7.4 理想的性质

理想的性质

在本节中 $R$ 是具有单位元 $1 \neq 0$ 的环。

定义

设 $A$ 是环 $R$ 的任意子集。

(1) 令 (A) 表示包含 $A$ 的最小理想，称为由 $A$ 生成的理想。

(2) 令 ${RA}$ 表示所有形如 ${ra}$ 的元素的和的集合，其中 $r \in R$ 和 $\;a\; \in \;A\;$ ，即 $\;{RA} = \{ {r}_{1}{a}_{1} + {r}_{2}{a}_{2} + \cdots + {r}_{n}{a}_{n} \mid {r}_{i} \in R,\;{a}_{i} \in A,\;n \in {\mathbb{Z}}^{ + }\}$（约定 ${RA} = 0$ 如果 $A = \varnothing$ ）。

同样，${AR} = \left\{ {{a}_{1}{r}_{1} + {a}_{2}{r}_{2} + \cdots + {a}_{n}{r}_{n} \mid {r}_{i} \in R,{a}_{i} \in A,n \in {\mathbb{Z}}^{ + }}\right\}$ 和

(3) 由单个元素生成的理想称为主理想。

(4) 由有限集生成的理想称为有限生成理想。

当 $A = \{ a\}$ 或 $\left\{ {{a}_{1},{a}_{2},\ldots }\right\}$ 等时，我们将省略集合括号，仅分别简单写作 $\left( a\right) ,\left( {{a}_{1},{a}_{2},\ldots }\right)$ 表示 (A)。

由环的子集生成的理想的观念与由群的子集生成的子群的观念类似（第2.4节）。由于任意非空理想集合的交集也是 $R$ 的理想（参见第3节的练习18）并且 $A$ 总是包含在至少一个理想中（即 $R$ ），我们有

即，（A）是包含集合 $R$ 的所有理想 $A$ 的交集。

由 $A$ 生成的左理想是包含 A 的所有左理想的交集。这个左理想是通过将 $A$ 在定义左理想的全部运算下闭合得到的。由定义直接可知 ${RA}$ 在加法和任意环元素的左乘下是闭合的。由于 $R$ 有单位元，${RA}$ 包含 A。因此 ${RA}$ 是一个包含 $A$ 的 $R$ 的左理想。反之，任何包含 $A$ 的左理想都必须包含所有形式为 ${ra},r \in R$ 和 $a \in A$ 的元素的有限和，因此也必须包含 ${RA}.$ 。因此 ${RA}$ 正是由 ${generated}$ 通过 $A.$ 生成的左理想。类似地，${AR}$ 是由 $A$ 生成的右理想，${RAR}$ 是由 A 生成的（双边）理想。特别是，

当 $R$ 是一个交换环且 $a \in R$ 时，由 $a$ 生成的主理想 (a) 只不过是所有 $R$ -倍数的集合 $a$ 。然而，如果 $R$ 不是交换的，那么集合 $\{$ ras $\mid r,s \in R\}$ 不一定是 $a$ 生成的双边理想，因为它可能不在加法下闭合（在这种情况下，由 $a$ 生成的理想是理想 ${RaR}$ ，它由所有形式为 ${ras},r,s \in R$ 的元素的有限和组成）。

在一个交换环中，主理想的形成是一种特别简单的创建理想的方式，类似于生成一个群中的循环子群。注意，元素 $b \in R$ 属于理想 (a) 当且仅当 $b = {ra}$ 对于某些 $r \in R$，即当且仅当 $b$ 是 $a$ 的倍数，或者换句话说，$a$ 在 $R$ 中整除 $b$。此外，$b \in \left( a\right)$ 当且仅当 $\left( b\right) \subseteq \left( a\right)$。因此，理想之间的包含关系，尤其是主理想之间的包含关系，可以看出捕捉到了一些一般交换环的算术性质。所有理想都是主理想的交换环是最容易研究的，这些将在第8章和第9章中发挥重要作用。

示例

(1) 平凡理想 0 和理想 $R$ 都是主理想：$0 = \left( 0\right)$ 和 $R = \left( 1\right)$。

在 $\mathbb{Z}$ 中，对于所有整数 $n$ 我们有 $n\mathbb{Z} = \mathbb{Z}n = \left( n\right) = \left( {-n}\right)$ 。因此，我们对于 ${aR}$ 的记法与我们所使用的 $n\mathbb{Z}$ 的定义是一致的。如前一部分所述，这些是 $\mathbb{Z}$ 的所有理想，所以 $\mathbb{Z}$ 的每个理想都是主理想。对于正整数 $n$ 和 $m,n\mathbb{Z} \subseteq m\mathbb{Z}$，当且仅当 $m$ 在 $\mathbb{Z}$ 中整除 $n$ ，所以包含 $n\mathbb{Z}$ 的理想格与 $n$ 的因数格相同。此外，由两个非零整数 $n$ 和 $m$ 生成的理想是由它们的最大公约数 $d : \left( {n,m}\right) = \left( d\right)$ 生成的主理想。因此，将 (n,m) 作为 $n$ 和 $m$ 的最大公约数的记法与由 $n$ 和 $m$ 生成的理想（尽管该理想的生成元的主生成元仅确定到 $a \pm$ 符号 - 我们可以通过选择非负生成元使其唯一）的记法是一致的。特别是，当且仅当 $\left( {n,m}\right) = \left( 1\right)$ 时，$n$ 和 $m$ 是互质的。

我们证明由2和$x$在$\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack$生成的理想(2,x)不是一个主理想。注意到$\left( {2,x}\right) = \left\{ {{2p}\left( x\right) + {xq}\left( x\right) \mid p\left( x\right) ,q\left( x\right) \in \mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack }\right\}$，因此这个理想恰好包含常数项为偶数的整系数多项式（正如前一部分例5中所讨论的）-特别是，这是一个真理想。假设为了得出矛盾，$\left( {2,x}\right) = \left( {a\left( x\right) }\right)$对于某个$a\left( x\right) \in \mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack$。由于$2 \in \left( {a\left( x\right) }\right)$，必然存在某个$p\left( x\right)$使得$2 = p\left( x\right) a\left( x\right)$。$p\left( x\right) a\left( x\right) \mathrm{{equals}}\mathrm{{degree}}\;p\left( x\right) + \mathrm{{degree}}\;a\left( x\right) ,\mathrm{{hence}}\;\mathrm{{both}}\;p\left( x\right) \;\mathrm{{and}}\;a\left( x\right) \;\mathrm{{must}}\;\mathrm{{beconstant}}$多项式的次数，即整数。因为2是一个质数，$a\left( x\right) ,p\left( x\right) \in \{ \pm 1, \pm 2\}$。如果$a\left( x\right)$是±1，那么每个多项式都会是$a\left( x\right)$的倍数，这与$\left( {a\left( x\right) }\right)$是一个真理想相矛盾。唯一可能的是$a\left( x\right) = \pm 2$。但是现在$x \in \left( {a\left( x\right) }\right) = \left( 2\right) =$(-2)，因此$x = {2q}\left( x\right)$对于某个具有整系数的多项式$q\left( x\right)$，显然是不可能的。这个矛盾证明了(2,x)不是主理想。

注意，如果未指定环，符号(A)是模糊的：在$\mathbb{Q}\left\lbrack x\right\rbrack$中由2和$x$生成的理想是整个环(1)，因为它包含元素$\frac{1}{2}2 = 1$。

我们将在第9章看到，对于任何域 $F$ ，$F\left\lbrack x\right\rbrack$ 的所有理想都是主理想。如果 $R$ 是从闭区间 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 到 $\mathbb{R}$ 的所有函数的环，设 $M$ 为理想 $\left\{ {f \mid f\left( \frac{1}{2}\right) = 0}\right\}$（在 $\frac{1}{2}$ 处求值的核）。设 $g\left( x\right)$ 为在 $x = \frac{1}{2}$ 处为零，在所有其他点处为1的函数。那么 $f = {fg}$ 对于所有 $f \in M$ ，因此 $M$ 是一个以 $g$ 为生成元的主理想。实际上，任何在 $\frac{1}{2}$ 处为零，在所有其他点处非零的函数都是同一理想 $M$ 的另一个生成元。

另一方面，如果 $R$ 是从 [0,1] 到 $\mathbb{R}$ 的所有连续函数的环，那么 $\left\{ {f \mid f\left( \frac{1}{2}\right) = 0}\right\}$ 既不是主理想，也不是有限生成的（参见练习）。

（5）如果 $G$ 是一个有限群，$R$ 是一个带有单位元的交换环，那么增广理想由集合 $\{ g - 1 \mid g \in G\}$ 生成，尽管这不一定是最小生成元集合。例如，如果 $G$ 是一个以 $\sigma$ 为生成元的循环群，那么增广理想是一个以 $\sigma - 1$ 为生成元的主理想。

命题9

设 $I$ 是 $R$ 的一个理想。

（1）$I = R$ 当且仅当 $I$ 包含一个单位元。

（2）假设 $R$ 是交换的。那么 $R$ 是一个域当且仅当它的唯一理想是 0 和 $R$ 。

证明：(1) 如果 $I = R$ 则 $I$ 包含单位元 1。反之，如果 $u$ 是 $I$ 中的单位元，其逆元为 $v$，那么对于任意的 $r \in R$

因此 $R = I$。

(2) 环 $R$ 是域当且仅当每个非零元素都是单位元。如果 $R$ 是域，则每个非零理想包含单位元，所以根据第一部分 $R$ 是唯一的非零理想。反之，如果 0 和 $R$ 是 $R$ 的唯一理想，设 $u$ 是 $R$ 中的任意非零元素。根据假设 $\left( u\right) = R$，因此 $1 \in \left( u\right)$。因此存在某个 $v \in R$ 使得 $1 = {vu}$，即 $u$ 是单位元。因此 $R$ 的每个非零元素都是单位元，所以 $R$ 是域。

推论 10

如果 $R$ 是域，那么从 $R$ 到另一个环的任意非零环同态是单射。

证明：环同态的核是一个理想。非零同态的核是一个真理想，因此根据命题，它是 0。

这些结果表明域的理想结构是平凡的。我们通过同态研究代数结构的方法在域论（第 IV 部分）中仍将发挥基本作用，当我们研究一个域到另一个域的单射同态（嵌入）和域的自同构（域到自身的同构）时。

如果 $D$ 是一个具有单位元 $1 \neq 0$ 的环，其中唯一的左理想和唯一的右理想是 0 和 $D$ ，那么 $D$ 是一个除环。反之，如果 $D$ 是一个除环，那么其中的唯一（左、右或双边）理想是 0 和 $D$ ，这给出了命题 9(2) 的一个类似，如果 $R$ 不是交换的（见练习）。然而，如果 $F$ 是一个域，那么对于任何 $n \geq 2$ ，矩阵环 ${M}_{n}\left( F\right)$ 中的唯一双边理想是 0 和 ${M}_{n}\left( F\right)$ ，尽管这不是一个除环（它确实有适当、非平凡、左和右理想：参见第3节），这表明命题 9(2) 对非交换环不成立。那些其唯一双边理想是 0 和整个环（这些环被称为单环）将在第 18 章中研究。

理想的一个重要类别是那些不包含在任何其他适当理想中的理想：

定义。在任意环 $S$ 中的一个理想 $M$ 被称为极大理想，如果 $M \neq S$ 且包含 $M$ 的唯一理想是 $M$ 和 $S$ 。

通用环不一定具有极大理想。例如，取任何没有极大子群的阿贝尔群（例如，$\mathbb{Q}$ - 参见练习16，第6.1节），并通过定义 ${ab} = 0$ 对于所有 $a,b$ 来将其制成平凡环。在这样的环中，理想仅仅是子群，因此没有极大理想。零环没有极大理想，因此任何涉及极大理想的结果都迫使环为非零。下一个命题表明，具有单位元的环 $1 \neq 0$ 总是具有极大理想。像许多这样的通用存在定理（例如，有限生成群具有极大子群的结果，或者每个向量空间都有基的结果）一样，证明依赖于佐恩引理（见附录I）。然而，在许多具体的环中，极大理想的存在通常是显而易见的，与佐恩引理无关。

命题11

在具有单位元的环中，每个真理想都包含在一个极大理想中。

证明：设 $R$ 是一个具有单位元的环，并设 $I$ 是一个真理想（所以 $R$ 不能是零环，即，$1 \neq 0)$）。设 $\mathcal{S}$ 是所有包含 $I$ 的 $R$ 的真理想的集合。那么 $\mathcal{S}$ 是非空的 $\left( {I \in \mathcal{S}}\right)$ 并且通过包含进行部分排序。如果 $\mathcal{C}$ 是 $\mathcal{S}$ 中的一个链，定义 $J$ 为 $\mathcal{C}$ 中所有理想的并集：

我们首先证明 $J$ 是一个理想。显然 $J$ 非空，因为 $\mathcal{C}$ 非空 - 具体来说，$0 \in J$，因为 0 在每个理想 $A$ 中。如果 $a,b \in J$，那么存在理想 $A,B \in \mathcal{C}$ 使得 $a \in A$ 并且 $b \in B$。根据链的定义，要么 $A \subseteq B$，要么 $B \subseteq A$。在这两种情况下 $a - b \in J$，所以 $J$ 在减法下是封闭的。因为每个 $A \in \mathcal{C}$ 在由 $R$ 的元素进行左乘和右乘下都是封闭的，所以 $J$ 也是。这证明了 $J$ 是一个理想。

如果 $J$ 不是一个真理想，那么 $1 \in J$。在这种情况下，根据 $J$ 的定义，我们必须有 $1 \in A$ 对于某些 $A \in \mathcal{C}$。这是一个矛盾，因为每个 $A$ 是一个真理想 $\left( {A \in \mathcal{C} \subseteq \mathcal{S}}\right)$。这证明了每个链在 $\mathcal{S}$ 中有一个上界。根据 Zorn 引理 $\mathcal{S}$ 有一个极大元素，因此是一个包含 $I$ 的极大（真）理想。

对于交换环，下一个结果通过其商环的结构来刻画极大理想。

命题 12

假设 $R$ 是交换的。理想 $M$ 是极大理想当且仅当商环 $R/M$ 是一个域。

证明：这遵循格同构定理以及命题9(2)。理想 $M$ 是极大理想当且仅当不存在理想 $I$ 满足 $M \subset I \subset R$ 。根据格同构定理，包含 $M$ 的 $R$ 的理想与 $R/M$ 的理想存在双射对应，因此 $M$ 是极大理想当且仅当 $R/M$ 的唯一理想是 0 和 $R/M$ 。根据命题9(2)，我们可以看到 $M$ 是极大理想当且仅当 $R/M$ 是一个域。

上面的命题指出了如何构造一些域：取任何带有单位元的交换环 $R$ 对其极大理想的商环。我们将在第四部分中使用这一点，通过取环 $\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack$ 对极大理想的商来构造所有有限域。

示例

(1) 设 $n$ 是一个非负整数。如果 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是域，那么 $\mathbb{Z}$ 的理想 $n\mathbb{Z}$ 是极大理想。我们在第3节中看到，当且仅当 $n$ 是质数时，情况是这样的。这也直接遵循了上面例2中描述的 $\mathbb{Z}$ 理想的包含关系。

(2) 理想(2,x)在 $\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack$ 中是极大理想，因为它的商环是域 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ - 参见上面的例3以及第3节末尾的例5。

(3) 在 $\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack$ 中的理想(x)不是一个极大理想，因为 $\left( x\right) \subset \left( {2,x}\right) \subset \mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack$ 。商环 $\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack /\left( x\right)$ 同构于 $\mathbb{Z}$（在 $\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack$ 中的理想(x)是到 $\mathbb{Z}$ 的满射环同态的核，该同态由在 0 处求值给出）。由于 $\mathbb{Z}$ 不是一个域，我们再次看到(x)在 $\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack$ 中不是一个极大理想。

(4) 设 $R$ 是从 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 到 $\mathbb{R}$ 的所有函数的环，对于每个 $a \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ ，设 ${M}_{a}$ 是在 $a$ 处求值的核。由于求值是从 $R$ 到 $\mathbb{R}$ 的满射同态，我们看到 $R/{M}_{a} \cong \mathbb{R}$ ，因此 ${M}_{a}$ 是一个极大理想。类似地，任何固定点的求值核是在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上的连续实值函数环中的一个极大理想。

(5) 如果 $F$ 是一个域且 $G$ 是一个有限群，那么增广理想 $I$ 是群环 ${FG}$ 的一个极大理想（参见前一部分末尾的示例 7）。增广理想是增广映射的核，该映射是到域 $F$ 的满射同态（即 ${FG}/I \cong F$ ，一个域）。注意命题 12 不能直接应用，因为 ${FG}$ 不一定是交换的，然而，如果 $R/I$ 是一个域，命题 12 中的蕴涵 $I$ 是一个极大理想对于任意环都是成立的。

定义

假设 $R$ 是交换的。如果一个理想 $P$ 满足 $P \neq R$ ，且每当两个元素 $a,b \in R$ 的积是 $P$ 的一个元素时，那么 $a$ 和 $b$ 中至少有一个是 $P$ 的元素，那么这个理想 $P$ 被称为素理想。

极大理想的概念相当直观，但素理想的定义可能看起来有点奇怪。然而，它是整数中“素数”概念的天然推广 $\mathbb{Z}$ 。设 $n$ 为一个非负整数。根据上述定义，如果 $n\mathbb{Z}$ 是素理想（为了确保理想是适当的），并且每当两个整数的积 ${ab}$ 是 $n\mathbb{Z}$ 的一个元素时，$a,b$ 中至少有一个是 $n\mathbb{Z}$ 的元素。换句话说，如果 $n \neq 0$ ，那么它必须具有每当 $n$ 除 ${ab},n$ ，则 $a$ 必须除 $b$ 或者除 $p\mathbb{Z}$ 。这等价于通常的素数定义，即 $n$ 是一个素数。因此，$\mathbb{Z}$ 的素理想就是由素数 $p$ 生成的理想 $\mathbb{Z}$ 以及理想 0。

对于整数 $\mathbb{Z}$ ，极大理想和非零素理想之间没有区别。这通常不是真的，但我们很快就会看到每个极大理想都是一个素理想。首先，我们将素理想的概念转化为商环的性质，正如我们在命题 12 中对极大理想所做的那样。回想一下，整环是一个具有单位元 $1 \neq 0$ 且没有零因子的交换环。

命题13

假设 $R$ 是交换的。那么理想 $P$ 是 $R$ 中的素理想当且仅当商环 $R/P$ 是一个整环。

证明：这个证明仅仅是把素理想的定义转换成商的语言。理想 $P$ 是素理想当且仅当 $P \neq R$ ，并且每当 ${ab} \in P$ ，那么要么 $a \in P$ 要么 $b \in P$ 。对于 $R/P$ 的元素使用杠表示法：$\bar{r} = r + P$ 。注意 $r \in P$ 当且仅当元素 $\bar{r}$ 在商环 $R/P$ 中为零。因此，在商的术语中 $P$ 是素理想当且仅当 $\bar{R} \neq \bar{0}$ ，并且每当 $\overline{ab} = \overline{a}\overline{b} = \overline{0}$ ，那么要么 $\overline{a} = \overline{0}$ 要么 $\overline{b} = \overline{0}$ ，即 $R/P$ 是一个整环。

特别地，一个带有单位元的交换环是一个整环当且仅当0是一个素理想。

推论14

假设 $R$ 是交换的。那么 $R$ 的每个极大理想都是一个素理想。

证明：如果 $M$ 是一个极大理想，那么根据命题12，$R/M$ 是一个域。域是一个整环，所以推论由命题13得出。

示例

(1) 在 $\mathbb{Z}$ 中由素数生成的主理想既是素理想也是极大理想。$\mathbb{Z}$ 中的零理想是素理想但不是极大理想。

(2) 理想$(x)$是 $\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack$ 中的素理想，因为 $\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack /\left( x\right) \cong \mathbb{Z}$ 。这个理想不是一个极大理想。$\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack$ 中的理想0是素理想，但不是极大理想。