7.6 中国剩余定理7.6 THE CHINESE REMAINDER THEOREM 7.6 中国剩余定理 Throu

中国剩余定理

在本节中，除非另有说明，我们假设所有环都是带有单位元的交换环 $1 \neq 0$ 。

给定任意环的集合（不一定是满足上述约定的），它们的（环）直积定义为它们作为（阿贝尔）群的直积，通过定义分量乘法使其成为一个环。特别是，如果 ${R}_{1}$ 和 ${R}_{2}$ 是两个环，我们用 ${R}_{1} \times {R}_{2}$ 表示它们的直积（作为环），即有序对 $\left( {{r}_{1},{r}_{2}}\right)$ 的集合，其中 ${r}_{1} \in {R}_{1}$ 和 ${r}_{2} \in {R}_{2}$ ，加法和乘法是按分量进行的：

\left( {{r}_{1},{r}_{2}}\right) + \left( {{s}_{1},{s}_{2}}\right) = \left( {{r}_{1} + {s}_{1},{r}_{2} + {s}_{2}}\right) \;\text{ and }\;\left( {{r}_{1},{r}_{2}}\right) \left( {{s}_{1},{s}_{2}}\right) = \left( {{r}_{1}{s}_{1},{r}_{2}{s}_{2}}\right) .

我们注意到，从环 $R$ 到直积环的映射 $\varphi$ 是同态当且仅当它诱导到每个分量的映射都是同态。

对于任意环的推广，在 $\mathbb{Z}$ 中，两个整数 $n$ 和 $m$ 互质的观念（甚至是在最大公约数未定义的环中），在 $\mathbb{Z}$ 中这等价于能够用整数 ${nx} + {my} = 1$ 和 $x$ 解决方程 $y$ （这一事实在第0章中已经提出，将在第8章中证明）。这也等价于 $n\mathbb{Z} + m\mathbb{Z} = \mathbb{Z}$ 作为理想（一般来说， $n\mathbb{Z} + m\mathbb{Z} = \left( {m,n}\right) \mathbb{Z}$ ）。这促使以下定义的产生：

定义

如果环 $R$ 的理想 $A$ 和 $B$ 满足 $A + B = R$ ，则称它们是共极大的。

回顾一下，理想 $A$ 和 $B$ 的乘积 ${AB}$ ，即 $R$ 中的理想，由所有形式为 ${xy},x \in A$ 和 $y \in B$ 的元素的有限和组成（参见练习34，第3节）。如果 $A = \left( a\right)$ 和 $B = \left( b\right)$ ，那么 ${AB} = \left( {ab}\right)$ 。更一般地，理想 ${A}_{1},{A}_{2},\ldots ,{A}_{k}$ 的乘积是由所有形式为 ${x}_{1}{x}_{2}\cdots {x}_{k}$ 的元素的有限和组成的理想，且满足 ${x}_{i} \in {A}_{i}$ 对于所有 $i$ 。如果 ${A}_{i} = \left( {a}_{i}\right)$ ，那么 ${A}_{1}\cdots {A}_{k} = \left( {{a}_{1}\cdots {a}_{k}}\right)$ 。

定理17（中国剩余定理）

设 ${A}_{1},{A}_{2},\ldots ,{A}_{k}$ 是 $R$ 中的理想。映射

$R \rightarrow R/{A}_{1} \times R/{A}_{2} \times \cdots \times R/{A}_{k}\;$ defined by $\;r \mapsto \left( {r + {A}_{1},r + {A}_{2},\ldots ,r + {A}_{k}}\right)$

$R \rightarrow R/{A}_{1} \times R/{A}_{2} \times \cdots \times R/{A}_{k}\;$ 由 $\;r \mapsto \left( {r + {A}_{1},r + {A}_{2},\ldots ,r + {A}_{k}}\right)$ 定义。

是一个带有核 ${A}_{1} \cap {A}_{2} \cap \cdots \cap {A}_{k}$ 的环同态。如果对于每个 $i,j \in \{ 1,2,\ldots ,k\}$ 满足 $i \neq j$ 的理想 ${A}_{i}$ 和 ${A}_{j}$ 是共极大的，那么这个映射是满射且 ${A}_{1} \cap {A}_{2} \cap \cdots \cap {A}_{k} = {A}_{1}{A}_{2}\cdots {A}_{k}$ ，所以。

R/\left( {{A}_{1}{A}_{2}\cdots {A}_{k}}\right) = R/\left( {{A}_{1} \cap {A}_{2} \cap \cdots \cap {A}_{k}}\right) \cong R/{A}_{1} \times R/{A}_{2} \times \cdots \times R/{A}_{k}.

证明：我们首先对 $k = 2$ 进行证明；一般情况将通过归纳得出。设 $A = {A}_{1}$ 和 $B = {A}_{2}$ 。考虑由 $\varphi : R \rightarrow R/A \times R/B$ 定义的映射 $\varphi \left( r\right) = \left( {r{\;\operatorname{mod}\;A},r{\;\operatorname{mod}\;B}}\right)$ ，其中 mod $A$ 意味着包含 $r$ 的 $R/A$ 中的类（即 $r + A$ ）。这个映射是一个环同态，因为 $\varphi$ 只不过是 $R$ 到 $R/A$ 的自然投影，并且对于两个分量 $R/B$ 。 $\varphi$ 的核由所有在 $A$ 和 $B$ 中的元素 $r \in R$ 组成，即 $A \cap B$ 。要完成这个情况下的证明，还需要展示当 $A$ 和 $B$ 是共极大的， $\varphi$ 是满射且 $A \cap B = {AB}$ 。由于 $A + B = R$ ，存在元素 $x \in A$ 和 $y \in B$ ，使得 $x + y = 1$ 。这个等式表明 $\varphi \left( x\right) = \left( {0,1}\right)$ 和 $\varphi \left( y\right) = \left( {1,0}\right)$ ，因为例如 $x$ 是 $A$ 的一个元素， $x = 1 - y \in 1 + B$ 。现在如果 $\left( {{r}_{1}{\;\operatorname{mod}\;A},{r}_{2}{\;\operatorname{mod}\;B}}\right)$ 是 $R/A \times R/B$ 中的任意元素，那么元素 ${r}_{2}x + {r}_{1}y$ 将映射到这个元素，因为

\varphi \left( {{r}_{2}x + {r}_{1}y}\right) = \varphi \left( {r}_{2}\right) \varphi \left( x\right) + \varphi \left( {r}_{1}\right) \varphi \left( y\right)

= \left( {{r}_{2}{\;\operatorname{mod}\;A},{r}_{2}{\;\operatorname{mod}\;B}}\right) \left( {0,1}\right) + \left( {{r}_{1}{\;\operatorname{mod}\;A},{r}_{1}{\;\operatorname{mod}\;B}}\right) \left( {1,0}\right)

= \left( {0,{r}_{2}{\;\operatorname{mod}\;B}}\right) + \left( {{r}_{1}{\;\operatorname{mod}\;A},0}\right)

= \left( {{r}_{1}{\;\operatorname{mod}\;A},{r}_{2}{\;\operatorname{mod}\;B}}\right) \text{.}

这表明 $\varphi$ 确实是满射的。最后，理想 ${AB}$ 总是包含在 $A \cap B$ 中。如果 $A$ 和 $B$ 是共极大的，并且 $x$ 和 $y$ 如上所述，那么对于任何 $c \in A \cap B$ ， $c = {c1} = {cx} + {cy} \in {AB}$ 。这建立了反向包含 $A \cap B \subseteq {AB}$ 并在 $k = 2$ 时完成了证明。

一般情况可以通过从两个理想的情况通过归纳法轻松得到，使用 $A = {A}_{1}$ 和 $B = {A}_{2}\cdots {A}_{k}$ ，一旦我们证明 ${A}_{1}$ 和 ${A}_{2}\cdots {A}_{k}$ 是共极大的。根据假设，对于每个 $i \in \{ 2,3,\ldots ,k\}$ ，存在元素 ${x}_{i} \in {A}_{1}$ 和 ${y}_{i} \in {A}_{i}$ 使得 ${x}_{i} + {y}_{i} = 1$ 。由于 ${x}_{i} + {y}_{i} \equiv {y}_{i}{\;\operatorname{mod}\;{A}_{1}}$ ，因此 $1 = \left( {{x}_{2} + {y}_{2}}\right) \cdots \left( {{x}_{k} + {y}_{k}}\right)$ 是 ${A}_{1} + \left( {{A}_{2}\cdots {A}_{k}}\right)$ 中的一个元素。这完成了证明。

这个定理的名字来源于特殊情况 $\mathbb{Z}/{mn}\mathbb{Z} \cong \left( {\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}}\right) \times \left( {\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}\right)$ ，当 $m$ 和 $n$ 是互质的整数时的环。我们之前已经证明了对于加法群的同构。这种同构，用数论术语表达，与同时解两个模互质整数的同余方程（并表明这样的同余方程总是可以解，并且解是唯一的）有关。这类问题曾被古代中国考虑过，因此得名。在练习中提供了一些示例。

由于中国剩余定理中的同构是环的同构，特别是两边的单位群必须同构。容易看出，任何环的直接积中的单位元素是每个坐标中都有单位的元素。在 $\mathbb{Z}/{mn}\mathbb{Z}$ 的情况下，中国剩余定理给出了以下单位群的同构：

{\left( \mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}\right) }^{ \times } \cong {\left( \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\right) }^{ \times } \times {\left( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right) }^{ \times }.

更一般地，我们有以下结果。

推论 18

设 $n$ 是一个正整数，设 ${p}_{1}{}^{{\alpha }_{1}}{p}_{2}{}^{{\alpha }_{2}}\ldots {p}_{k}{}^{{\alpha }_{k}}$ 是其分解为不同质数的幂的乘积。那么

\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \left( {\mathbb{Z}/{p}_{1}{}^{{\alpha }_{1}}\mathbb{Z}}\right) \times \left( {\mathbb{Z}/{p}_{2}{}^{{\alpha }_{2}}\mathbb{Z}}\right) \times \cdots \times \left( {\mathbb{Z}/{p}_{k}{}^{{\alpha }_{k}}\mathbb{Z}}\right) ,

作为环，因此特别是我们有以下乘法群的同构：

{\left( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right) }^{ \times } \cong {\left( \mathbb{Z}/{{p}_{1}}^{{\alpha }_{1}}\mathbb{Z}\right) }^{ \times } \times {\left( \mathbb{Z}/{{p}_{2}}^{{\alpha }_{2}}\mathbb{Z}\right) }^{ \times } \times \cdots \times {\left( \mathbb{Z}/{{p}_{k}}^{{\alpha }_{k}}\mathbb{Z}\right) }^{ \times }.

如果我们比较这个最后同构两边的阶，我们得到公式

\varphi \left( n\right) = \varphi \left( {p}_{1}\right) \varphi \left( {p}_{2}\right) \ldots \varphi \left( {p}_{k}\right) \ldots \varphi \left( {p}_{k}\right)

对于欧拉函数 $\varphi$ 。这反过来意味着 $\varphi$ 在初等数论中被称作乘法函数，即当 $\varphi \left( {ab}\right) = \varphi \left( a\right) \varphi \left( b\right)$ 且 $a$ 和 $b$ 是互质的正整数时。 $\varphi$ 在素数幂 ${p}^{\alpha }$ 上的值可以很容易地看出是 $\varphi \left( {p}^{\alpha }\right) = {p}^{\alpha - 1}\left( {p - 1}\right)$ （参见第0章）。由此以及 $\varphi$ 的乘法性，我们得到它在所有正整数上的值。

推论18也是确定阿贝尔群 ${\left( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right) }^{ \times }$ 分解为循环群的直积的一步。完整结构在9.5节的末尾得出。