9.5 定义在域上的多项式环2

多项式环在域上的 II

设 $F$ 为一个域。我们在这一部分为单变量多项式环 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 证明一些额外的结果。首先是之前结果的重新陈述。

命题 15

在 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 中的极大理想是由不可约多项式 $\left( {f\left( x\right) }\right)$ 生成的理想 $f\left( x\right)$ 。特别是，当且仅当 $f\left( x\right)$ 是不可约的时候，$F\left\lbrack x\right\rbrack /\left( {f\left( x\right) }\right)$ 是一个域。

证明：这是从第 8.2 节的命题 7 应用于主理想整环 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 得出的。

命题 16

设 $g\left( x\right)$ 是 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 的一个非常数元素，并设

是它分解成不可约因子的形式，其中 ${f}_{i}\left( x\right)$ 是不同的。那么我们有以下环的同构：

证明：这是从中国剩余定理（定理 7.17）得出的，因为当 ${f}_{i}\left( x\right)$ 和 ${f}_{j}\left( x\right)$ 不同时，理想 $\left( {{f}_{i}{\left( x\right) }^{{n}_{i}}}\right)$ 和 $\left( {{f}_{j}{\left( x\right) }^{{n}_{j}}}\right)$ 是共极大的（它们在欧几里得整环 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 中是互质的，因此它们生成的理想是 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ ）。

下一个结果涉及多项式在域 $F$ 上的根的个数。根据命题9，一个根 $\alpha$ 对应于一个线性因子 $\left( {x - \alpha }\right)$ 的 $f\left( x\right)$ 。如果 $f\left( x\right)$ 能被 ${\left( x - \alpha \right) }^{m}$ 整除但不能被 ${\left( x - \alpha \right) }^{m + 1}$ 整除，那么 $\alpha$ 被称为是重数为 $m.$ 的根。

命题17

如果多项式 $f\left( x\right)$ 在 $F$ 中有根 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\ldots ,{\alpha }_{k}$（不一定互不相同），那么 $f\left( x\right)$ 有 $\left( {x - {\alpha }_{1}}\right) \cdots \left( {x - {\alpha }_{k}}\right)$ 作为因子。特别地，一个在域 $F$ 上的单变量多项式，如果其次数为 $n$ ，则它在 $F$ 中最多有 $n$ 个根，即使是重根也计算在内。

证明：第一个陈述很容易通过对命题9的归纳得到。由于线性因子是不可约的，第二个陈述也成立，因为 $F\left\lbrack x\right\rbrack$ 是一个唯一分解整环。

这个最后一个结果有以下有趣的推论。

命题18

一个域的乘法群的有限子群是循环的。特别地，如果 $F$ 是有限域，那么 $F$ 的非零元素的乘法群 ${F}^{ \times }$ 是一个循环群。

证明：我们使用有限生成阿贝尔群的基本定理（第5.2节中的定理3）来证明这个结果。一个更具有数论性质的证明在练习中概述，或者可以使用第6.1节中的命题5来代替基本定理。根据基本定理，有限子群可以写成循环群的直积。

其中 ${n}_{k}\left| {n}_{k - 1}\right| \cdots \left| {n}_{2}\right| {n}_{1}$ 。一般来说，如果 $G$ 是一个循环群且 $d\left| \right| G \mid$ ，那么 $G$ 精确地包含 $d$ 个阶数整除 $d$ 的元素。由于 ${n}_{k}$ 整除直积中每个循环群的阶数，因此每个直因子包含 ${n}_{k}$ 个阶数整除 ${n}_{k}$ 的元素。如果 $k$ 大于 1，那么总共将有超过 ${n}_{k}$ 个这样的元素。但是，这将意味着在域 $F$ 中多项式 ${x}^{{n}_{k}} - 1$ 有超过 ${n}_{k}$ 个根，这与命题 17 相矛盾。因此 $k = 1$ ，该群是循环群。

推论 19

设 $p$ 为一个质数。非零同余类的乘法群 ${\left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right) }^{ \times }$ 是循环群。

证明：这是有限域 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 的乘法群。

推论 20

设 $n \geq 2$ 为一个整数，在 $\mathbb{Z}$ 中的分解为 $n = {p}_{1}^{{\alpha }_{1}}{p}_{2}^{{\alpha }_{2}}\cdots {p}_{r}^{{\alpha }_{r}}$ ，其中 ${p}_{1},\ldots ,{p}_{r}$ 是不同的质数。我们有以下 (乘法) 群的同构：

$\left( 1\right) \;{\left( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right) }^{ \times } \cong {\left( \mathbb{Z}/{p}_{1}^{{\alpha }_{1}}\mathbb{Z}\right) }^{ \times } \times {\left( \mathbb{Z}/{p}_{2}^{{\alpha }_{2}}\mathbb{Z}\right) }^{ \times } \times \cdots \times {\left( \mathbb{Z}/{p}_{r}^{{\alpha }_{r}}\mathbb{Z}\right) }^{ \times }$

(2) ${\left( \mathbb{Z}/{2}^{\alpha }\mathbb{Z}\right) }^{ \times }$ 是一个阶数为 2 的循环群和一个阶数为 ${2}^{\alpha - 2}$ 的循环群的直积，对于所有 $\alpha \geq 2$ 。

(3) ${\left( \mathbb{Z}/{p}^{\alpha }\mathbb{Z}\right) }^{ \times }$ 是一个阶数为 ${p}^{\alpha - 1}\left( {p - 1}\right)$ 的循环群，对于所有奇质数 $p$ 。

备注：这些同构描述了循环群的自同构群 ${Z}_{n}$ 的群论结构，其阶为 $n$，因为 $\mathrm{{Aut}}\left( {Z}_{n}\right) \cong {\left( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right) }^{ \times }$（参见第4.4节的命题16）。特别是，对于 $p$ 是素数，阶为 $p$ 的循环群的自同构群是阶为 $p - 1$ 的循环群。

证明：这主要是收集之前结果的问题。公式（1）中的同构遵循中国剩余定理（参见第7.6节的推论18）。公式（2）中的同构直接遵循第2.3节的练习22和23。

对于 $p$ 是奇素数，${\left( \mathbb{Z}/{p}^{\alpha }\mathbb{Z}\right) }^{ \times }$ 是阶为 ${p}^{\alpha - 1}\left( {p - 1}\right)$ 的阿贝尔群。根据第2.3节的练习21，该群的Sylow $p$ -子群是循环的。映射

是一个环同态（模 $p$ 的约简），它给出了从 ${\left( \mathbb{Z}/{p}^{\alpha }\mathbb{Z}\right) }^{ \times }$ 到 ${\left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right) }^{ \times }$ 的满群同态。后者是阶为 $p - 1$ 的循环群（推论19）。这个映射的核的阶为 ${p}^{\alpha - 1}$，因此对于所有素数 $q \neq p$，${\left( \mathbb{Z}/{p}^{\alpha }\mathbb{Z}\right) }^{ \times }$ 的Sylow $q$ -子群同构地映射到循环群 ${\left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right) }^{ \times }.$。因此，${\left( \mathbb{Z}/{p}^{\alpha }\mathbb{Z}\right) }^{ \times }$ 的所有Sylow子群都是循环的，所以（3）成立，完成了证明。