1.6 同态与同构

同态与同构

在本节中，我们将精确地定义当两个群“看起来相同”时的概念，即具有完全相同的群论结构。这是两个群之间同构的概念。我们首先定义同态的概念，稍后我们将对此进行更多的讨论。

定义

让$\left({G，\star}\right)$和$\left({H，\diamond}\right)$成为群。映射$\varphi： G\rightarrow H$满足

称为同态。

当$G$和$H$的群运算没有显式写入时，同态条件变得简单

但重要的是要记住，左侧的乘积${xy}$是在$G$中计算的，右侧的乘积$\varphi\left( x\right)\varphi\left( y\right)$是在$H$中计算的。直观地说，如果映射$\varphi$尊重其域和共域的群结构，它就是同态。

定义

映射$\varphi： G\rightarrow H$称为同构，$G$和$H$被称为同构或同构类型，写为$G\cong H$，如果

(1)$\varphi$是同态（即$\varphi\left({xy}\right)=\varphi\left(x\right)\varphi\left(y\right)$)，并且

(2) $\varphi$ 是 双射.

换句话说，如果存在一个在它们之间保持群运算的双射，那么群 $G$ 和 $H$ 是同构的。直观上，$G$ 和 $H$ 是相同的群，除了在 $G$ 和 $H$ 中元素和运算的表示可能不同。因此，$G$ 所具有的任何仅依赖于 $G$ 群结构的性质（即可以从群公理推导出的性质——例如，群的交换性）在 $H$ 中也成立。请注意，这正式证明了我们可以将所有的群运算写作 $\cdot$，因为改变运算符号并不会改变同构类型。

示例

(1) 对于任何群 $G,G \cong G$ ，恒等映射提供了一个明显的同构，但在一般情况下，并不是从 $G$ 到其自身的唯一同构。更一般地，设 $\mathcal{G}$ 为任意的非空群集。容易验证关系 $\cong$ 是 $\mathcal{G}$ 上的等价关系，等价类被称为同构类。这解释了“同构”定义中对称措辞的原因。

(2) 指数映射 $\exp : \mathbb{R} \rightarrow {\mathbb{R}}^{ + }$ 由 $\exp \left( x\right) = {e}^{x}$ 定义，其中 $e$ 是自然对数的底数，是一个从 $\left( {\mathbb{R}, + }\right)$ 到 $\left( {{\mathbb{R}}^{ + }, \times }\right)$ 的同构。$\exp$ 是双射，因为它有一个逆函数（即 ${\log }_{e}$ ），并且 $\exp$ 保持群运算，因为 ${e}^{x + y} = {e}^{x}{e}^{y}$ 。在这个例子中，尽管元素和运算都不同，但这两个群是同构的，也就是说，作为群，它们具有相同的结构。

(3) 在这个例子中，我们展示了对称群的同构类型仅取决于被排列的底层集合的基数。

令 $\Delta$ 和 $\Omega$ 为非空集合。如果 $\left| \Delta \right| = \left| \Omega \right|$ ，则对称群 ${S}_{\Delta }$ 和 ${S}_{\Omega }$ 是同构的。我们可以直观地看到这一点：给定 $\left| \Delta \right| = \left| \Omega \right|$ ，存在一个从 $\Delta$ 到 $\Omega$ 的双射 $\theta$ 。可以想象 $\Delta$ 和 $\Omega$ 的元素通过 $\theta$ 被粘合在一起，即每个 $x \in \Delta$ 被粘合到 $\theta \left( x\right) \in \Omega$ 。为了得到一个映射 $\varphi : {S}_{\Delta } \rightarrow {S}_{\Omega }$ ，设 $\sigma \in {S}_{\Delta }$ 是 $\bigtriangleup$ 的一个排列，设 $\varphi \left( \sigma \right)$ 是 $\Omega$ 的一个排列，它以 $\sigma$ 移动相应粘合的 $\Delta$ 元素同样的方式移动 $\Omega$ 的元素；也就是说，如果 $\sigma \left( x\right) = y$ 对于某个 $x,y \in \Delta$ 成立，那么 $\varphi \left( \sigma \right) \left( {\theta \left( x\right) }\right) = \theta \left( y\right)$ 在 $\Omega$ 中。由于集合的双射 $\theta$ 有一个逆元，可以很容易地验证对称群之间的映射也有逆元。映射 $\varphi$ 的精确技术定义以及确保 $\varphi$ 是同构的属性的直观验证被留给了以下练习。

相反，如果 ${S}_{\Delta } \cong {S}_{\Omega }$ ，那么 $\left| \Delta \right| = \left| \Omega \right|$ ；我们只在底层集合是有限集的情况下证明这一点（当 $\Delta$ 和 $\Omega$ 都是无限集时，证明更难，将在第4章作为一个练习给出）。由于两个群 $G$ 和 $H$ 之间的任何同构，在直观上，它们之间的一个双射，同构的必要条件是 $\left| {S}_{\Delta }\right| = \left| {S}_{\Omega }\right|$ 。当 $\Delta$ 是一个有限集合，其阶为 $n$ 时，那么 $\left| {S}_{\Delta }\right| = n$ !。实际上我们只对 ${S}_{n}$ 证明了这一点，但是同样的推理也适用于 ${S}_{\Delta }$ 。类似地，如果 $\Omega$ 是一个有限集合，其阶为 $m$ ，那么 $\left| {S}_{\Omega }\right| = m$ !。因此，如果 ${S}_{\Delta }$ 和 ${S}_{\Omega }$ 是同构的，那么 $n! = m!$ ，所以 $m = n$ ，即 $\left| \Delta \right| = \left| \Omega \right|$ 。

在全文中会出现更多同构的例子。当我们研究不同的结构（环、域、向量空间等）时，我们将制定相应结构之间的同构概念。数学中的一个中心问题是确定结构的哪些属性决定了它的同构类型（即，证明如果 $G$ 是具有某种结构（如群）的对象，并且 $G$ 具有性质 $\mathcal{P}$ ，那么任何其他具有相同结构的对象（群）$X$ 如果具有性质 $\mathcal{P}$ ，则与 $G$ 同构）。这类定理被称为分类定理。例如，我们将证明任何阶为6的非阿贝尔群都与 ${S}_{3}$ 同构。

(因此这里 $G$ 是群 ${S}_{3}$ ，而 $\mathcal{P}$ 是性质“非阿贝尔且阶数为6”）。从这一分类定理中我们可以得到 ${D}_{6} \cong {S}_{3}$ 和 $G{L}_{2}\left( {\mathbb{F}}_{2}\right) \cong {S}_{3}$ ，而无需在这些群之间找到显式的映射。注意，并不是任何阶数为6的群都与 ${S}_{3}$ 同构。实际上我们将证明，在同构的意义上，恰好有两个阶数为6的群：${S}_{3}$ 和 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$（即，任何阶数为6的群都与这两个群之一同构，且 ${S}_{3}$ 不同构于 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$）。注意，结论不那么具体（有两种可能类型）；然而，假设更容易验证（即，检查阶数是否为6）。后者的结果也被称为分类。一般来说，即使在特定情况下，确定两个群（或其他数学对象）是否同构也是微妙且困难的——在它们之间构建一个保持群运算的显式映射或证明不存在这样的映射，除了极小的情况外，在计算上都是不可行的，正如尝试在不进一步理论的情况下证明上述阶数为6的群的分类时所表明的那样。

有时候很容易看出两个给定的群不是同构的。例如，下面的练习断言如果 $\varphi : G \rightarrow H$ 是同构，那么，特别是，

(a) $\left| G\right| = \left| H\right|$

(b) $G$ 是阿贝尔群当且仅当 $H$ 是阿贝尔群

(c) 对于所有的 $x \in G,\left| x\right| = \left| {\varphi \left( x\right) }\right|$。

因此 ${S}_{3}$ 和 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 不是同构的（如上所示），因为一个是阿贝尔群，而另一个不是。此外，$\left( {\mathbb{R}-\{ 0\} , \times }\right)$ 和 $\left( {\mathbb{R}, + }\right)$ 也不能同构，因为在 $\left( {\mathbb{R}-\{ 0\} , \times }\right)$ 中元素 -1 的阶是 2，而（$\mathbb{R}, +$）没有阶为 2 的元素，与（c）矛盾。

最后，我们记录一个非常有用的事实，我们将在稍后证明（当我们讨论自由群时），它涉及两个由生成元和关系给出的群之间的同态和同构问题：

设 $G$ 是一个阶数为 $n$ 的有限群，我们有一个生成元表示，设 $S = \left\{ {{s}_{1},\ldots ,{s}_{m}}\right\}$ 为该生成元。设 $H$ 为另一个群，$\left\{ {{r}_{1},\ldots ,{r}_{m}}\right\}$ 为 $H$ 的元素。假设 $G$ 中由 ${s}_{i}$ 满足的任何关系，在 $H$ 中用 ${r}_{i}$ 替换每个 ${s}_{i}$ 后也满足。那么存在一个（唯一的）同态 $\varphi : G \rightarrow H$ ，它将 ${s}_{i}$ 映射到 ${r}_{i}$ 。如果我们有 $G$ 的一个表示，那么我们只需要检查这个表示指定的关系（因为，根据表示的定义，每个关系都可以从给定的关系中推导出来）。如果 $H$ 由元素 $\left\{ {{r}_{1},\ldots ,{r}_{m}}\right\}$ 生成，那么 $\varphi$ 是满射的（任何 ${r}_{i}$ 的乘积是对应的 ${s}_{i}$ 的乘积的像）。此外，如果 $H$ 与 $G$ 有相同的（有限）阶数，那么任何满射映射必然是单射的，即 $\varphi$ 是同构：$G \cong H$ 。直观上，我们可以将 $G$ 的生成元映射到 $H$ 的任何元素，并获得一个同态，前提是 $G$ 中的关系仍然满足。

读者可能已经熟悉向量空间相应的陈述。假设 $V$ 是一个有限维向量空间，维度为 $n$，基为 $S$，而 $W$ 是另一个向量空间。那么我们可以通过将 $S$ 的元素映射到 $W$ 中的任意向量来指定从 $V$ 到 $W$ 的线性变换（在这里没有需要满足的关系）。如果 $W$ 的维度也是 $n$，并且选择的 $W$ 中的向量生成 $W$（因此是 $W$ 的基），那么这个线性变换是可逆的（向量空间同构）。

示例

(1) 回顾 ${D}_{2n} = \left\langle {r,s \mid {r}^{n} = {s}^{2} = 1,{sr} = {r}^{-1}s}\right\rangle$。假设 $H$ 是一个包含元素 $a$ 和 $b$ 的群，且 ${a}^{n} = 1,{b}^{2} = 1$ 和 ${ba} = {a}^{-1}b$。那么存在一个从 ${D}_{2n}$ 到 $H$ 的同态，将 $r$ 映射到 $a$，将 $s$ 映射到 $b$。例如，让 $k$ 是一个除 $n$ 的整数，使得 $k \geq 3$，并且让 ${D}_{2k} = \left\langle {{r}_{1},{s}_{1} \mid {r}_{1}^{k} = {s}_{1}^{2} = 1,{s}_{1}{r}_{1} = {r}_{1}^{-1}{s}_{1}}\right\rangle$。定义

如果我们写 $n = {km}$，那么由于 ${r}_{1}^{k} = 1$，也有 ${r}_{1}^{n} = {\left( {r}_{1}^{k}\right) }^{m} = 1$。因此，$r,s$ 在 ${D}_{2n}$ 中满足的三个关系在 ${r}_{1},{s}_{1}$ 在 ${D}_{2k}$ 中也满足。因此 $\varphi$ 唯一地扩展为从 ${D}_{2n}$ 到 ${D}_{2k}$ 的同态。由于 $\left\{ {{r}_{1},{s}_{1}}\right\}$ 生成 ${D}_{2k},\varphi$，所以是满射。如果 $k < n$，这个同态不是同构。

(2) 在前一个示例的基础上，设 $G = {D}_{6}$ 如上所示。验证在 $H = {S}_{3}$ 中，元素 $a = \left( \begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \end{array}\right)$ 和 $b = \left( \begin{array}{ll} 1 & 2 \end{array}\right)$ 满足关系：${a}^{3} = 1$ ,${b}^{2} = 1$ 和 ${ba} = a{b}^{-1}$ 。因此存在从 ${D}_{6}$ 到 ${S}_{3}$ 的同态，它发送 $r \mapsto a$ 和 $s \mapsto b$ 。进一步验证可知 ${S}_{3}$ 由 $a$ 和 $b$ 生成，所以这个同态是满射的。由于 ${D}_{6}$ 和 ${S}_{3}$ 都有阶数 6，这个同态是同构：${D}_{6} \cong {S}_{3}$ 。

注意，上述示例中的元素 $a$ 不一定有阶数 $n$（即 $n$ 不一定是 $a$ 在 $H$ 中给出单位元的 smallest power）并且类似地 $b$ 不一定有阶数 2（例如 $b$ 完全可以是单位元，如果 $a = {a}^{-1}$）。这使我们更容易构造同态，并且符合群 $G$ 的生成元和关系构成群结构完整数据集的想法。