7.1 环的基本定义和例子

基本定义和例子

定义

（1）一个环 $R$ 是一个带有两个二元运算 + 和 ×（称为加法和乘法）的集合，满足以下公理：

（i）$\left( {R, + }\right)$ 是一个阿贝尔群，

（ii）$\times$ 是结合的：$\left( {a \times b}\right) \times c = a \times \left( {b \times c}\right)$ 对所有 $a,b,c \in R$ 成立，

（iii）在 $R :$ 中对于所有 $a,b,c \in R$ 成立分配律

（2）如果乘法是交换的，那么环 $R$ 是交换环。

（3）如果存在一个元素 $1 \in R$ 使得

我们通常会简单地写作 ${ab}$ 而不是 $a \times b$ 表示 $a,b \in R$ 。$R$ 的加法单位元总是用 0 表示，环元素 $a$ 的加法逆元将用 $- a$ 表示。

$R$ 作为加法群的条件是相当自然的，但要求这个群是阿贝尔群可能看起来有些人为。这样做的一个动机是，如果环 $R$ 有一个 1，那么加法下的交换性是由分配律强制的。为了看到这一点，用两种不同的方法计算乘积 $\left( {1 + 1}\right) \left( {a + b}\right)$，使用分配律（但不假设加法是交换的）。可以得到

以及

由于 $R$ 在加法下是一个群，这意味着 $b + a = a + b$，即 $R$ 在加法下必然是交换的。

域是环的最重要的例子之一。注意，下面它们的定义只是 1.4 节给出的定义的另一种表述。

定义。一个带有单位元 1 的环 $R$，其中 $1 \neq 0$，如果每个非零元素 $a \in R$ 都有一个乘法逆元，即存在 $b \in R$ 使得 ${ab} = {ba} = 1$，则称为除环（或非交换域）。一个交换的除环称为域。

下面是更多环的例子。

示例

(1) 环的最简单例子是由取 $R$ 为任意交换群（用加号表示群运算）并定义乘法 $\times$ 在 $R$ 上为 $a \times b = 0$ 对所有 $a,b \in R$ 来说构成的平凡环。容易看出这个乘法定义了一个交换环。特别是，如果 $R = \{ 0\}$ 是平凡群，那么得到的环 $R$ 被称为零环，表示为 $R = 0$ 。除了零环之外，平凡环不包含单位元 $(R = 0$ 是唯一一个 $1 = 0$ 的环；我们将经常通过施加条件 $1 \neq 0$ 来排除这个环）。尽管平凡环具有两个二元运算，但乘法并没有为加法群添加新的结构，环的理论也没有提供不能从（阿贝尔）群论中已经获得的信息。

(2) 整数环 $\mathbb{Z}$ ，在通常的加法和乘法运算下是一个带有单位元（整数1）的交换环。环的公理（和加法群的公理一样）遵循自然数系统的基本公理。注意，在乘法下 $\;\mathbb{Z} - \{ 0\} \;$ 不是一个群（实际上，这个环中只有很少数的元素有乘法逆元）。我们稍后会回到这些逆元的问题上。

(3) 同样，有理数 $\mathbb{Q}$、实数 $\mathbb{R}$ 和复数 $\mathbb{C}$ 都是带有单位元的交换环（实际上它们是域）。这些环的公理最终都源自 $\mathbb{Z}$ 的环公理。当我们在第7.5节从 $\mathbb{Z}$ 构造 $\mathbb{Q}$ 和在第13.1节的例1中从 $\mathbb{R}$ 构造 $\mathbb{C}$ 时，我们将验证这一点；这两种构造都是更一般过程的特殊情况。从 $\mathbb{Q}$ 到 $\mathbb{R}$ 的构造（以及随后对环公理的验证）在基础分析教材中进行。

(4) 商群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 在加法和乘法剩余类的运算下是一个带有单位元（元素 $\bar{1}$）的交换环（通常称为“模运算”）。我们看到，加法阿贝尔群的公理遵循商群理论的普遍原则（实际上这是典型的商群）。我们很快将证明，剩余的环公理（特别是，剩余类乘法定义良好的事实）也类似地遵循商环的一般理论。

在迄今为止的所有示例中，环都是交换的。从历史上看，第一个非交换环是在1843年由威廉·罗恩·汉密尔顿爵士（1805-1865）发现的。这个环是一个除环，对数学的后续发展产生了极其重要的影响，并且在数学和物理的某些领域仍然发挥着重要作用。

(5) （实）哈密顿四元数 设 $\mathbb{H}$ 为形如 $\left\lbrack \begin{matrix} a + {bi} + {cj} + {dk} & \text{ where } & a,b,c,d \end{matrix}\right\rbrack \in \mathbb{R}$ 的元素集合，其中 $1,i,j,k$ 是实数（非正式地说，“带有实系数的 的多项式”），加法定义为“逐项相加”，

$\left( {a + {bi} + {cj} + {dk}}\right) + \left( {{a}^{\prime } + {b}^{\prime }i + {c}^{\prime }j + {d}^{\prime }k}\right) = \left( {a + {a}^{\prime }}\right) + \left( {b + {b}^{\prime }}\right) i + \left( {c + {c}^{\prime }}\right) j + \left( {d + {d}^{\prime }}\right) k$

乘法定义为展开 $\left( {a + {bi} + {cj} + {dk}}\right) \left( {{a}^{\prime } + {b}^{\prime }i + {c}^{\prime }j + {d}^{\prime }k}\right)$ ，使用分配律（注意项的顺序）并使用关系简化，

（其中实数系数与 $i,j$ 和 $k$ 交换）。例如，

$\mathbb{H}$ 是一个环的事实可以通过直接（尽管冗长）地检验公理来证明（乘法的结合律尤其繁琐）。哈密顿四元数是一个具有单位元 $\left( {1 = 1 + {0i} + {0j} + {0k}}\right)$ 的非交换环。类似地，可以通过将 $a,b,c,d$ 取为有理数来定义有理哈密顿四元数的环。实哈密顿四元数和有理哈密顿四元数都是除环，其中非零元素的逆元由以下给出，

(6) 一类重要的环可以通过考虑函数环得到。设 $X$ 为任何非空集合，$A$ 为任何环。所有（集合）函数 $R$ 的集合 $f : X \rightarrow A$ 在函数的点加和点乘的通常定义下构成一个环：$\left( {f + g}\right) \left( x\right) = f\left( x\right) + g\left( x\right)$ 和 $\left( {fg}\right) \left( x\right) = f\left( x\right) g\left( x\right)$。$R$ 的每个环公理都直接遵循 $A$ 的相应公理。$R$ 的环是交换的当且仅当 $A$ 是交换的，且 $R$ 有单位元当且仅当 $A$ 有单位元（在这种情况下，$R$ 的单位元必然是 $X$ 上的常数函数 1）。

如果 $X$ 和 $A$ 具有更多结构，我们可以形成其他尊重这些结构的函数环。例如，如果 $A$ 是实数环 $\mathbb{R}$ ，而 $X$ 是 $\mathbb{R}$ 中的闭区间 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ ，我们可以形成从 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 到 $\mathbb{R}$ 的所有连续函数的环（在这里我们需要基本的极限定理来保证连续函数的和与积是连续的）- 这是一个带有单位元的交换环。

(7) 一个没有单位元的环的例子是 $2\mathbb{Z}$ ，即在整数的通常加法和乘法下的偶数环（偶数的和与积仍然是偶数）。

另一个在分析中自然出现的例子如下构造。一个函数 $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 如果存在实数 $a,b$ （依赖于 $f$ ）使得 $f\left( x\right) = 0$ 对所有 $x \notin \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 成立（即 $f$ 在某个有界区间外为零），则称该函数具有紧支集。所有具有紧支集的函数 $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 的集合是一个没有单位元的交换环（因为单位元不可能具有紧支集）。类似地，所有具有紧支集的连续函数 $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 的集合也是一个没有单位元的交换环。

在下一节中，我们将给出三种从给定环构造“更大”环的重要方法（类似于上面的例子6），从而极大地扩展我们的例子列表。在此之前，我们先提及一些任意环的基本性质。环 $\mathbb{Z}$ 是一个值得记住的好例子，尽管这个环比一般的环具有更多的代数结构（例如，它是交换的并且有单位元）。然而，正如以下结果所示，它的基本算术对一般的环也成立。

命题1

设 $R$ 是一个环。那么

(1) ${0a} = {a0} = 0$ 对于所有 $a \in R$ 。

(2) $\left( {-a}\right) b = a\left( {-b}\right) = - \left( {ab}\right)$ 对于所有 $a,b \in R$ （回顾 $- a$ 是 a 的加法逆元）。

(3) $\left( {-a}\right) \left( {-b}\right) = {ab}$ 对于所有 $a,b \in R$ 。

(4) 如果 $R$ 有一个单位元 1，那么这个单位元是唯一的，并且 $- a = \left( {-1}\right) a$ 。

证明：这些都可以从分配律和加法群 $R$ 中的消去律得出。例如，（1）可以从 ${0a} = \left( {0 + 0}\right) a = {0a} + {0a}$ 得出。在（2）中的等式 $\left( {-a}\right) b = - \left( {ab}\right)$ 是从 ${ab} + \left( {-a}\right) b = \left( {a + \left( {-a}\right) }\right) b = {0b} = 0.$ 得出的。其余的类似，留给读者自行推导。

这个命题表明，由于分配律的存在，环的加法和乘法结构彼此之间表现良好，正如熟悉的整数例子中一样。

然而，与整数不同，一般的环可能有许多具有乘法逆元的元素，或者可能有不等于零的元素 $a$ 和 $b$，它们的乘积为零。这两个与环的乘法结构相关的元素属性，被赋予了特殊的名称。

定义

设 $R$ 是一个环。

(1) $R$ 中的非零元素 $a$ 被称为零因子，如果存在 $R$ 中的非零元素 $b$，使得 ${ab} = 0$ 或 ${ba} = 0$ 成立。

(2) 假设 $R$ 有一个单位元 $1 \neq 0$。$R$ 中的元素 $u$ 被称为 $R$ 中的单位元，如果存在 $R$ 中的某个 $v$，使得 ${uv} = {vu} = 1$ 成立。在 $R$ 中的单位元的集合表示为 ${R}^{ \times }$。

可以很容易地看出，环 $R$ 中的单位元在乘法下形成一个群，因此 ${R}^{ \times }$ 将被称为 $R.$ 的单位元群。在这个术语中，一个域是一个带有单位元 $1 \neq 0$ 的交换环 $F$，其中每个非零元素都是一个单位，即 ${F}^{ \times } = F - \{ 0\} .$。

注意到一个零因子永远不可能是单位元。例如，假设 $a$ 在 $R$ 中是一个单位元，并且对于 $R$ 中某个非零的 $b$ 有 ${ab} = 0$。那么对于某个 $v \in R$，有 ${va} = 1$，因此 $\left\{ \begin{matrix} b & = & 1 \\ b & = & \left( {va}\right) \\ b & = & v\left( {ab}\right) = v \\ 0 & = & 0, \end{matrix}\right\} a$ 矛盾。类似地，如果对于某个非零的 $b$ 有 ${ba} = 0$，那么 $a$ 也不能是单位元。

这特别表明域中不包含零因子。

示例

(1) 整数环 $\mathbb{Z}$ 没有零因子，它的单位元只有 $\pm 1$，即 ${\mathbb{Z}}^{ \times } = \{ \pm 1\}$。注意，每个非零整数在更大的环 $\mathbb{Q}$ 中都有一个逆元，所以一个元素是否为单位元取决于它在哪个环中被看待。

(2) 设 $n$ 是一个整数 $\geq 2$。在环 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 中，对于与 $n$ 互质的元素 $\bar{u}$，它们是单位元（我们将在下一章证明这一点）。因此，我们使用 ${\left( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right) }^{ \times }$ 的记法与在任意环中单位元群的定义是一致的。

另一方面，如果 $a$ 是一个非零整数且 $a$ 与 $n$ 不互质，那么我们证明 $\bar{a}$ 是 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 中的一个零因子。为了证明这一点，设 $d$ 为 $a$ 和 $n$ 的最大公约数，并设 $b = \frac{n}{d}$ 。根据假设 $d > 1$ ，所以 $0 < b < n$ ，即 $\bar{b} \neq \overline{0}$ 。但是由构造可知 $n$ 整除 ${ab}$ ，也就是说 $\overline{ab} = \bar{0}$ 在 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 中。这表明 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的每个非零元素要么是一个单位元，要么是一个零因子。进一步地，当且仅当范围 $0 < a < n$ 内的每个整数 $a$ 与 $n$ 互质时，每个非零元素是一个单位元。当且仅当 $n$ 是一个素数时，这种情况才会发生，即 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是一个域当且仅当 $n$ 是一个素数。

(3) 如果 $R$ 是从闭区间 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 到 $\mathbb{R}$ 的所有函数的环，那么 $R$ 的单位元是那些在任何点都不为零的函数（对于这样的 $f$ 其逆函数是 $\frac{1}{f}$）。如果 $f$ 不是一个单位元且不为零，那么 $f$ 是一个零因子，因为如果我们定义

那么 $g$ 不是一个零函数，但是 $f\left( x\right) g\left( x\right) = 0$ 对于所有 $x$ 。

(4) 如果 $R$ 是从闭区间 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 到 $\mathbb{R}$ 的所有连续函数的环，那么 $R$ 的单位元仍然是那些在任意点都不为零的函数，但现在存在既不是单位元也不是零因子的函数。例如，$f\left( x\right) = x - \frac{1}{2}$ 只有一个零点（在 $x = \frac{1}{2}$ 处），所以 $f$ 不是一个单位元。另一方面，如果 ${gf} = 0$，那么 $g$ 必须在所有 $x \neq \frac{1}{2}$ 处为零，唯一具有这种性质的连续函数是零函数。因此 $f$ 既不是单位元也不是零因子。类似地，在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上只有有限个（或可数个）零点的函数也不是零因子。这个环还包含许多零因子。例如，设

并设 $g\left( x\right) = f\left( {1 - x}\right)$ 。那么 $f$ 和 $g$ 是非零的连续函数，它们的乘积是零函数。

(5) 设 $D$ 是一个在 $\mathbb{Q}$ 中不是完全平方的有理数，并定义

作为 $\mathbb{C}$ 的子集。这个集合在减法下显然是封闭的，恒等式 $(a +$ $b\sqrt{D}\;)\left( {c + d\sqrt{D}\;}\right) = \left( {{ac} + {bdD}}\right) + \left( {{ad} + {bc}}\right) \sqrt{D}\;$ 显示它在乘法下也是封闭的。因此 $\mathbb{Q}\left( \sqrt{D}\right)$ 是 $\mathbb{C}$ 的子环（如果 $D > 0$ ，甚至可以是 $\mathbb{R}$ 的子环），特别是它是一个带有单位元的交换环。很容易证明，假设 $D$ 不是平方数意味着 $\mathbb{Q}\left( \sqrt{D}\right)$ 的每个元素都可以唯一地写成 $a + b\sqrt{D}$ 的形式。这个假设也意味着如果 $a$ 和 $b$ 不都是 0，那么 ${a}^{2} - D{b}^{2}$ 是非零的，由于 $\left( {a + b\sqrt{D}\;}\right) \left( {a - b\sqrt{D}\;}\right) = {a}^{2} - D{b}^{2}$ ，因此如果 $a + b\sqrt{D} \neq 0$（即 $a$ 或 $b$ 之一是非零的），那么 $\frac{a - b\sqrt{D}}{{a}^{2} - D{b}^{2}}$ 是 $a + b\sqrt{D}$ 在 $\mathbb{Q}\left( \sqrt{D}\right)$ 中的逆元。这表明这个交换环中的每个非零元素都是一个单位元，即 $\mathbb{Q}\left( \sqrt{D}\right)$ 是一个域（称为二次域，参见第 13.2 节）。

有理数 $D$ 可以写成 $D = {f}^{2}{D}^{\prime }$ 的形式，其中 $f$ 是某个有理数，${D}^{\prime }$ 是一个唯一的整数，且 ${D}^{\prime }$ 不能被任何大于 1 的整数的平方整除，即 ${D}^{\prime }$ 是 -1 或者 $\pm 1$ 乘以 $\mathbb{Z}$ 中不同素数的乘积（例如，$8/5 = {\left( 2/5\right) }^{2} \cdot {10})$ 。称 ${D}^{\prime }$ 为 $D$ 的无平方部分。那么 $\sqrt{D} = f\sqrt{{D}^{\prime }}$ ，因此 $\mathbb{Q}\left( {\sqrt{D}\;}\right) = \mathbb{Q}\left( \sqrt{{D}^{\prime }}\right) .\;$ 。所以在假设 $\;D\;$ 是二次域 $\mathbb{Q}\left( \sqrt{D}\right)$ 的定义中的无平方整数 $\left( {\text{i.e.,}f = 1}\right)$ 时没有损失。

具有与整数 $\mathbb{Z}$ 相同特征的环被赋予了一个名称：

定义。一个具有单位元的交换环 $1 \neq 0$ 如果没有零因子，则称为整环。

整环中零因子的缺失赋予了这些环一个消去性质：

命题 2

假设 $a,b$ 和 $c$ 是任意环中的元素，且 $a$ 不是零因子。如果 ${ab} = {ac}$ ，那么要么 $a = 0$ 要么 $b = c$（即，如果 $a \neq 0$ 我们可以消去 $a$）。特别地，如果 $a,b,c$ 是整环中的任意元素且 ${ab} = {ac}$ ，那么要么 $a = 0$ 要么 $b = c$。

证明：如果 ${ab} = {ac}$ ，那么 $a\left( {b - c}\right) = 0$ ，所以要么 $a = 0$ 要么 $b - c = 0$ 。第二个陈述是从第一个陈述和整环的定义得出的。

推论 3

任何有限的整环都是一个域。

证明：设 $R$ 是一个有限的整环，$a$ 是 $R$ 中的一个非零元素。由消去律可知，映射 $x \mapsto {ax}$ 是一个单射函数。由于 $R$ 是有限的，这个映射也是满射的。特别地，存在某个 $b \in R$ 使得 ${ab} = 1$ ，即 $a$ 是 $R$ 中的一个单位元。因为 $a$ 是一个任意的非零元素，所以 $R$ 是一个域。

Wedderburn 的一个显著结果是，一个有限的除环必然是交换的，即是一个域。这个定理的证明概述在第 13.6 节末尾的练习中。

在第5节中，我们将更详细地研究零因子和单位元之间的关系。我们将看到，一个交换环中每个非零元素如果不是零因子，则在某个更大的环中有一个乘法逆元。这为命题2中的消去律提供了另一个视角。

定义了环的概念后，自然就有了子环的概念。

定义

环 $R$ 的子环是 $R$ 的一个子群，它在乘法下是封闭的。

换句话说，环 $R$ 的一个子集 $S$ 是子环，如果将 $R$ 中的加法和乘法运算限制在 $S$ 上，则给 $S$ 以环的结构。要证明环 $R$ 的一个子集是子环，只需检查它非空，并且在减法和乘法下是封闭的。

示例

以上一些例子也是子环。

(1) $\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{Q}$ 的子环，而 $\mathbb{Q}$ 是 $\mathbb{R}$ 的子环。“是子环”的属性显然是传递的。

(2) $2\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{Z}$ 的子环，对于任何整数 $n$ ，$n\mathbb{Z}$ 也是 $\mathbb{Z}$ 的子环。但是，对于任何 $n \geq 2$ ，环 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 既不是 $\mathbb{Z}$ 的子环也不是其子群。

(3) 从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的所有连续函数构成的环是所有从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的函数构成的环的子环。从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的所有可微函数构成的环是这两个环的子环。

(4) $S = \mathbb{Z} + \mathbb{Z}i + \mathbb{Z}j + \mathbb{Z}k$ ，积分四元数，形成实数四元数或有理数四元数的一个子环 - 很容易验证，将两个这样的四元数相乘会得到另一个具有整数系数的四元数。这个环（不是一个除环）可以用来证明数论中的一些结果。

(5) 如果 $R$ 是一个包含 $F$ 的单位元的域 $F$ 的子环，那么 $R$ 是一个整环。这个命题的逆命题也是正确的，即任何整环都包含在一个域中（参见第5节）。

示例：（二次整数环）

设 $D$ 是一个无平方因子的整数。从加法和乘法立即可以看出，子集 $\mathbb{Z}\left\lbrack \sqrt{D}\right\rbrack = \{ a + b\sqrt{D}\;|\;a,b \in \mathbb{Z}\}$ 形成了之前定义的二次域 $\mathbb{Q}\left( \sqrt{D}\right)$ 的一个子环。如果 $D \equiv 1{\;\operatorname{mod}\;4}$ ，那么稍大一些的子集

也是一个子环：加法封闭性是直接的，$\left( {a + b\frac{1 + \sqrt{D}}{2}}\right) \left( {c + d\frac{1 + \sqrt{D}}{2}}\right) =$ $\left( {{ac} + {bd}\frac{D - 1}{4}}\right) + \left( {{ad} + {bc} + {bd}}\right) \frac{1 + \sqrt{D}}{2}\;$ 与 $\;D\;$ 上的同余一起显示了乘法封闭性。

定义

其中

称为二次域 $\mathbb{Q}\left( \sqrt{D}\right)$ 中的整数环。这个术语来源于这样一个事实：域 $\mathbb{Q}\left( \sqrt{D}\right)$ 的子环 $\mathcal{O}$ 的元素具有许多与有理数域 $\mathbb{Q}$ 中的整数子环 $\mathbb{Z}$ 类似的性质（如第15.3节中解释的，是 $\mathbb{Z}$ 在 $\mathbb{Q}\left( \sqrt{D}\right)$ 中的整闭包）。

在特殊情况下 $D = - 1$，我们得到高斯整数环 $\mathbb{Z}\left\lbrack i\right\rbrack$，这是具有 $a$ 和 $b$ 均为整数的复数 $a + {bi} \in \mathbb{C}$ 集合。这些数最初由高斯在1800年左右引入，用以表述处理模素数的四次幂之间美丽关系的二次互反律。我们很快将看到这个环的代数结构在数论问题上的另一个有用应用。

通过以下方式定义域范数 $N : \mathbb{Q}\left( \sqrt{D}\right) \rightarrow \mathbb{Q}$：

如前所述，如果 $a + b\sqrt{D} \neq 0$ 则这个范数不为零。这个范数给出了在域 $\mathbb{Q}\left( \sqrt{D}\right)$ 中“大小”的一个度量。例如，当 $D = - 1$ 时，$a + {bi}$ 的范数是 ${a}^{2} + {b}^{2}$，这是该复数作为复平面上的向量长度的平方。我们将在这个例子和随后的例子中使用域范数来建立许多关于环 $\mathcal{O}$ 的性质。

容易验证 $N$ 是乘法性的，即对于所有 $\alpha ,\beta \in \mathbb{Q}\left( \sqrt{D}\right)$ 有 $N\left( {\alpha \beta }\right) = N\left( \alpha \right) N\left( \beta \right)$。在子环 $\mathcal{O}$ 上，也容易看出域范数由以下给出：

其中

因此 $N\left( \alpha \right)$ 实际上对于每个 $\alpha \in \mathcal{O}$ 都是一个整数。

我们可以使用这个范数来刻画 $\mathcal{O}$ 中的单位元。如果 $\alpha \in \mathcal{O}$ 具有域范数 $N\left( \alpha \right) = \pm 1$ ，那么前一个公式表明 ${\left( a + b\omega \right) }^{-1} = \pm \left( {a + b\bar{\omega }}\right)$ ，这再次是 $\mathcal{O}$ 的一个元素，因此 $\alpha$ 是 $\mathcal{O}$ 的一个单位元。假设反过来 $\alpha$ 是 $\mathcal{O}$ 的一个单位元，比如说 ${\alpha \beta } = 1$ 对于某个 $\beta \in \mathcal{O}$ 。那么域范数的乘法性质意味着 $N\left( \alpha \right) N\left( \beta \right) = N\left( {\alpha \beta }\right) = N\left( 1\right) = 1$ 。因为 $N\left( \alpha \right)$ 和 $N\left( \beta \right)$ 都是整数，所以每个都必须是 $\pm 1$ 。因此，

元素 $\alpha$ 是 $\mathcal{O}$ 中的单位元当且仅当 $N\left( \alpha \right) = \pm 1$ 。

特别地，确定方程 ${x}^{2} - D{y}^{2} = \pm 1$ （在初等数论中称为佩尔方程）的整数解本质上等价于确定环 $\mathcal{O}$ 中的单位元。

当 $D = - 1$ ，高斯整数 $\mathbb{Z}\left\lbrack i\right\rbrack$ 中的单位元是满足 $a + {bi}$ 的元素 ${a}^{2} + {b}^{2} = \pm 1,a,b \in \mathbb{Z}$ ，因此单位元群由 $\{ \pm 1, \pm i\}$ 组成。当 $D = - 3$ ，$\mathbb{Z}\left\lbrack {\left( {1 + \sqrt{-3}}\right) /2}\right\rbrack$ 中的单位元由满足 $a,b$ 的整数 ${a}^{2} + {ab} + {b}^{2} = \pm 1$ 确定，即满足 ${\left( 2a + b\right) }^{2} + 3{b}^{2} = \pm 4$ ，由此容易看出单位元群是一个由 $\{ \pm 1, \pm \rho , \pm {\rho }^{2}\}$ 给出的6阶群，其中 $\rho = \left( {-1 + \sqrt{-3}}\right) /2$ 。对于任何其他 $D < 0$ ，同样容易看出唯一的单位元是 $\{ \pm 1\}$ 。

相比之下，当 $D > 0$ 可以证明单位元群 ${\mathcal{O}}^{ \times }$ 总是无限的。例如，很容易验证 $1 + \sqrt{2}$ 是环 $\mathcal{O} = \mathbb{Z}\left\lbrack \sqrt{2}\right\rbrack$（字段范数为 -1）中的单位元，而且 $\left\{ {\pm {\left( 1 + \sqrt{2}\right) }^{n} \mid n \in \mathbb{Z}}\right\}$ ，是一个包含不同单位元的无限集合（实际上是该情况下的完整单位元群，但这一点更难以证明）。