7.3 环同态与商环

翻斗花园爷爷
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环同态与商环

环同态是从一个环到另一个环的映射，它尊重加法和乘法结构：

定义

设 RR 和 SS 是环。

(1) 环同态是一个满足以下条件的映射 φ:R→S\varphi : R \rightarrow S：

(i) φ(a+b)=φ(a)+φ(b)  \varphi \left( {a + b}\right) = \varphi \left( a\right) + \varphi \left( b\right) \; 对于所有   a,b∈R\;a,b \in R（因此 φ\varphi 是加群上的群同态）并且

(ii) φ(ab)=φ(a)φ(b)\varphi \left( {ab}\right) = \varphi \left( a\right) \varphi \left( b\right) 对于所有 a,b∈Ra,b \in R 。

(2) 环同态 φ\varphi 的核，记作 ker φ\varphi，是 RR 中映射到 SS 中0的元素集合（即，将 φ\varphi 视为加群同态时的核）。

(3) 双射环同态称为同构。

如果上下文清晰，我们将简单地使用“同态”这个术语而不是“环同态”。类似地，如果 AA 和 BB 是环，除非另有说明，否则 A≅BA \cong B 总是指环的同构。

示例

(1) 由将偶数映射到 0 和奇数映射到 1 定义的映射 φ:Z→Z/2Z\varphi : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 是一个环同态。该映射是加法的，因为两个偶数或两个奇数的和是偶数，而一个偶数与一个奇数的和是奇数。该映射是乘法的，因为两个奇数的积是奇数，而一个偶数与任何整数的积是偶数。映射 φ\varphi 的核（即 φ\varphi 在 0∈Z/2Z0 \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 上的纤维）是偶数集合。映射 φ\varphi 在 1∈Z/2Z1 \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 上的纤维是奇数集合。

(2) 对于 n∈Zn \in \mathbb{Z} ，由 φn(x)=nx{\varphi }_{n}\left( x\right) = {nx} 定义的映射 φn:Z→Z{\varphi }_{n} : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} 通常不是环同态，因为 φn(xy)=nxy{\varphi }_{n}\left( {xy}\right) = {nxy} 而 φn(x)φn(y)=nxny=n2xy{\varphi }_{n}\left( x\right) {\varphi }_{n}\left( y\right) = {nxny} = {n}^{2}{xy} 。因此 φn{\varphi }_{n} 只有在 n2=n{n}^{2} = n ，即 n=0,1n = 0,1 时才是环同态。注意，然而 φn{\varphi }_{n} 总是加法群上的群同态。因此，在处理环时应谨慎，确保检查两个环运算都得到保留。注意 φ0{\varphi }_{0} 是零同态，而 φ1{\varphi }_{1} 是恒等同态。

(3) 设 φ:Q[x]→Q\varphi : \mathbb{Q}\left\lbrack x\right\rbrack \rightarrow \mathbb{Q} 是从有理系数多项式环 xx 到有理数的映射，定义为 φ(p(x))=p(0)\varphi \left( {p\left( x\right) }\right) = p\left( 0\right)（即，将多项式映射为其常数项）。那么 φ\varphi 是一个环同态，因为两个多项式和的常数项是它们常数项的和，两个多项式积的常数项是它们常数项的积。在 a∈Qa \in \mathbb{Q} 上的纤维由常数项为 aa 的多项式集合组成。特别是，φ\varphi 的核由常数项为0的多项式组成。

命题 5

设 RR 和 SS 是环，φ:R→S\varphi : R \rightarrow S 是一个同态。

(1) φ\varphi 的像在 SS 中是一个子环。

(2) φ\varphi 的核在 RR 中是一个子环。进一步，如果 α∈ker⁡φ\alpha \in \ker \varphi ，那么 rα{r\alpha } 并且 αr∈ker⁡φ  for  every  r∈R,i.e.,ker⁡φ  is  closed  under  multiplication  by  elements{\alpha r} \in \ker \varphi \;\mathrm{{for}}\;\mathrm{{every}}\;r \in R,\mathrm{i}.\mathrm{e}.,\ker \varphi \;\mathrm{{is}}\;\mathrm{{closed}}\;\mathrm{{under}}\;\mathrm{{multiplication}}\;\mathrm{{by}}\;\mathrm{{elements}} 来自 RR 。

证明：(1) 如果 s1,s2∈im⁡φ{s}_{1},{s}_{2} \in \operatorname{im}\varphi ，那么 s1=φ(r1){s}_{1} = \varphi \left( {r}_{1}\right) 并且 s2=φ(r2){s}_{2} = \varphi \left( {r}_{2}\right) 对于某些 r1,r2∈R{r}_{1},{r}_{2} \in R 。那么 φ(r1−r2)=s1−s2\varphi \left( {{r}_{1} - {r}_{2}}\right) = {s}_{1} - {s}_{2} 并且 φ(r1r2)=s1s2\varphi \left( {{r}_{1}{r}_{2}}\right) = {s}_{1}{s}_{2} 。这表明 s1−s2,s1s2∈imφ{s}_{1} - {s}_{2},{s}_{1}{s}_{2} \in \mathrm{{im}}\varphi ，因此 φ\varphi 的像是关于减法和乘法封闭的，因此是一个 SS 的子环。

(2) 如果 α,β∈ker⁡φ\alpha ,\beta \in \ker \varphi ，那么 φ(α)=φ(β)=0\varphi \left( \alpha \right) = \varphi \left( \beta \right) = 0 。因此 φ(α−β)=0\varphi \left( {\alpha - \beta }\right) = 0 并且 φ(αβ)=0\varphi \left( {\alpha \beta }\right) = 0 ，所以 ker⁡φ\ker \varphi 是关于减法和乘法封闭的，因此是一个 RR 的子环。类似地，对于任何 r∈Rr \in R 我们有 φ(rα)=φ(r)φ(α)=φ(r)0=0\varphi \left( {r\alpha }\right) = \varphi \left( r\right) \varphi \left( \alpha \right) = \varphi \left( r\right) 0 = 0 ，并且也有 φ(αr)=φ(α)φ(r)=0φ(r)=0,\varphi \left( {\alpha r}\right) = \varphi \left( \alpha \right) \varphi \left( r\right) = {0\varphi }\left( r\right) = 0, ，所以 rα,αr∈ker⁡φ.{r\alpha },{\alpha r} \in \ker \varphi . 。

在群同态 φ\varphi 的情况下，我们看到同态的纤维具有与 φ\varphi 的像自然同构的群结构，这导致了正规子群的商群概念。对于环同态，一个类似的结果也是成立的。

设 φ:R→S\varphi : R \rightarrow S 为一个环同态，其核为 II 。由于 RR 和 SS 特别是加法阿贝尔群，φ\varphi 特别是阿贝尔群的同态，且 φ\varphi 的纤维是核 II 的加法陪集 r+Ir + I（更准确地说，如果 rr 是映射到 a∈S,φ(r)=aa \in S,\varphi \left( r\right) = a 的 RR 中的任意元素，那么 φ\varphi 在 aa 上的纤维是核 II 的陪集 r+Ir + I）。这些纤维具有与 φ\varphi 的像自然同构的环结构：如果 XX 是 a∈Sa \in S 上的纤维，YY 是 b∈Sb \in S 上的纤维，那么 X+YX + Y 是 a+ba + b 上的纤维，XY{XY} 是 ab{ab} 上的纤维。在核 II 的陪集方面，这种加法和乘法是

(r+I)+(s+I)=(r+s)+I(7.1)\left( {r + I}\right) + \left( {s + I}\right) = \left( {r + s}\right) + I \tag{7.1}
(r+I)×(s+I)=(rs)+I.(7.2)\left( {r + I}\right) \times \left( {s + I}\right) = \left( {rs}\right) + I. \tag{7.2}

与群的情况类似，这些操作定义在核 II 的陪集集合上的环结构的验证，最终依赖于 SS 的相应环性质。这个陪集环被称为 RR 除以 I=ker⁡φI = \ker \varphi 的商环，表示为 R/IR/I 。请注意，环 R/IR/I 的加法结构仅仅是加法阿贝尔群 RR 除以（必然是正规子群）II 的加法商群。当 II 是某些同态 φ\varphi 的核时，这个加法阿贝尔商群还具有乘法结构，由（7.2）定义，这使得 R/IR/I 成为一个环。

与群的情况类似，我们也可以考虑是否（1）和（2）可以用来在 RR 的任意子群 II 的陪集集合上定义环结构。请注意，由于 RR 是一个阿贝尔加法群，子群 II 必然是正规子群，因此 II 的陪集的商 R/IR/I 自动是一个加法阿贝尔群。接下来的问题是这个商群是否也具有由 RR 中的乘法诱导的乘法结构，由（2）定义。通常情况下答案是否定的（就像尝试用群的任意子群形成商群时答案是否定的一样），这导致了 RR 中理想的概念（群的正规子群在环中的类似物）。然后我们将看到 RR 的理想正是 RR 的环同态的核（群的正规子群作为群同态核的特征在环中的类似物）。

令 II 为加法群 RR 的一个任意子群。我们考虑当(2)中的陪集乘法是良定义的，并且使得加法交换群 R/IR/I 成为一个环。关于(2)中的乘法是良定义的陈述意味着乘法与特定代表元 rr 和 ss 的选择无关，即如果我们改用代表元 r+αr + \alpha 和 s+βs + \beta ，对于任意的 α,β∈I\alpha ,\beta \in I ，我们得到相同的陪集。换句话说，我们必须有

(r+α)(s+β)+I=rs+I\left( {r + \alpha }\right) \left( {s + \beta }\right) + I = {rs} + I

(∗)\left( *\right)

对于所有的 r,s∈Rr,s \in R 和所有的 α,β∈I\alpha ,\beta \in I 。

令 r=s=0r = s = 0 ，我们看到 II 必须在乘法下封闭，即 II 必须是 RR 的子环。

接下来，令 s=0s = 0 和令 rr 为任意元，我们看到我们必须有 rβ∈I{r\beta } \in I 对于每一个 r∈Rr \in R 和每一个 β∈I\beta \in I ，即 II 必须在左侧乘以 RR 的元素时封闭。令 r=0r = 0 和令 ss 为任意元，我们同样看到 II 必须在右侧乘以 RR 的元素时封闭。

反之，如果 II 在左侧和右侧乘以 RR 的元素时封闭，那么对于所有的 α,β∈I\alpha ,\beta \in I ，关系 (*) 得到满足。因此，这是(2)中的乘法是良定义的必要且充分条件。

最后，如果由（2）定义的陪集乘法是良定义的，那么这个乘法使得加法商群 R/IR/I 成为一个环。商环中的每个环公理都直接遵循 RR 中相应公理。例如，分配律之一验证如下：

(r+I)[(s+I)+(t+I)]=(r+I)[(s+t)+I]\left( {r + I}\right) \left\lbrack {\left( {s + I}\right) + \left( {t + I}\right) }\right\rbrack = \left( {r + I}\right) \left\lbrack {\left( {s + t}\right) + I}\right\rbrack
=r(s+t)+I=(rs+rt)+I= r\left( {s + t}\right) + I = \left( {{rs} + {rt}}\right) + I
=(rs+I)+(rt+I)= \left( {{rs} + I}\right) + \left( {{rt} + I}\right)
=[(r+I)(s+I)]+[(r+I)(t+I)].= \left\lbrack {\left( {r + I}\right) \left( {s + I}\right) }\right\rbrack + \left\lbrack {\left( {r + I}\right) \left( {t + I}\right) }\right\rbrack .

这表明，如果且仅如果 II 在 RR 的元素左侧和右侧乘法下也是封闭的（因此特别是必须是的子环，因为它在乘法下封闭），环 RR 关于子群 II 的商 R/IR/I 才具有自然的环结构。如前所述，这样的子环 II 被称为 RR 的理想：

定义

设 RR 为一个环，II 为 RR 的一个子集，设 r∈Rr \in R 。

(1) rI={ra∣a∈I}  {rI} = \{ {ra} \mid a \in I\} \; 和   Ir={ar∣a∈I}\;{Ir} = \{ {ar} \mid a \in I\} 。

(2) II 的一个子集 RR 是 RR 的左理想如果

(i) II 是 RR 的子环，并且

(ii) II 在 RR 的元素左侧乘法下是封闭的，即 rI⊆I{rI} \subseteq I 对于所有 r∈Rr \in R 。

同样地，如果 (i) 成立，而 (ii) 被替换为

(ii)’ II 在 RR 的元素右侧乘法下是封闭的，即 Ir⊆I{Ir} \subseteq I 对于所有 r∈Rr \in R 。

(3) 一个既是的左理想又是右理想的子集 II 被称为理想（或者为了强调，称为双边理想）RR 。

对于交换环，左理想、右理想和双边理想的观念是重合的。我们强调，要证明一个环 II 的子集 RR 是一个理想，就必须证明 II 是非空的，且在减法下和乘以 RR 的所有元素下是封闭的（而不仅仅是乘以 II 的元素）。如果 RR 有一个单位元，那么 (−1)a=−a\left( {-1}\right) a = - a ，在这种情况下，如果 II 是非空的，在加法下封闭，并且在乘以 RR 的所有元素下封闭，那么 II 是一个理想。

注意，命题5的最后部分证明了任何环同态的核是一个理想。

我们将前面的讨论总结在以下命题中。

命题6

设 RR 是一个环，II 是 RR 的一个理想。那么，(加法)商群 R/IR/I 在二元运算下是一个环：

(r+I)+(s+I)=(r+s)+I   and   (r+I)×(s+I)=(rs)+I\left( {r + I}\right) + \left( {s + I}\right) = \left( {r + s}\right) + I\;\text{ and }\;\left( {r + I}\right) \times \left( {s + I}\right) = \left( {rs}\right) + I

对于所有 r,s∈Rr,s \in R 。反之，如果 II 是任何使得上述运算定义良好的子群，那么 II 是 RR 的一个理想。

定义

当 II 是 RR 的一个理想时，前一个命题中的运算的环 R/IR/I 被称为 RR 关于 II 的商环。

定理7

(1) （环的第一同构定理）如果 φ:R→S\varphi : R \rightarrow S 是环的同态，那么 φ\varphi 的核是 RR 的一个理想，φ\varphi 的像是 SS 的一个子环，R/ker⁡φR/\ker \varphi 作为环与 φ(R)\varphi \left( R\right) 同构。

(2) 如果 II 是 RR 的任何理想，那么映射

R→R/I   defined by   r↦r+IR \rightarrow R/I\;\text{ defined by }\;r \mapsto r + I

是一个满射环同态，其核为 II（这个同态称为从 RR 到 R/IR/I 的自然投影）。因此，每个理想都是某个环同态的核，反之亦然。

证明：这仅仅是收集之前的计算。如果 II 是 φ\varphi 的核，那么 II 的同余类（在加法下）正是 φ\varphi 的纤维。特别地，同余类 r+I,s+Ir + I,s + I 和 rs+I{rs} + I 分别是 φ\varphi 在 φ(r),φ(s)\varphi \left( r\right) ,\varphi \left( s\right) 和 φ(rs)\varphi \left( {rs}\right) 上的纤维。由于 φ\varphi 是一个环同态 φ(r)φ(s)=φ(rs),\varphi \left( r\right) \varphi \left( s\right) = \varphi \left( {rs}\right) ,，因此 (r+I)(s+I)=rs+I.\left( {r + I}\right) \left( {s + I}\right) = {rs} + I.。同余类的乘法是良定义的，因此 II 是一个理想，R/IR/I 是一个环。对应 r+I↦φ(r)r + I \mapsto \varphi \left( r\right) 是环 R/IR/I 和 φ(R)\varphi \left( R\right) 之间的一个双射，它尊重加法和乘法，因此是一个环同构。

如果 II 是任意理想，那么 R/IR/I 是一个环（特别是，它是一个阿贝尔群），映射 π:r↦r+I\pi : r \mapsto r + I 是一个以 II 为核的群同态。剩下要验证的是 π\pi 是一个环同态。这是从 R/IR/I 中乘法定义立即得出的：

π:rs↦rs+I=(r+I)(s+I)=π(r)π(s).\pi : {rs} \mapsto {rs} + I = \left( {r + I}\right) \left( {s + I}\right) = \pi \left( r\right) \pi \left( s\right) .

与群的情况一样，我们将经常使用横杆符号表示模 I:rˉ=r+II : \bar{r} = r + I 的约简。使用这种记号，商环 R/IR/I 中的加法和乘法变为 simply⁡rˉ+sˉ=r+s‾\operatorname{simply}\bar{r} + \bar{s} = \overline{r + s} 和 rˉsˉ=rs‾\bar{r}\bar{s} = \overline{rs}。

示例

设 RR 是一个环。

(1) 子环 RR 和 {0}\{ 0\} 是理想。如果一个理想 II 满足 I≠RI \neq R，则称其为适当理想。理想 {0}\{ 0\} 被称为平凡理想，用 0 表示。

(2) 显然，对于任何 n∈Zn \in \mathbb{Z}，nZn\mathbb{Z} 是 Z\mathbb{Z} 的理想，并且这些是 Z\mathbb{Z} 唯一的理想，因为特别是这些是 Z\mathbb{Z} 唯一子群。相关的商环是 Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}（这解释了符号选择，我们现在已经证明它是一个环），这在第0章中引入。例如，如果 n=15n = {15}，那么 Z/15Z\mathbb{Z}/{15}\mathbb{Z} 的元素是陪集 0‾,1‾,…,13‾,14‾\overline{0},\overline{1},\ldots ,\overline{13},\overline{14}。在商环中相加（或相乘）只需为两个陪集选择任一代表元，在整数 Z\mathbb{Z} 中相加（或分别相乘）这些代表元，然后取包含这个和（或积）的相应陪集。例如，7‾+11‾=18‾\overline{7} + \overline{11} = \overline{18} 和 18‾=3‾\overline{18} = \overline{3}，所以在 Z/15Z\mathbb{Z}/{15}\mathbb{Z} 中 7‾+11‾=3‾\overline{7} + \overline{11} = \overline{3}。类似地，7‾11‾=7‾7‾=2‾\overline{7}\overline{11} = \overline{7}\overline{7} = \overline{2} 在 Z/15Z\mathbb{Z}/{15}\mathbb{Z} 中。我们也可以通过写下 7+11≡7 + {11} \equiv 3  mod⁡  15,7(11)≡2  mod⁡  15.3{\;\operatorname{mod}\;{15}},7\left( {11}\right) \equiv 2{\;\operatorname{mod}\;{15}}. 来表达这一点。

自然投影 Z→Z/nZ\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} 被称为模 nn 的约简，将在这些例子的最后进一步讨论。

(3) 令 R=Z[x]R = \mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack 为带有整数系数的 xx 上的多项式环。令 II 为所有项的次数至少为2的多项式（即没有次数为0或次数为1的项）以及零多项式组成的集合。那么 II 是一个理想：这样两个多项式的和仍然有次数至少为2的项，且一个次数至少为2的多项式与任何多项式的乘积也只具有次数至少为2的项。两个多项式 p(x),q(x)p\left( x\right) ,q\left( x\right) 在 II 的同一个陪集中当且仅当它们相差一个次数至少为2的多项式，即当且仅当 p(x)p\left( x\right) 和 q(x)q\left( x\right) 具有相同的常数项和一次项。例如，多项式 3+5x+x3+x53 + {5x} + {x}^{3} + {x}^{5} 和 3+5x−x43 + {5x} - {x}^{4} 在 II 的同一个陪集中。很容易推出，对于商 R/IR/I 的一组完全代表是由次数至多为1的多项式 a+bxa + {bx} 组成的。

在商中的加法和乘法再次通过代表进行。例如，

(1+3x‾)+(−4+5x‾)=−3+8x‾\left( \overline{1 + {3x}}\right) + \left( \overline{-4 + {5x}}\right) = \overline{-3 + {8x}}

以及

(1+3x‾)(−4+5x‾)=(−4−7x+15x2)‾=−4−7x‾.\left( \overline{1 + {3x}}\right) \left( \overline{-4 + {5x}}\right) = \overline{\left( -4 - 7x + {15}{x}^{2}\right) } = \overline{-4 - {7x}}.

注意在这个商环 R/IR/I 中，例如我们有 xˉxˉ=x2‾=0‾\bar{x}\bar{x} = \overline{{x}^{2}} = \overline{0} ，因此 R/IR/I 有零因子，尽管 R=Z[x]R = \mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack 没有。

(4) 令 AA 为一个环，XX 为任何非空集合，RR 为所有从 XX 到 AA 的函数组成的环。对于每个固定的 c∈Xc \in X ，映射

Ec:R→A defined by Ec(f)=f(c){E}_{c} : R \rightarrow A\text{ defined by }{E}_{c}\left( f\right) = f\left( c\right)

（称为在 cc 处的评估）是一个环同态，因为 RR 中的操作是函数的点加和点乘。 Ec{E}_{c} 的核由 {f∈R∣f(c)=0}\{ f \in R \mid f\left( c\right) = 0\} 给出（从 XX 到 AA 的函数集，在 cc 处消失）。此外，Ec{E}_{c} 是满射的：对于任何 a∈Aa \in A，常值函数 f(x)=af\left( x\right) = a 在 cc 处评估下映射到 aa。因此 R/ker⁡Ec≅AR/\ker {E}_{c} \cong A。

同样地，设 XX 为 R\mathbb{R} 中的闭区间 [0,1]\left\lbrack {0,1}\right\rbrack，并设 RR 为所有在 [0,1]\left\lbrack {0,1}\right\rbrack 上的连续实值函数的环。对于每个 c∈[0,1]c \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack，在 cc 处的评估是一个满射环同态（因为 RR 包含常值函数），所以 R/ker⁡Ec≅RR/\ker {E}_{c} \cong \mathbb{R}。Ec{E}_{c} 的核是所有在 xx 轴上穿过 cc 的连续函数的理想。更一般地，Ec{E}_{c} 在实数 y0{y}_{0} 上的纤维是所有通过点 (c,y0)\left( {c,{y}_{0}}\right) 的连续函数的集合。

(5) 从多项式环 R[x]R\left\lbrack x\right\rbrack 到 RR 的映射，由 p(x)↦p(0)p\left( x\right) \mapsto p\left( 0\right) （在 0 处求值）定义，是一个环同态，其核是所有常数项为零的多项式集合，即 p(0)=0.p\left( 0\right) = 0.。我们可以将此同态与从 RR 到另一个环 SS 的任意同态组合，以获得从 R[x]R\left\lbrack x\right\rbrack 到 SS 的环同态。例如，设   R=Z  \;R = \mathbb{Z}\; 并考虑由组合 p(x)↦p(0)↦p(0)p\left( x\right) \mapsto p\left( 0\right) \mapsto p\left( 0\right) 取模 2∈Z/2Z2 \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 定义的同态   Z[x]→Z/2Z  \;\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack \rightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\;。这个复合映射的核由 {p(x)∈Z[x]∣p(0)∈2Z}\{ p\left( x\right) \in \mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack \mid p\left( 0\right) \in 2\mathbb{Z}\} 给出，即所有常数项为偶数的整系数多项式集合。这个同态的另一个纤维是常数项为奇数的多项式的陪集，正如我们之前确定的。由于同态显然是满射的，商环是 Z/2Z\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}。

(6) 修正一些 n∈Zn \in \mathbb{Z} 并考虑非交换环 Mn(R){M}_{n}\left( R\right) 。如果 JJ 是 RR 的任意理想，那么 Mn(J){M}_{n}\left( J\right) ，即那些元素来自 JJ 的 n×nn \times n 矩阵，是 Mn(R){M}_{n}\left( R\right) 的双边理想。这个理想是满同态 Mn(R)→Mn(R/J){M}_{n}\left( R\right) \rightarrow {M}_{n}\left( {R/J}\right) 的核，该同态将矩阵的每个元素对 JJ 取模，即，将每个元素 aij{a}_{ij} 映射到 aij‾\overline{{a}_{ij}} （这里的横线表示取 R/JR/J 的过程）。例如，当 n=3n = 3 和 R=ZR = \mathbb{Z} 时，所有元素均为偶数的 3×33 \times 3 矩阵是 M3(Z){M}_{3}\left( \mathbb{Z}\right) 的双边理想 M3(2Z){M}_{3}\left( {2\mathbb{Z}}\right) ，并且商环 M3(Z)/M3(2Z){M}_{3}\left( \mathbb{Z}\right) /{M}_{3}\left( {2\mathbb{Z}}\right) 同构于 M3(Z/2Z){M}_{3}\left( {\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}\right) 。如果环 RR 有单位元，那么下面的练习表明 Mn(R){M}_{n}\left( R\right) 的每个双边理想都可以表示为 Mn(J){M}_{n}\left( J\right) 的形式，对于 RR 的某个双边理想 JJ 。

(7) 设 RR 是带有单位元的交换环，G={g1,…,gn}G = \left\{ {{g}_{1},\ldots ,{g}_{n}}\right\} 是有限群。从群环 RG{RG} 到 RR 的映射，定义为 ∑i=1naigi↦∑i=1nai\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{i}{g}_{i} \mapsto \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{i} ，容易看出是一个同态，称为增广映射。增广映射的核，即增广理想，是 RG{RG} 中系数和为 0 的元素集合。例如，对于所有 i,ji,j ，gi−gj{g}_{i} - {g}_{j} 是增广理想的一个元素。由于增广映射是满射，商环同构于 RR 。

另一个 RG{RG} 中的理想是 {∑i=1nagi∣a∈R}\left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}a{g}_{i} \mid a \in R}\right\}，即系数都相等（即，所有 RR -倍数的元素 g1+⋯+gn{g}_{1} + \cdots + {g}_{n}）的形式和。

（8）设 RR 是一个带有单位元 1≠01 \neq 0 的交换环，并且设 n∈Zn \in \mathbb{Z} 满足 n≥2n \geq 2。我们在环 Mn(R){M}_{n}\left( R\right) 中展示一些单侧理想。对于每个 j∈{1,2,…,n}j \in \{ 1,2,\ldots ,n\}，设 Lj{L}_{j} 为 Mn(R){M}_{n}\left( R\right) 中所有 n×nn \times n 矩阵的集合，其中 jth {j}^{\text{th }} 列的元素任意，其余列全为零。显然，Li{L}_{i} 在减法下是封闭的。直接从矩阵乘法的定义可知，对于任意矩阵 T∈Mn(R)T \in {M}_{n}\left( R\right) 和任意 A∈LjA \in {L}_{j}，乘积 TA{TA} 在所有 i≠ji \neq j 的 ith {i}^{\text{th }} 列中都有零元素。这表明 Lj{L}_{j} 是 Mn(R){M}_{n}\left( R\right) 的左理想。此外，Lj{L}_{j} 不是一个右理想（因此也不是双边理想）。为了看到这一点，设 Epq{E}_{pq} 是一个矩阵，在 pth {p}^{\text{th }} 行和 qth {q}^{\text{th }} 列中为1，其余地方为零 (p,q∈{1,…,n})\left( {p,q \in \{ 1,\ldots ,n\} }\right)。那么 E1j∈Lj{E}_{1j} \in {L}_{j} 但 E1jEji=E1i∉Lj{E}_{1j}{E}_{ji} = {E}_{1i} \notin {L}_{j} 如果 i≠ji \neq j，所以 Lj{L}_{j} 不在任意环元素的右乘下封闭。一个类似的论证表明，如果 Rj{R}_{j} 是 Mn(R){M}_{n}\left( R\right) 中所有 n×nn \times n 矩阵的集合，其中 jth {j}^{\text{th }} 行的元素任意，其余行全为零，那么 Rj{R}_{j} 是一个右理想，而不是左理想。这些单侧理想在第六部分将起到重要作用。

示例：（化简同态）

从 Z\mathbb{Z} 到 Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} 的典范投影映射，通过模 nZn\mathbb{Z} 理想因子分解得到，通常被称为“模 n.n. 归约”。这一映射是一个环同态，对初等数论有重要影响。例如，假设我们试图解决以下方程

x2+y2=3z2{x}^{2} + {y}^{2} = 3{z}^{2}

在整数 x,yx,y 和 zz 中（此类问题通常被称为丢番图方程，得名于丢番图，他是第一个系统地研究方程整数解存在的数学家）。假设这样的整数存在。首先，我们可以假设 x,yx,y 和 zz 没有公共因子，因为否则我们可以将这个方程除以这个公共因子的平方，得到另一组小于初始解的整数解。这个方程仅仅表述了环 Z\mathbb{Z} 中这些元素之间的关系。因此，同样的关系也必须在任何商环中成立。特别是，这个关系在 Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} 中对于任何整数 nn 都必须成立。选择 n=4n = 4 是特别有效的，原因如下：模 4 的平方仅有 02,12,22,32{0}^{2},{1}^{2},{2}^{2},{3}^{2} ，即 0, 1 (mod 4)。将上述方程模 4（即在商环 Z/4Z\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} 中考虑这个方程），我们必须有

{01}+{01}≡3{01}≡{03}  (  mod⁡  4)\left\{ \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right\} + \left\{ \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right\} \equiv 3\left\{ \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right\} \equiv \left\{ \begin{array}{l} 0 \\ 3 \end{array}\right\} \;\left( {\;\operatorname{mod}\;4}\right)

其中 {01}\left\{ \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right\} 例如表示可以是 0 或 1。检查几种可能性后发现，每次都必须取 0。这意味着 x,yx,y 和 zz 中的每一个都必须是偶数（奇数的平方给了我们 1 mod 4）。但这与这些整数没有公共因子的假设相矛盾，并表明这个方程在非零整数中没有解。

注意，即使解决方案存在，这种技术提供了关于解的可能的余数的信息（模 nn ，因为我们同样可以研究模 nn 的可能性，就像研究模 4 一样），并且注意到对于每个 nn 的选择，我们只需要解决有限的问题，因为模 nn 的同余类只有有限多个。结合中国剩余定理（在第6节中描述），我们可以确定非常大的整数的可能的解，这在找到数值解（当它们存在时）方面有很大的帮助。我们还观察到这种技术有一些局限性 - 例如，有些方程在模每个整数时都有解，但它们没有整数解。一个简单的例子（但非常难以验证它确实具有这个性质）是方程

3x3+4y3+5z3=0.3{x}^{3} + 4{y}^{3} + 5{z}^{3} = 0.

作为这种技术的最后一个例子，我们提到，从整数系数多项式环 Z[x]\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack 到系数在 Z/pZ\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} 中的多项式环 Z/pZ[x]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack 的映射，对于一个素数 pp 通过将系数模 pp 进行约简是一个环同态。这种约简的例子将在第9章中用来尝试确定多项式是否可以分解。

以下定理给出了环的剩余同构定理。每一个都可以按以下方式证明：首先使用群论中的相应定理来获得加法群的同构（或者在第四同构定理的情况下，群的对应关系），然后检查这个群同构（或相应的对应关系）是否为乘法映射，从而定义了一个环同构。在每种情况下，验证都直接来自于商环中乘法定义的立即结果。例如，下面（2）中给出同构的映射是通过 φ:r+I↦r+J\varphi : r + I \mapsto r + J 定义的。这个映射是乘法的，因为根据商环中乘法的定义 (r1+I)(r2+I)=r1r2+I\left( {{r}_{1} + I}\right) \left( {{r}_{2} + I}\right) = {r}_{1}{r}_{2} + I ，R/IR/I ，以及根据商环中乘法的定义 r1r2+I↦r1r2+J=(r1+J)(r2+J){r}_{1}{r}_{2} + I \mapsto {r}_{1}{r}_{2} + J = \left( {{r}_{1} + J}\right) \left( {{r}_{2} + J}\right) ，即 R/JR/J 。定理的其他部分的证明是类似的。

定理 8

设 RR 是一个环。

（1）（环的第二同构定理）设 AA 是一个子环，BB 是 RR 的一个理想。那么 A+B={a+b∣a∈A,b∈B}A + B = \{ a + b \mid a \in A,b \in B\} 是 R,A∩BR,A \cap B 的子环，是 AA 的一个理想，且 (A+B)/B≅A/(A∩B)\left( {A + B}\right) /B \cong A/\left( {A \cap B}\right) 。

（2）（环的第三同构定理）设 II 和 JJ 是 RR 的理想，且 I⊆JI \subseteq J 。那么 J/IJ/I 是 R/IR/I 的理想，且 (R/I)/(J/I)≅R/J\left( {R/I}\right) /\left( {J/I}\right) \cong R/J 。

(3) （环的第四个或格同构定理）设 II 是 RR 的一个理想。对应 A↔A/IA \leftrightarrow A/I 是包含 II 的 RR 的子环集合与 R/IR/I 的子环集合之间的一个保持包含关系的一一对应。此外，当且仅当 A/IA/I 是 R/IR/I 的理想时，AA（包含 II 的子环）是 RR 的理想。

设 R=ZR = \mathbb{Z} ，并且设 II 是理想 12Z{12}\mathbb{Z} 。商环 Rˉ=R/I=Z/12Z\bar{R} = R/I = \mathbb{Z}/{12}\mathbb{Z} 有理想 Rˉ,2Z/12Z,3Z/12Z,4Z/12Z,6Z/12Z\bar{R},2\mathbb{Z}/{12}\mathbb{Z},3\mathbb{Z}/{12}\mathbb{Z},4\mathbb{Z}/{12}\mathbb{Z},6\mathbb{Z}/{12}\mathbb{Z} 和 0‾=12Z/12Z\overline{0} = {12}\mathbb{Z}/{12}\mathbb{Z} ，分别对应于包含 II 的 RR 的理想 R=Z,2Z,3Z,4Z,6ZR = \mathbb{Z},2\mathbb{Z},3\mathbb{Z},4\mathbb{Z},6\mathbb{Z} 和 12Z=I{12}\mathbb{Z} = I 。

如果 II 和 JJ 是环 RR 中的理想，那么和的集合 a+ba + b ，其中 a∈Ia \in I 和 b∈Jb \in J ，不仅是一个子环（如环的第二同构定理中所示），而且是 RR 的一个理想（该集合在求和和 r(a+b)=ra+rb∈I+Jr\left( {a + b}\right) = {ra} + {rb} \in I + J 下显然是封闭的，因为 ra∈I{ra} \in I 和 rb∈J{rb} \in J）。我们还可以定义两个理想的乘积：

定义。设 II 和 JJ 是 RR 的理想。

（1）通过 I+J={a+b∣a∈I,b∈J}I + J = \{ a + b \mid a \in I,b \in J\} 定义 II 和 JJ 的和。

（2）通过 IJ{IJ} 定义 II 和 JJ 的积，记为 IJ{IJ}，是所有形如 ab{ab} 的元素的有限和的集合，其中 a∈Ia \in I 和 b∈Jb \in J 。

对于任意的 n≥1n \geq 1 ，定义 II 的 nth {n}^{\text{th }} 次幂，记作 In{I}^{n} ，为所有形如 a1a2⋯an{a}_{1}{a}_{2}\cdots {a}_{n} 的元素的有限和组成的集合，其中 ai∈I{a}_{i} \in I 对于所有 ii 。等价地，In{I}^{n} 通过定义 I1=I{I}^{1} = I ，以及 In=IIn−1{I}^{n} = I{I}^{n - 1} 对于 n=2,3,…n = 2,3,\ldots 递归地定义。

易知，理想 II 和 JJ 的和 I+JI + J 是包含 II 和 JJ 的最小理想，而积 IJ{IJ} 是包含在 I∩JI \cap J 中的理想（但可能严格较小，参见练习）。还应注意，积理想 IJ{IJ} 的元素是由来自 II 和 JJ 的元素 ab{ab} 的乘积的有限和。仅由来自 II 和 JJ 的元素的乘积组成的集合 {ab∣a∈I,b∈J}\{ {ab} \mid a \in I,b \in J\} 一般不封闭于加法，因此一般不是理想。

示例

(1) 设 I=6ZI = 6\mathbb{Z} 和 J=10ZJ = {10}\mathbb{Z} 在 Z\mathbb{Z} 中。那么 I+JI + J 由所有形如 6x+10y{6x} + {10y} 的整数组成，其中 x,y∈Zx,y \in \mathbb{Z} 。由于每个这样的整数都能被2整除，理想 I+JI + J 包含在 2Z2\mathbb{Z} 中。另一方面，2=6(2)+10(−1)2 = 6\left( 2\right) + {10}\left( {-1}\right) 显示理想 I+JI + J 包含 mm 和 nn 的 ideal  2Z,  so  that  6Z+10Z=2Z.  In  general,mZ+nZ=dZ,  where  d  is  the  greatest\mathrm{{ideal}}\;2\mathbb{Z},\;\mathrm{{so}}\;\mathrm{{that}}\;6\mathbb{Z} + {10}\mathbb{Z} = 2\mathbb{Z}.\;\mathrm{{In}}\;\mathrm{{general}},m\mathbb{Z} + n\mathbb{Z} = d\mathbb{Z},\;\mathrm{{where}}\;d\;\mathrm{{is}}\;\mathrm{{the}}\;\mathrm{{greatest}} 公共因子。积 IJ{IJ} 由所有形如 (6x)(10y)\left( {6x}\right) \left( {10y}\right) 的元素的有限和组成，这显然给出了理想 60Z{60}\mathbb{Z} 。

(2) 设 II 是 Z[x]\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack 中的理想，由常数项为偶数的整系数多项式组成（参见例5）。两个多项式 2 和 xx 包含在 II 中，因此 4=2⋅24 = 2 \cdot 2 和 x2=x⋅x{x}^{2} = x \cdot x 都是积理想 I2=II{I}^{2} = {II} 的元素，它们的和 x2+4{x}^{2} + 4 也是。然而，很容易验证 x2+4{x}^{2} + 4 不能写成 II 中两个元素的单一乘积 p(x)q(x)p\left( x\right) q\left( x\right)。

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