7.2 多项式环，矩阵环和群环

示例：多项式环，矩阵环和群环

我们在这里介绍三种重要的环：多项式环，矩阵环和群环。在本文的过程中，我们将看到这三种环类常常是相关的。例如，我们将在第六部分看到，一个群 $G$ 在复数 $\mathbb{C}$ 上的群环是 $\mathbb{C}$ 上的矩阵环的直积。

这些环除了本身有趣之外，还有许多重要的应用。在第三部分，我们将使用多项式环来证明一些矩阵分类定理，特别是确定何时一个矩阵与对角矩阵相似。在第六部分，我们将使用群环来研究群作用并证明一些额外的重要分类定理。

多项式环

设定一个带有单位元的交换环 $R$。我们定义多项式环的形式，这种形式可能已经为大家所熟悉，至少对于实系数多项式是这样的。用笛卡尔积的定义在附录I中给出。设 $x$ 为一个不定元。形式和

其中 $n \geq 0$ 且每个 ${a}_{i} \in R$ 被称为在 $x$ 中的多项式，其系数 ${a}_{i}$ 在 $R$ 中。如果 ${a}_{n} \neq 0$，那么多项式被称为是 $n,{a}_{n}{x}^{n}$ 次的，${a}_{n}$ 被称为主导项，${a}_{n} = 1$ 被称为主导系数（其中零多项式的主导系数取为0）。如果 ${a}_{n} = 1$，多项式是单体。所有此类多项式的集合被称为变量 $x$ 中带有 $R$ 中系数的多项式环，并记为 $R\left\lbrack x\right\rbrack$。

使 $R\left\lbrack x\right\rbrack$ 成为一个环的加法和乘法运算与初等代数中熟悉的运算相同：加法是“逐项相加”

（在这里 ${a}_{n}$ 或 ${b}_{n}$ 可以为零，以便定义不同次数多项式的加法）。乘法首先定义为只有一个非零项的多项式 $\left( {a{x}^{i}}\right) \left( {b{x}^{j}}\right) = {ab}{x}^{i + j}$，然后通过分配律（通常称为“展开并合并同类项”）扩展到所有多项式：

（一般来说，在乘积中 ${x}^{k}$ 的系数将是 $\mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{k}{a}_{i}{b}_{k - i}$ ）。这些操作是有意义的，因为 $R$ 是一个环，所以系数的和和积是定义好的。一个简单的验证证明了 $R\left\lbrack x\right\rbrack$ 确实是一个环，具有这些加法和乘法的定义。

环 $R$ 在 $R\left\lbrack x\right\rbrack$ 中作为常数多项式出现。注意，根据乘法的定义，$R\left\lbrack x\right\rbrack$ 是一个带有单位元（来自 $R$ 的单位元 1）的交换环。

上面的系数环 $R$ 被假定为交换环，因为这是我们主要感兴趣的情境，但请注意，即使 $R$ 不是交换的或没有单位元，上面 $R\left\lbrack x\right\rbrack$ 中加法和乘法的定义仍然有效。如果系数环 $R$ 是整数 $\mathbb{Z}$（分别是，有理数 $\mathbb{Q})$），那么多项式环 $\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack$（分别是 $\mathbb{Q}\left\lbrack x\right\rbrack$）是熟悉的小学代数中带有整数（有理数）系数的多项式环。

另一个例子是 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack$ 中系数在 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 的多项式环 $x$。这个环由 $x$ 的非负幂组成，系数为 0、1 和 2，系数的计算在模 3 下进行。例如，如果

那么

而且

系数所在的环对多项式的行为有重大影响。例如，多项式 ${x}^{2} + 1$ 在多项式环 $\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack$ 中不是完全平方，但在多项式环 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack$ 中是完全平方，因为 ${\left( x + 1\right) }^{2} = {x}^{2} + {2x} + 1 = {x}^{2} + 1$ 在这个环中。

命题 4

设 $R$ 是一个整环，并且 $p\left( x\right) ,q\left( x\right)$ 是 $R\left\lbrack x\right\rbrack$ 中的非零元素。那么

(1) $\deg$ $p\left( x\right) q\left( x\right) =\deg p\left( x\right) +\deg q\left( x\right)$ ,

(2) $R\left\lbrack x\right\rbrack$ 的单位与 $R$ 的单位相同，

(3) $R\left\lbrack x\right\rbrack$ 是一个整环。

证明：如果 $R$ 没有零因子，那么 $R\left\lbrack x\right\rbrack$ 也没有；如果 $p\left( x\right)$ 和 $q\left( x\right)$ 是首项分别为 ${a}_{n}{x}^{n}$ 和 ${b}_{m}{x}^{m}$ 的多项式，那么 $p\left( x\right) q\left( x\right)$ 的首项是 ${a}_{n}{b}_{m}{x}^{n + m}$ ，并且 ${a}_{n}{b}_{m} \neq 0$ 。这证明了 (3) 并且也验证了 (1)。如果 $p\left( x\right)$ 是一个单位，比如说 $p\left( x\right) q\left( x\right) = 1$ 在 $R\left\lbrack x\right\rbrack$ 中，那么学位 $p\left( x\right) +$ 学位 $q\left( x\right) = 0$ ，所以 $p\left( x\right)$ 和 $q\left( x\right)$ 都是 $R$ 的元素，因此它们在 $R$ 中也是单位，因为它们的乘积是 1。这证明了 (2)。

如果环 $R$ 有零因子，那么 $R\left\lbrack x\right\rbrack$ 也有，因为 $R \subset R\left\lbrack x\right\rbrack$ 。另外，如果 $f\left( x\right)$ 是 $R\left\lbrack x\right\rbrack$ 中的零因子（即存在某个非零的 $g\left( x\right) \in R\left\lbrack x\right\rbrack$ 使得 $f\left( x\right) g\left( x\right) = 0$ ），实际上 ${cf}\left( x\right) = 0$ 对于某个非零的 $c \in R$ 成立（参见练习 2）。

如果 $S$ 是 $R$ 的子环，那么 $S\left\lbrack x\right\rbrack$ 是 $R\left\lbrack x\right\rbrack$ 的子环。例如，$\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack$ 是 $\mathbb{Q}\left\lbrack x\right\rbrack$ 的子环。$R\left\lbrack x\right\rbrack$ 的其他子环示例包括所有 ${x}^{2}$ 的多项式集合（即只出现 $x$ 的偶次幂的集合）以及所有常数项为零的多项式集合（后者子环没有单位元）。

多项式环，特别是那些在域上的多项式环，将在第9章中详细研究。

矩阵环

设定一个任意的环 $R$ 并让 $n$ 是一个正整数。令 ${M}_{n}\left( R\right)$ 为所有 $n \times n$ 阶矩阵的集合，其元素来自 $R$ 。${M}_{n}\left( R\right)$ 中的元素 $\left( {a}_{ij}\right)$ 是一个由 $R$ 的元素组成的 $n \times n$ 阶方阵，其第 $i$ 行第 $j$ 列的元素是 ${a}_{ij} \in R$ 。在实数矩阵的加法和乘法规则下，矩阵集合成为一个环。加法是分量加法：矩阵 $\left( {a}_{ij}\right) + \left( {b}_{ij}\right)$ 的 $i,j$ 个元素是 ${a}_{ij} + {b}_{ij}$ 。矩阵乘积 $\left( {a}_{ij}\right) \times \left( {b}_{ij}\right)$ 的 $i,j$ 个元素是 $\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{ik}{b}_{kj}$（注意，这些矩阵必须是方的，以便定义任意两个元素的乘法）。验证这些操作使 ${M}_{n}\left( R\right)$ 成为一个环是一个直接的计算。当 $R$ 是一个域时，我们将在第三部分中证明 ${M}_{n}\left( R\right)$ 是一个环，而无需太多计算。

注意，如果 $R$ 是任何非平凡环（即使是交换环）且 $n \geq 2$ ，那么 ${M}_{n}\left( R\right)$ 不是交换环：如果 ${ab} \neq 0$ 在 $R$ 中，让 $A$ 是一个在位置 1,1 处有 $a$ 而其他位置为零的矩阵，让 $B$ 是一个在位置 1,2 处有 $b$ 而其他位置为零的矩阵；那么 ${ab}$ 是 ${AB}$ 中位置 1,2 的（非零）元素，而 ${BA}$ 是零矩阵。

这两个矩阵也表明，对于所有非零环 $R$ ，当 $n \geq 2$ 时，${M}_{n}\left( R\right)$ 有零因子。

一个元素 $\left( {a}_{ij}\right)$ 的 ${M}_{n}\left( R\right)$ 被称为标量矩阵，如果存在 $a \in R,{a}_{ii} = a$ 对于所有 $i \in \{ 1,\ldots ,n\}$ 且 ${a}_{ij} = 0$ 对于所有 $i \neq j$（即，所有对角线上的元素等于 $a$ 且所有非对角线上的元素都是0）。标量矩阵的集合是 ${M}_{n}\left( R\right)$ 的子环。这个子环是 $R$ 的副本（即，与 $R$ "同构"）：如果矩阵 $A$ 的主对角线上有元素 $a$，矩阵 $B$ 的主对角线上有元素 $b$，那么矩阵 $A + B$ 的对角线上有 $a + b$，${AB}$ 的对角线上有 ${ab}$（且所有其他元素为0）。如果 $R$ 是交换的，那么标量矩阵与 ${M}_{n}\left( R\right)$ 的所有元素可交换。如果 $R$ 有一个1，那么主对角线上都是1的标量矩阵（$n \times n$ 单位矩阵）是 ${M}_{n}\left( R\right)$ 的1。在这种情况下，${M}_{n}\left( R\right)$ 中的单位元素是可逆的 $n \times n$ 矩阵，单位群表示为 $G{L}_{n}\left( R\right)$，即 $R$ 上 $n$ 阶的一般线性群。

如果 $S$ 是 $R$ 的子环，那么 ${M}_{n}\left( S\right)$ 是 ${M}_{n}\left( R\right)$ 的子环。例如 ${M}_{n}\left( \mathbb{Z}\right)$ 是 ${M}_{n}\left( \mathbb{Q}\right)$ 的子环，${M}_{n}\left( {2\mathbb{Z}}\right)$ 同时是这两个的子环。另一个 ${M}_{n}\left( R\right)$ 的子环例子是上三角矩阵集合：$\left\{ {\left( {a}_{ij}\right) \mid {a}_{pq} = 0\text{ whenever }p > q}\right\}$（所有主对角线下方的元素都是0的矩阵集合） - 人们很容易验证上三角矩阵的和与积仍然是上三角矩阵。

群环

固定一个带有单位元 $R$ 的交换环 $1 \neq 0$，并让 $G = \left\{ {{g}_{1},{g}_{2},\ldots ,{g}_{n}}\right\}$ 是任意有限群，其群运算写成乘法形式。定义 $G$ 以 $R$ 中的系数为系数的群环 ${RG}$，为所有形式和的集合

如果 ${g}_{1}$ 是 $G$ 的单位元，我们将 ${a}_{1}{g}_{1}$ 简单地写作 ${a}_{1}$。类似地，我们将元素 ${1g}$ 对于 $g \in G$ 简单地写作 $g$。

加法定义为“逐项相加”

乘法首先定义 $\left( {a{g}_{i}}\right) \left( {b{g}_{j}}\right) = \left( {ab}\right) {g}_{k}$，其中乘积 ${ab}$ 在 $R$ 中取值，而 ${g}_{i}{g}_{j} = {g}_{k}$ 是群 $G$ 中的乘积。然后通过分配律将此乘积扩展到所有形式和，使得乘积 $\left( {{a}_{1}{g}_{1} + \cdots + {a}_{n}{g}_{n}}\right) \times \left( {{b}_{1}{g}_{1} + \cdots + {b}_{n}{g}_{n}}\right)$ 中 ${g}_{k}$ 的系数是 $\mathop{\sum }\limits_{{{g}_{i}{g}_{i} = {g}_{k}}}{a}_{i}{b}_{j}$。可以验证这些运算使得 ${RG}$ 成为一个环（同样，$R$ 的交换性不是必需的）。乘法的结合性遵循 $G$ 中群运算的结合性。当且仅当 $G$ 是一个交换群时，环 ${RG}$ 是交换的。

##3 示例

设 $G = {D}_{8}$ 是阶数为 8 的二面体群，具有通常的生成元 $r,s\;({r}^{4} = {s}^{2} = 1$ 和 ${rs} = s{r}^{-1}$，并让 $R = \mathbb{Z}$。元素 $\alpha = r + {r}^{2} - {2s}$ 和 $\beta = - 3{r}^{2} + {rs}$ 是 $G = {D}_{8}$ 的典型成员。

它们的和与积分别是

环 $R$ 在 ${RG}$ 中出现作为“常数”形式和，即 $R$ 的倍数，是 $G$ 的单位元的倍数（注意，${RG}$ 中对这些元素的定义加法和乘法仅是 $R$ 中的加法和乘法）。$R$ 的元素与 ${RG}$ 的所有元素交换。 $R$ 的单位元是 ${RG}$ 的单位元。

群 $G$ 也出现在 ${RG}$ 中（元素 ${g}_{i}$ 出现为 $1{g}_{i}$ - 例如，$r,s \in {D}_{8}$ 也是上面群环 $\mathbb{Z}{D}_{8}$ 的元素）- 在环 ${RG}$ 中对 $G$ 限制的乘法仅是群运算。特别地，$G$ 的每个元素在环 ${RG}$ 中都有一个乘法逆元（即其在 $G$ 中的逆元）。这表明 $G$ 是 RG 的单位群的一个子群。

如果 $\left| G\right| > 1$ 那么 ${RG}$ 总是有零因子。例如，设 $g$ 是 $G$ 中任意阶数为 $m > 1$ 的元素。那么

因此 $1 - g$ 是一个零因子（注意，根据 ${RG}$ 的定义，上述乘积中的两个形式和都不是零）。

如果 $S$ 是 $R$ 的子环，那么 ${SG}$ 是 ${RG}$ 的子环。例如，$\mathbb{Z}G$（称为 $\begin{array}{l} \text{integral group ring of}\;G)\;\text{is a subring of}\;\mathbb{Q}G\left( {\text{the rational group ring of}\;G}\right) .\; \end{array}$ 如果 $H$ 是 $G$ 的子群，那么 ${RH}$ 是 ${RG}$ 的子环）。所有系数和为零的 ${RG}$ 中的元素组成的集合是一个没有单位元的子环。如果 $\left| G\right| > 1$，那么具有零“常数项”（即 $G$ 的单位元系数为零）的元素集合不是一个子环（它在乘法下不封闭）。

注意，群环 $\mathbb{R}{Q}_{8}$ 与哈密顿四元数环 $\mathbb{H}$ 不同，尽管后者包含了一个四元数群 ${Q}_{8}$ 的副本（在乘法下）。一个区别是 ${Q}_{8}$ 中唯一的阶为2的元素（通常表示为-1）不是 ${\mathbb{R}}_{{Q}_{8}}$ 中1的加法逆元。换句话说，如果我们暂时用 ${g}_{1}$ 表示群 ${Q}_{8}$ 的单位元，用 ${g}_{2}$ 表示唯一的阶为2的元素，那么 ${g}_{1} + {g}_{2}$ 在 $\mathbb{R}{Q}_{8}$ 中不为零，而 $1 + \left( {-1}\right)$ 在 $\mathbb{H}$ 中为零。此外，如上所述，群环 $\mathbb{R}{Q}_{8}$ 包含零因子，因此不是一个除环。

在第18章将详细研究定义在域上的群环。