2.2 中心化、正规化、稳定化和核

中心化、正规化、稳定化和核

我们现在介绍一些任意群 $G$ 的子群的几个重要家族，这些家族特别提供了许多子群的例子。设 $A$ 是 $G$ 的任意非空子集。

定义

定义 ${C}_{G}\left( A\right) = \left\{ {g \in G \mid {ga}{g}^{-1} = a\ \text{for all} \ a \in A}\right\}$ 。这个 $G$ 的子集称为 $A$ 在 $G$ 中的 中心化子。${C}_{G}\left( A\right)$ 是与 $A$ 的每一个元素交换的 $G$ 中的元素集合。

${C}_{G}\left( A\right)$ 是 $G$ 的子群

首先，${C}_{G}\left( A\right) \neq \varnothing$ 因为 $1 \in {C}_{G}\left( A\right)$ 。其次，假设 $x,y \in {C}_{G}\left( A\right)$ ，也就是说，对于所有 $a \in A,{xa}{x}^{-1} = a$ 和 ${ya}{y}^{-1} = a$（请注意这并不意味着 ${xy} = {yx}$ ）。首先观察到由于 ${ya}{y}^{-1} = a$ ，即$a = {y}^{-1}{ay}$ ，于是${y}^{-1} \in {C}_{G}\left( A\right)$ ，因此 ${C}_{G}\left( A\right)$ 在取逆元下是封闭的。现在

所以 ${xy} \in {C}_{G}\left( A\right)$ 和 ${C}_{G}\left( A\right)$ 在乘积下是封闭的，因此 ${C}_{G}\left( A\right) \leq G$ 。

在 $A = \{ a\}$ 的特殊情况下，我们将简单地写作 ${C}_{G}\left( a\right)$ 而不是 ${C}_{G}\left( {\{ a\} }\right)$ 。在这种情况下 ${a}^{n} \in {C}_{G}\left( a\right)$ 对于所有 $n \in \mathbb{Z}$ 。

例如，在阿贝尔群 $G,{C}_{G}\left( A\right) = G$ 中，对于所有子集 $A$ 。可以通过检查验证 ${C}_{{Q}_{8}}\left( i\right) = \{ \pm 1, \pm i\}$ 。其他一些例子在练习中指定。

我们很快将讨论如何最小化单个群元素之间的交换性的计算，这在计算中心化子（以及具有类似性质的其它子群）时似乎是一个固有的问题。

定义

定义 $Z\left( G\right) = \{ g \in G \mid {gx} = {xg}$ 对于所有 $x \in G\}$ ，与 $G$ 中所有元素交换的元素集合。这个 $G$ 的子集被称为 $G$ 的中心。

注意到 $Z\left( G\right) = {C}_{G}\left( G\right)$ ，所以上述论证也证明了 $Z\left( G\right) \leq G$ 作为特殊情况。

定义

定义 ${gA}{g}^{-1} = \left\{ {{ga}{g}^{-1} \mid a \in A}\right\}$ 。定义 $G$ 中 $A$ 的正规化子为集合 ${N}_{G}\left( A\right) = \left\{ {g \in G \mid {gA}{g}^{-1} = A}\right\}$ 。

注意，如果 $g \in {C}_{G}\left( A\right)$ ，那么对于所有 $a \in A$ ，${ga}{g}^{-1} = a \in A$ 成立，因此 ${C}_{G}\left( A\right) \leq {N}_{G}\left( A\right)$ 。证明 ${N}_{G}\left( A\right)$ 是 $G$ 的子群的过程遵循与证明 ${C}_{G}\left( A\right) \leq G$ 相同的步骤，并进行适当的修改。

示例

(1) 如果 $G$ 是阿贝尔群，那么 $G$ 的所有元素都交换，所以 $Z\left( G\right) = G$ 。类似地，对于 $G$ 的任何子集 $A$ ，${C}_{G}\left( A\right) =$ ${N}_{G}\left( A\right) = G$ ，因为对于每个 $g \in G$ 和每个 $a \in A$ ，${ga}{g}^{-1} = g{g}^{-1}a = a$ 。

(2) 设 $G = {D}_{8}$ 是阶为8的二面体群，具有通常的生成元 $r$ 和 $s$ ，设 $A = \left\{ {1,r,{r}^{2},{r}^{3}}\right\}$ 是 ${D}_{8}$ 中的旋转子群。我们证明 ${C}_{{D}_{8}}\left( A\right) = A$ 。由于 $r$ 的所有幂彼此交换，$A \leq {C}_{{D}_{8}}\left( A\right)$ 。由于 ${sr} = {r}^{-1}s \neq {rs}$ ，元素 $s$ 不与 $A$ 的所有成员交换，即 $s \notin {C}_{{D}_{8}}\left( A\right)$ 。最后，${D}_{8}$ 中不在 $A$ 中的元素都是形式为 $s{r}^{i}$ 的元素，其中某个 $i \in \{ 0,1,2,3\}$ 。如果元素 $s{r}^{i}$ 在 ${C}_{{D}_{8}}\left( A\right)$ 中，那么由于 ${C}_{{D}_{8}}\left( A\right)$ 是包含 $r$ 的子群，我们也会有元素 $s = \left( {s{r}^{i}}\right) \left( {r}^{-i}\right)$ 在 ${C}_{{D}_{8}}\left( A\right)$ 中，这是矛盾的。这证明了 ${C}_{{D}_{8}}\left( A\right) = A$ 。

(3) 与前一个示例类似，设 $G = {D}_{8}$ 和 $A = \left\{ {1,r,{r}^{2},{r}^{3}}\right\}$ 。我们证明 ${N}_{{D}_{8}}\left( A\right) = {D}_{8}$ 。由于，一般来说，子集的中心化子包含在其正规化子中，$A \leq {N}_{{D}_{8}}\left( A\right)$ 。接下来计算

使得 $s \in {N}_{{D}_{8}}\left( A\right)$。（注意，集合 ${sA}{s}^{-1}$ 等于集合 $A$，尽管这两个集中的元素顺序不同 - 这是因为 $s$ 在 $A$ 的正规化子中但不在 $A$ 的中心化子中。）现在 $r$ 和 $s$ 都属于子群 ${N}_{{D}_{8}}\left( A\right)$，因此对于所有整数 $i$ 和 $j$，即 ${D}_{8}$ 的每个元素都在 ${N}_{{D}_{8}}\left( A\right)$ 中（回忆 $r$ 和 $s$ 生成 ${D}_{8}$）。由于 ${D}_{8} \leq {N}_{{D}_{8}}\left( A\right)$，我们有 ${N}_{{D}_{8}}\left( A\right) = {D}_{8}$（由正规化子的定义显然可以得出逆包含）。

(4)我们证明 ${D}_{8}$ 的中心是子群 $\left\{ {1,{r}^{2}}\right\}$。首先注意到任何群 $G$ 的中心都包含在 ${C}_{G}\left( A\right)$ 中，对于 $G$ 的任意子集 $A$。因此根据上面的例2 $Z\left( {D}_{8}\right) \leq {C}_{{D}_{8}}\left( A\right) = A$，其中 $A = \left\{ {1,r,{r}^{2},{r}^{3}}\right\}$。例2中的计算表明 $r$ 不在 $Z\left( {D}_{8}\right)$ 中，同样 ${r}^{3}$ 也不在 $Z\left( {D}_{8}\right)$ 中，所以 $Z\left( {D}_{8}\right) \leq \left\{ {1,{r}^{2}}\right\}$。为了证明逆包含，注意到 $r$ 与 ${r}^{2}$ 交换，并计算出 $s$ 也与 ${r}^{2}$ 交换。由于 $r$ 和 $s$ 生成 ${D}_{8}$，${D}_{8}$ 的每个元素都与 ${r}^{2}$（和1）交换，因此 $\left\{ {1,{r}^{2}}\right\} \leq Z\left( {D}_{8}\right)$ 成立，所以等式成立。

(5) $\operatorname{Let}G = {S}_{3}$ 并且让 $A$ 成为子群 $\{ 1,(12)\}$ 。我们解释为什么 ${C}_{{S}_{3}}\left( A\right) = {N}_{{S}_{3}}\left( A\right) =$ $A$ 。

由于一个元素与其幂是可交换的，$A \leq {C}_{{S}_{3}}\left( A\right)$ 。根据拉格朗日定理，子群 ${C}_{{S}_{3}}\left( A\right)$ 的阶 ${S}_{3}$ 整除 $\left| {S}_{3}\right| = 6$ 。同样，将拉格朗日定理应用于子群 $A$ 的群 ${C}_{{S}_{3}}\left( A\right)$ ，我们得到 $2 \mid \left| {{C}_{{S}_{3}}\left( A\right) }\right|$ 。唯一可能的情况是：$\left| {{C}_{{S}_{3}}\left( A\right) }\right| = 2$ 或 6。如果后者成立，${C}_{{S}_{3}}\left(A\right) = {S}_{3}$ ，这产生了矛盾，因为 $(12)$ 与 $(123)$不可交换。因此 $\left| {{C}_{{S}_{3}}\left( A\right) }\right| = 2$ ，所以 $A = {C}_{{S}_{3}}\left( A\right)$ 。

接下来证明 ${N}_{{S}_{3}}\left( A\right) = A$ 。因为 $\sigma \in {N}_{{S}_{3}}\left( A\right)$ 当且仅当

由于 ${\sigma 1}{\sigma }^{-1} = 1$ ，这个集合的相等当且仅当 $\sigma \left( {12}\right) {\sigma }^{-1} = \left( {12}\right)$ ，即当且仅当 $\sigma \in {C}_{{S}_{3}}\left( A\right)$ 。

所以对于$\sigma \in {N}_{{S}_{3}}\left( A\right)$，有$\sigma\in {C}_{{S}_{3}}\left( A\right)=A$，又对于$\sigma\in A$，都有$\sigma A\sigma^{-1}=A$(封闭性)，所以${N}_{{S}_{3}}\left( A\right) = A$。

群作用的稳定子和核

事实表明，$A$ 在 $G$ 中的正规子群、$A$ 在 $G$ 中的中心化子和 $G$ 的中心都是子群，这可以从群作用的结果中推断出特殊情况，表明 $G$ 的结构反映在其作用的集合上：如果 $G$ 是作用在集合 $S$ 上的群，并且 $s$ 是 $S$ 中某个固定的元素，那么 $s$ 在 $G$ 中的稳定子群是集合

。我们简要地证明 ${G}_{s} \leq G$ ：首先由作用的公理（2）得出 $1 \in {G}_{s}$。另外，如果 $y \in {G}_{s}$ ，

那么 ${y}^{-1} \in {G}_{s}$ 也如此。最后，如果 $x,y \in {G}_{s}$ ，那么

这证明了 ${G}_{s}$ 是 $G$ 的一个子群 ${}^{1}$。一个类似的论证证明了作用的核是一个子群，其中 $G$ 作用在 $S$ 上的核定义为

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注意证明 ${G}_{s}$ 是子群的步骤与证明 ${C}_{G}\left( A\right) \leq G$ 的步骤相同，只是将作用的公理（1）代替结合律。

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示例

(1) 该群 $G = {D}_{8}$ 作用于正方形四个顶点 $A$ 的集合。任何顶点 $a$ 的稳定子是 ${D}_{8}$ 的子群 $\{ 1,t\}$，其中 $t$ 是关于通过顶点 $a$ 和正方形中心的对称轴的反射。这个作用的核是单位子群，因为只有单位对称能固定每个顶点。

(2) 该群 $G = {D}_{8}$ 还作用于 $A$ 的集合，其元素是两对相对顶点的无序组合。${D}_{8}$ 在这个集合 $A$ 上的作用的核是子群 $\left\{ {1,s,{r}^{2},s{r}^{2}}\right\}$，对于任一元素 $a \in A$，在 ${D}_{8}$ 中 $a$ 的稳定子等于作用的核。

最后，我们观察到中心化子、正规化和核是子群的事实是作用稳定子和核是子群的一般情况的一个特例。设 $S = \mathcal{P}\left( G\right)$ 是 $G$ 的所有子集的集合，并让 $G$ 通过共轭作用于 $S$，即对于每个 $g \in G$ 和每个 $B \subseteq G$，令

。在这个作用下，很容易验证 ${N}_{G}\left( A\right)$ 恰好是 $G$ 中 $A$ 的稳定子（即 ${N}_{G}\left( A\right) = {G}_{s}$ 其中 $s = A \in \mathcal{P}\left( G\right)$），因此 ${N}_{G}\left( A\right)$ 是 $G$ 的一个子群。

接下来让群 ${N}_{G}\left( A\right)$ 通过共轭作用于集合 $S = A$，即对于所有 $g \in$ ${N}_{G}\left( A\right)$ 和 $a \in A$

注意，这确实将 $A$ 映射到 $A$，根据 ${N}_{G}\left( A\right)$ 的定义，因此给出了在 A 上的作用。在这里很容易验证 ${C}_{G}\left( A\right)$ 正是这个作用的核心，因此 ${C}_{G}\left( A\right) \leq {N}_{G}\left( A\right)$ ；由于关系 “ $\leq$ ” 的传递性，${C}_{G}\left( A\right) \leq G$ 。最后，$Z\left( G\right)$ 是 $G$ 通过共轭作用于 $S = G$ 的核心，所以 $Z\left( G\right) \leq G$ 。