \cdots + {n}_{k} 的和，其中 ni∈Ni{n}_{i} \in {N}_{i} 。（注意，命题的第（1）部分是指内部直和 N1,N2,…,Nk{N}_{1},{N}_{2},\ldots ,{N}_{k} 与它们的外部直和同构，这是我们将它们视为相同并使用相同符号的原因。）

定义

如果对于 FF 的每个非零元素 xx ，都存在唯一的非零元素 r1,r2,…,rn{r}_{1},{r}_{2},\ldots ,{r}_{n} 在 RR 中和唯一的 a1,a2,…,an{a}_{1},{a}_{2},\ldots ,{a}_{n} 在 AA 中，使得 x=r1a1+r2a2+⋯+rnanx = {r}_{1}{a}_{1} + {r}_{2}{a}_{2} + \cdots + {r}_{n}{a}_{n} ，对于某个 n∈Z+n \in {\mathbb{Z}}^{ + } ，那么 RR -模块 FF 被称为在 AA 的子集上自由生成的。在这种情况下，我们说 AA 是 FF 的一个基或自由生成集。如果 RR 是一个交换环，那么 AA 的基数被称为 FF 的秩（参见练习27）。

应当注意区分直接和的唯一性属性（命题5(3)）与自由模块的唯一性属性。具体来说，在两个模块的直接和中，比如说 N1⊕N2{N}_{1} \oplus {N}_{2}，每个元素可以唯一地写成 n1+n2{n}_{1} + {n}_{2}；这里的唯一性是指模块元素 n1{n}_{1} 和 n2{n}_{2}。在自由模块的情况下，唯一性同时涉及环元素和模块元素。例如，如果 R=ZR = \mathbb{Z} 和 N1=N2=Z/2Z{N}_{1} = {N}_{2} = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}，那么 N1⊕N2{N}_{1} \oplus {N}_{2} 的每个元素在形式 n1+n2{n}_{1} + {n}_{2} 上有唯一的表示，其中每个 ni∈Ni{n}_{i} \in {N}_{i}，然而 n1{n}_{1}（例如）可以表示为 n1{n}_{1} 或 3n13{n}_{1} 或 5n1…5{n}_{1}\ldots 等，所以每个元素在形式 r1a1+r2a2{r}_{1}{a}_{1} + {r}_{2}{a}_{2} 上没有唯一的表示，其中 r1,r2∈R,a1∈N1{r}_{1},{r}_{2} \in R,{a}_{1} \in {N}_{1} 和 a2∈N2{a}_{2} \in {N}_{2}。因此 Z/2Z⊕Z/2Z\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 不是在集合 {(1,0),(0,1)}\{ \left( {1,0}\right) ,\left( {0,1}\right) \} 上的自由 Z\mathbb{Z} -模块。类似地，它在任何集合上都不是自由的。

定理6

对于任意集合 AA，存在一个在集合 AA 上的自由 RR -模块 F(A)F\left( A\right)，并且 F(A)F\left( A\right) 满足以下普遍性质：如果 MM 是任意 RR -模块，φ:A→M\varphi : A \rightarrow M 是任意集合映射，那么存在一个唯一的 RR -模块同态 Φ:F(A)→M\Phi : F\left( A\right) \rightarrow M，使得 Φ(a)=φ(a)\Phi \left( a\right) = \varphi \left( a\right)，对于所有 a∈Aa \in A，也就是说，以下图表是可交换的。

当 AA 是有限集 {a1,a2,…,an},  F(A)=Ra1⊕Ra2⊕⋯⊕Ran≅Rn.\{ {a}_{1},{a}_{2},\ldots ,{a}_{n}\} ,\;F\left( A\right) = R{a}_{1} \oplus R{a}_{2} \oplus \cdots \oplus R{a}_{n} \cong {R}^{n}. 时（比较：第6.3节，自由群）。

证明：设 F(A)={0}F\left( A\right) = \{ 0\} 如果 A=∅A = \varnothing 。如果 AA 非空，设 F(A)F\left( A\right) 为所有满足 f(a)=0f\left( a\right) = 0 对于除有限多个 a∈Aa \in A 之外的所有元素 f:A→Rf : A \rightarrow R 的集合函数的集合。通过函数的点加和环元素与函数的点乘，将 F(A)F\left( A\right) 构造成一个 RR -模，即，

(f+g)(a)=f(a)+g(a) and \left( {f + g}\right) \left( a\right) = f\left( a\right) + g\left( a\right) \text{ and }
(rf)(a)=r(f(a)),   for all a∈A,r∈R and f,g∈F(A).\left( {rf}\right) \left( a\right) = r\left( {f\left( a\right) }\right) ,\;\text{ for all }a \in A,r \in R\text{ and }f,g \in F\left( A\right) .

检查所有 RR -模公理成立是一件简单的事情（细节被省略）。通过 a↦faa \mapsto {f}_{a} 识别 AA 作为 F(A)F\left( A\right) 的子集，其中 fa{f}_{a} 是在 aa 处取值为1，在其他地方为0的函数。这样，我们可以将 F(A)F\left( A\right) 视为所有有限 RR -线性组合的元素集合，通过将每个函数 ff 与和 r1a1+r2a2+⋯+rnan{r}_{1}{a}_{1} + {r}_{2}{a}_{2} + \cdots + {r}_{n}{a}_{n} 相关联，其中 ff 在 ai{a}_{i} 处取值为 ri{r}_{i} ，在其他所有 AA 的元素处为0。此外，F(A)F\left( A\right) 的每个元素都有这样一个形式和的唯一表达式。为了建立 F(A)F\left( A\right) 的泛性质，假设 φ:A→M\varphi : A \rightarrow M 是从集合 AA 到 RR -模 MM 的映射。定义 Φ:F(A)→M\Phi : F\left( A\right) \rightarrow M 通过

Φ:∑i=1nriai↦∑i=1nriφ(ai).\Phi : \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{r}_{i}{a}_{i} \mapsto \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{r}_{i}\varphi \left( {a}_{i}\right) .

由于 F(A)F\left( A\right) 元素的表达式具有唯一性，即它们作为 ai{a}_{i} 的线性组合，我们可以轻易地看出 Φ\Phi 是一个明确定义的 RR -模同态（具体细节留作练习）。根据定义，Φ\Phi 在 AA 上的限制等于 φ\varphi 。最后，由于 F(A)F\left( A\right) 由 AA 生成，一旦我们知道了 RR -模同态在 AA 上的值，它在对 F(A)F\left( A\right) 的每个元素上的值也就唯一确定了，因此 Φ\Phi 是 φ\varphi 到整个 F(A)F\left( A\right) 上的唯一扩展。

当 AA 是有限集 {a1,a2,…,an}\{ {a}_{1},{a}_{2},\ldots ,{a}_{n}\} 时，命题 5(3)5\left( 3\right) 显示 F(A)=Ra1⊕F\left( A\right) = R{a}_{1} \oplus Ra2⊕⋯⊕RanR{a}_{2} \oplus \cdots \oplus R{a}_{n} 。由于 R≅RaiR \cong R{a}_{i} 对于所有 ii 成立（在映射 r↦rair \mapsto r{a}_{i} 下），命题 5(1) 显示直接和与 Rn{R}^{n} 同构。

推论 7。

(1) 如果 F1{F}_{1} 和 F2{F}_{2} 是在相同集合 AA 上的自由模，那么在 F1{F}_{1} 和 F2{F}_{2} 之间存在一个唯一的同构，该同构在 AA 上是恒等映射。

(2) 如果 FF 是任意基于 AA 的自由 RR -模，那么 F≅F(A)F \cong F\left( A\right) 。特别是，FF 对于 AA 享有与定理 6 中的 F(A)F\left( A\right) 相同的通用性质。

证明：练习。

如果 FF 是一个自由的 RR -模，其基为 AA ，那么我们通常（特别是在向量空间的情形中）会通过指定它们在 AA 元素上的值，然后说“通过线性扩展”，来定义从 FF 到其他 RR -模的 RR -模同态。推论 7(2) 保证这是允许的。

当 R=ZR = \mathbb{Z} ，集合 AA 上的自由模被称为 AA 上的自由阿贝尔群。如果 ∣A∣=n,  F(A)  is  called  the  free  abelian  group  of  rank  n  and  is  isomorphic  to  Z⊕⋯⊕Z\left| A\right| = n,\;F\left( A\right) \;\mathrm{{is}\;{called}\;{the}\;{free}\;{abelian}\;{group}\;{of}\;{rank}\;n\;{and}\;{is}\;{isomorphic}\;{to}\;\mathbb{Z}}\mathrm{ \oplus }\mathrm{\cdots }\mathrm{ \oplus }\mathbb{Z} (nn 次)。这些定义与第5章中给出的定义一致。

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