3.5 逆序和对换群

逆序和对换群

逆序和生成 ${S}_{n}$

如我们在第1.3节中看到（并在下一章中证明），${S}_{n}$ 的每个元素都可以写成不相交循环的乘积，本质上是一种独特的方式。相比之下，${S}_{n}$ 的每个元素可以以许多不同的方式写成（非不相交）循环的乘积。例如，即使在 ${S}_{3}$ 中，元素 $\sigma = \left( \begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \end{array}\right)$ 也可能被写成

事实上，有无限多种不同的方式来写 $\sigma$ 。不要求循环不相交完全破坏了作为循环乘积的排列的唯一性。然而，我们可以通过将排列（非唯一地）写成2-循环的乘积来获得一种“奇偶校验”。

定义

一个2-循环被称为对换。

直观上，$\{ 1,2,\ldots ,n\}$ 的每一个排列都可以通过一系列的置换或者元素对的简单交换来实现（有时可以在一副小牌上试试！）。我们说明如何做到这一点。首先观察到

对于任意的 $m$ -循环。现在 ${S}_{n}$ 中的任何排列都可以写为循环的乘积（例如，它的循环分解）。通过上述过程将每个循环依次写为置换的乘积，我们看到

${S}_{n}$ 的每一个元素都可以写为置换的乘积

或者，等价地，

例如，第1.3节中的排列 $\sigma$ 可以写为

交错群

我们再次强调，对于任意的 $\sigma \in {S}_{n}$，可能有许多方法将 $\sigma$ 写为置换的乘积。对于固定的 $\sigma$，我们现在证明，等于 $\sigma$ 的任何置换乘积的奇偶性（即项的奇数或偶数）是相同的。

设 ${x}_{1},\ldots ,{x}_{n}$ 为独立变量，$\Delta$ 为多项式

即所有项 ${x}_{i} - {x}_{j}$ 对于 $i < j$ 的乘积。例如，当 $n = 4$ 时，

对于每个 $\sigma \in {S}_{n}$，让 $\sigma$ 通过以相同的方式置换变量来作用于 $\Delta$：

例如，如果 $n = 4$ 和 $\sigma = \left( \begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & 4 \end{array}\right)$ 那么

（我们已经按照上面的顺序写出了因子，并对每个因子应用了 $\sigma$ 以得到 $\sigma \left( \Delta \right)$）。注意（通常情况下）$\Delta$ 包含一个对所有 $i < j$ 的因子 ${x}_{i} - {x}_{j}$，并且由于 $\sigma$ 是索引的双射，$\sigma \left( \Delta \right)$ 必须包含 ${x}_{i} - {x}_{j}$ 或 ${x}_{j} - {x}_{i}$，但不能同时包含（当然也不包含任何 ${x}_{i} - {x}_{i}$ 项），对所有 $i < j$。如果 $\sigma \left( \Delta \right)$ 有一个因子 ${x}_{j} - {x}_{i}$ 满足 $j > i$，则将这个项写作 $- \left( {{x}_{i} - {x}_{j}}\right)$。将所有符号变化收集在一起，我们可以看到 $\Delta$ 和 $\sigma \left( \Delta \right)$ 具有相同的因子，乘以 -1 的乘积除外，即，

对于每个 $\sigma \in {S}_{n}$，令

在上面的例子中，对于 $n = 4$ 和 $\sigma = \left( \begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & 4 \end{array}\right)$，恰好有 3 个形式为 ${x}_{j} - {x}_{i}$ 的因子，其中 $j > i$ 在 $\sigma \left( \Delta \right)$ 中，每个因子都贡献了一个 -1 的因子。因此

所以

定义。

（1）$\epsilon \left( \sigma \right)$ 被称为 $\sigma$ 的符号。

（2）如果 $\epsilon \left( \sigma \right) = 1$，则 $\sigma$ 被称为偶排列；如果 $\epsilon \left( \sigma \right) = - 1$，则称为奇排列。

下一个结果表明排列的符号定义了一个同态。

命题 23

$\epsilon : {S}_{n} \rightarrow \{ \pm 1\}$ 是一个同态（其中 $\{ \pm 1\}$ 是阶为 2 的循环群乘法版本）。

证明：根据定义，

假设 $\sigma \left( \Delta \right)$ 有恰好 $k$ 个形式为 ${x}_{j} - {x}_{i}$ 的因子，其中 $j > i$ ，即 $\epsilon \left( \sigma \right) = {\left( -1\right) }^{k}$ 。在计算 $\left( {\tau \sigma }\right) \left( \Delta \right)$ 时，首先将 $\sigma$ 应用于指数，我们发现 $\left( {\tau \sigma }\right) \left( \Delta \right)$ 有恰好 $k$ 个形式为 ${x}_{\tau \left( j\right) } - {x}_{\tau \left( i\right) }$ 的因子，其中 $j > i$ 。交换这些 $k$ 个因子中的项的顺序会引入符号变化 ${\left( -1\right) }^{k} = \epsilon \left( \sigma \right)$ ，现在 $\left( {\tau \sigma }\right) \left( \Delta \right)$ 的所有因子都是形式为 ${x}_{\tau \left( p\right) } - {x}_{\tau \left( q\right) }$ 的，其中 $p < q$ 。因此

由于根据 $\epsilon$ 的定义

我们有 $\left( {\tau \sigma }\right) \left( \Delta \right) = \epsilon \left( \sigma \right) \epsilon \left( \tau \right) \Delta$ 。因此 $\epsilon \left( {\tau \sigma }\right) = \epsilon \left( \sigma \right) \epsilon \left( \tau \right) = \epsilon \left( \tau \right) \epsilon \left( \sigma \right)$ ，如所声称的那样。

为了看到证明的实际应用，设 $n = 4,\sigma = \left( \begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & 4 \end{array}\right) ,\tau = \left( \begin{array}{lll} 4 & 2 & 3 \end{array}\right)$ 使得 ${\tau \sigma } = \left( \begin{array}{llll} 1 & 3 & 2 & 4 \end{array}\right)$ 。根据定义（在此情况下使用显式的 $\Delta$ ），

其中除了第一个因子以外的所有因子都被翻转以恢复 $\Delta$ 。这表明 $\epsilon \left( {\tau \sigma }\right) = - 1$ 。另一方面，因为我们已经计算了 $\sigma \left( \Delta \right)$

在这里，第三个、第五个和第六个因子需要交换它们的项，以使所有因子都成为形式为 ${x}_{\tau \left( p\right) } - {x}_{\tau \left( q\right) }$ 且 $p < q$ 的形式。我们已经计算出 $\epsilon \left( \sigma \right) = {\left( -1\right) }^{3} = - 1\;$ ，并且用同样的方法，很容易看出 $\;\epsilon \left( \tau \right) = {\left( -1\right) }^{2} = 1$ $\;\operatorname{so}\epsilon \left( {\tau \sigma }\right) = - 1 = \epsilon \left( \tau \right) \epsilon \left( \sigma \right) .$

下一步是计算 $\epsilon \left( \left( \begin{array}{ll} i & j \end{array}\right) \right)$ ，对于任何置换 $\left( \begin{array}{ll} i & j \end{array}\right)$ 。而不是直接对任意的 $i$ 和 $j$ 进行计算，我们先对 $i = 1$ 和 $j = 2$ 进行计算，然后将一般情况简化为这种情况。显然，将 (12) 应用于 $\Delta$ （无论 $n$ 是什么）将会翻转恰好一个因子，即 ${x}_{1} - {x}_{2}$ ；因此 $\epsilon \left( \left( \begin{array}{ll} 1 & 2 \end{array}\right) \right) = - 1$ 。现在对于任何置换 $\left( \begin{array}{ll} i & j \end{array}\right)$ ，设 $\lambda$ 是交换 1 和 $i$ ，交换 2 和 $j$ ，并使所有其他数字保持不变的排列（如果 $i = 1$ 或 $j = 2,\lambda$ 固定 $i$ 或 $j$ ，则分别如此）。然后很容易看出 $\left( {ij}\right) = \lambda \left( \begin{array}{ll} 1 & 2 \end{array}\right) \lambda$ （计算右边对任何 $k \in \{ 1,2,\ldots ,n\} )$ 的作用）。由于 $\epsilon$ 是同态，我们得到

这证明了

命题 24

置换都是奇排列，且 $\epsilon$ 是满同态。

定义

阶为 $n$ 的交错群，记作 ${A}_{n}$ ，是同态 $\epsilon$ 的核（即偶排列的集合）。

注意，根据第一同构定理 ${S}_{n}/{A}_{n} \cong \epsilon \left( {S}_{n}\right) = \{ \pm 1\}$ ，因此 ${A}_{n}$ 的阶很容易确定：$\left| {A}_{n}\right| = \frac{1}{2}\left| {S}_{n}\right| = \frac{1}{2}\left( {n!}\right)$ 。另外，${S}_{n} - {A}_{n}$ 是 ${A}_{n}$ 的一个非单位元陪集，这是所有奇排列的集合。排列的符号遵循通常的 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 规律：

此外，由于 $\epsilon$ 是同态且每个 $\sigma \in {S}_{n}$ 都是置换的乘积，$\operatorname{say}\sigma = {\tau }_{1}{\tau }_{2}\cdots {\tau }_{k},\mathrm{{then}}\epsilon \left( \sigma \right) = \epsilon \left( {\tau }_{1}\right) \cdots \epsilon \left( {\tau }_{k}\right) ;\mathrm{{since}}\epsilon \left( {\tau }_{i}\right) = - 1,\mathrm{{for}}i = 1,2,\ldots ,k,$ $\epsilon \left( \sigma \right) = {\left( -1\right) }^{k}$。因此，$k$ 的类（模2），即乘积中置换数量的奇偶性，无论我们如何将 $\sigma$ 写成置换的乘积都是相同的：

最后，我们给出了一种从 $\sigma$ 的循环分解中快速计算 $\epsilon \left( \sigma \right)$ 的方法。回顾一下，一个 $m$ -循环可以写成 $m - 1$ 个置换的乘积。因此

一个 $m$ -循环当且仅当 $m$ 为偶数时是奇排列。

对于任何排列 $\sigma$，设 ${\alpha }_{1}{\alpha }_{2}\cdots {\alpha }_{k}$ 为其循环分解。那么 $\epsilon \left( \sigma \right)$ 由 $\epsilon \left( {\alpha }_{1}\right) \cdots \epsilon \left( {\alpha }_{k}\right)$ 给出，且当且仅当 ${\alpha }_{i}$ 的长度为偶数时 $\epsilon \left( {\alpha }_{i}\right) = - 1$。因此，为了使 $\epsilon \left( \sigma \right)$ 为 -1，$\epsilon \left( {\alpha }_{i}\right)$ 的乘积中必须包含奇数个 (-1) 的因子。我们在以下命题中总结这一点：

命题25

排列 $\sigma$ 是奇排列当且仅当其循环分解中长度为偶数的循环数量是奇数。

例如，$\sigma = \left( {123456}\right) \left( {789}\right) \left( {1011}\right) \left( {12131415}\right) \left( {161718}\right)$ 有3个长度为偶数的循环，所以 $\epsilon \left( \sigma \right) = - 1$。另一方面，$\tau = \left( {1\;1\;2\;8\;{10}\;4}\right) \left( {2\;{13}}\right) \left( {5\;{11}\;7}\right) \left( {6\;9}\right)$ 正好有2个长度为偶数的循环，因此 $\epsilon \left( \tau \right) = 1$。

请注意不要将排列 $\sigma$ 中的“奇数”和“偶数”术语与 $\sigma$ 的阶的奇偶性混淆。实际上，如果 $\sigma$ 的阶是奇数，那么 $\sigma$ 的循环分解中的所有循环长度都是奇数，因此 $\sigma$ 有偶数个（在这种情况下为0）偶数长度的循环，因此是一个偶排列。如果 $\left| \sigma \right|$ 是偶数，$\sigma$ 可能是偶排列或奇排列；例如，（12）是奇数，（12）（34）是偶数，但它们的阶都是2。

如我们在前一节提到的，交错群 ${A}_{n}$ 在研究多项式可解性时将非常重要。在下一章中，我们将证明：

对于 $n,{A}_{n}$ 的小值我们已经熟悉：${A}_{1}$ 和 ${A}_{2}$ 都是平凡群，$\left| {A}_{3}\right| = 3$（因此 ${A}_{3} = \langle \left( {1\;2\;3}\right) \rangle \cong {Z}_{3}$）。群 ${A}_{4}$ 的阶为12。练习7表明 ${A}_{4}$ 同构于正四面体的对称群。图8中出现了 ${A}_{4}$ 的子群格（练习8断言这是它的完整子群格）。这个格的一个很好的方面是（与“几乎所有群”不同）它是一个平面图（除了在顶点处外没有交叉线；请参见 ${D}_{16}$ 的格以了解非平面格）。